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文档简介

第一章向量代数 1 1向量的概念1 2向量的线性运算1 3向量的内积 外积和混合积 定义1 1 1既有大小又有方向的量叫做矢量 或称向量 矢量 向量 既有大小又有方向的量 向量的几何表示 1 1向量的概念 两类量 数量 标量 可用一个数值来描述的量 有向线段 有向线段的方向表示向量的方向 有向线段的长度表示向量的大小 所有的零向量都相等 模为1的向量 零向量 模为0的矢量 单位向量 定义1 1 2如果两个矢量的模相等且方向相同 那么叫做相等向量 记为 定义1 1 3两个模相等 方向相反的矢量叫做互为负 反 矢量 1 2向量的线性运算 所谓线性运算是指向量的加法运算和数乘运算 1 2 1向量的加 减法 O A B 这种求两个向量和的方法叫三角形法则 定理1 2 1如果把两个向量为邻边组成一个平行四边形OACB 那么对角线向量 O A B C 这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理1 2 2向量的加法满足下面的运算规律 1 交换律 2 结合律 3 3 O A1 A2 A3 A4 An 1 An 这种求和的方法叫做多边形法则 向量减法 1 2 2向量的数量乘法 定理1 2 2数与向量的乘积符合下列运算规律 2 结合律 3 第一分配律 4 第二分配律 1 按照向量与数的乘积的规定 上式表明 一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量 例1 2 4用向量法证明中线定理 三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一半 例1 2 5用向量法证明 四面体对边中点的连线交与一点且互相平分 A B C D E F P1 e1 e2 e3 连接AF 因为AP1是 AEF的中线 所以有 又因为AF1是 ACD的中线 所以又有 1 2 3向量的线性关系与向量的分解 1 3向量的内积 外积与混合积 1 3 1两向量的内积 1 3 2两向量的外积 1 3 3三向量的混合积 1 3 2两向量的二重外积 启示 实例 两向量作这样的运算 结果是一个数量 1 3 1两向量的内积 M1 M2 1 两个向量的夹角 内积也称为 点积 定义1 3 2 定理1 3 1 关于数量积的说明 证 证 空间一点在轴上的射影 空间一向量在轴上的投影 数量积符合下列运算规律 1 交换律 2 分配律 3 若为数 若 为数 关于向量的投影定理 2 可推广到有限多个 实例 1 3 2两向量的外积 定义 关于向量积的说明 向量积也称为 叉积
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