2012届广东省各地市一模试题打包(1.doc

理科数学 第 1 页 共 75 页 A B C D 图 1 江门市江门市 2012 年高考模拟考试年高考模拟考试 数 学 理科 本试卷共 4 页 21 题 满分 150 分 测试用时 120 分钟 参考公式 1 锥体的体积公式ShV 3 1 其中S是锥体的底面积 h是锥体的高 2 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 2 1 2 1 xnx yxnyx b n i i n i ii xbya 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 已知复数iz 1 i是虚数单位 若Ra 使得Rz z a 则 a A 2 1 B 2 1 C 2 D 2 已知函数 lg xxf Rx 且0 x 则 xf是 A 奇函数且在 0 上单调递增 B 偶函数且在 0 上单调递增 C 奇函数且在 0 上单调递减 D 偶函数且在 0 上单调递减 从一个五棱锥的顶点和底面各顶点 共 6 个点 中随机选取 4 个点 这 4 个点 共面的概率等于 A 2 1 B 3 1 C 4 1 D 5 1 如图 1 ABC 中 3 AC 4 BC o 90 C D是BC 的中点 则 ADBA A 0 B 135 C 17 D 17 有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表 平均气温 2 3 5 6 销售额 万元 20232730 根据以上数据 用线性回归的方法 求得销售额y与平均气温x之间线性回 归方程axby 的系数4 2 b 则预测平均气温为8 时该商品销售额为 A 6 34万元 B 6 35万元 C 6 36万元 D 6 37万元 绝密 启用前 试卷类型 B 理科数学 第 2 页 共 75 页 4 3 正视图 侧视图 俯视图 图 2 3 2 1 si 开始 2 1 s 1 s s s 1 ii 是 输出i结束 否 图 3 下列命题中 真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 不等式1 3 x的解集是 4 命题 任意素数都是奇数 的否定是 任意素数都不是奇数 平行于同一平面的两平面互相平行 抛物线 2 2xy 的焦点坐标是 2 1 0 如图 2 某几何体的正视图和侧视图都是对角线长分别 为 4 和 3 的菱形 俯视图是对角线长为 3 的正方形 则 该几何体的体积为 A 36 B 18 C 12 D 6 定义bcad dc ba 其中a b c 4 3 2 1 1 d 且互不相等 则 dc ba 的所有可能且互不相等的值之和等于 A 2012 B 2012 C 0 D 以上都不对 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 9 13 题 已知数列 n a的前n项和为nS n n 1 则 n a 在平面直角坐标系xOy中 以点 1 1 M为圆心 且与直线022 yx相切 的圆的方程是 以初速度sm 40垂直向上抛一物体 t时刻 单位 s 的速度为tv1040 单位 sm 则物体能达到的 最大高度是 提示 不要漏写单位 已知x y满足 02 42 yx yx 则yx 2的最大值是 理科数学 第 3 页 共 75 页 O A B C D E 图 4 执行如图 3 所示的程序框图 输出的 i 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 几何证明选讲选做题 如图 4 AD是ABC 的高 AE是ABC 外接圆的直径 若6 AB 5 AC 4 AD 则图中与BAE 相等的角是 AE 坐标系与参数方程选做题 在直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 sin1 cos y x 为参数 以O为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 则曲线C的极坐标方程为 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 本小题满分 12 分 已知函数 3 cos 3 3 sin xxxf 0 的最小正周期为 求 12 7 f的值 若ABC 满足 2 AfABfCf 证明 ABC 是直角三角形 本小题满分 14 分 甲 乙两名同学在 5 次英语口语测试中的成绩统计如图 5 的茎叶图所示 现要从中选派一人参加英语口语竞赛 从两同学的平均成绩和方差分析 派谁参加更合适 若将频率视为概率 对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测 记这三次成绩中高于80分的次数为 求 的分布列及数学期望 E 注 样本数据 1 x 2 x n x的方差 22 2 2 1 2 1 xxxxxx n s n 其中x表示样本均值 甲乙 577 758367 3097 图 5 理科数学 第 4 页 共 75 页 图 6 A B C D E 1 A 1 B 1 C 1 D 本小题满分 14 分 如图 6 四棱柱 1111 DCBAABCD 的底面ABCD是平行四边形 且1 AB 2 BC 0 60 ABC E为BC的中点 1 AA平面ABCD 证明 平面 AEA1平面DEA1 若EADE 1 试求异面直线AE与DA1 所成角的余弦值 本小题满分 12 分 已知直线033 yx经过椭圆C 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的一个顶点 B和一个焦点F 求椭圆的离心率 设P是椭圆C上动点 求 PBPF 的取值范围 并求 PBPF 取 最小值时点P的坐标 本小题满分 14 分 某学校每星期一供应 1000 名学生 A B 两种菜 调查表明 凡在这星期一选 A 种菜的 下星期一会有 20改选 B 种菜 而选 B 种菜的 下星期一会有 30改选 A 种菜 设第n个星期一选 A B 两种菜分别有 n a n b名学生 若500 1 a 求 2 a 3 a 求 n a 并说明随着时间推移 选 A 种菜的学生将稳定在600名附近 21 本小题满分 14 分 已知 2 xxf xxgln 直线l bkxy 常数k Rb 使得函数 xfy 的图象在直线 l的上方 同时函数 xgy 的图象在直线 l的下方 即 对定义域内任意x 2 lnxbkxx 恒成立 试证明 0 k 且 4 1ln 2 k bk 理科数学 第 5 页 共 75 页 eke 2 1 是 2 lnxbkxx 成立的充分不必要条件 理科数学评分参考 一 选择题一 选择题 CBBD AADC 二 填空题二 填空题 12 1 n n 列式完整但未化简扣 1 分 列式不完整扣 2 分 5 1 1 22 yx 或等价方程 m 80 数值对 4 分 全对 5 分 数值错 0 分 2 3 CAD 3 分 2 15 2 分 sin2 三 解答题三 解答题 xxf sin2 2 分 振幅 1 分 角度 1 分 2 T 3 分 2 4 分 所以1 6 7 sin2 12 7 f 6 分 未化简 xf而求T 扣 2 分 由 2 AfABfCf 得AABC2sin2 22sin 2sin 7 分 AABBA2sin2 22sin 22sin 8 分 得02sincos2 AB 9 分 所以0cos B或02sin A 10 分 因为A 0 B 所以 2 B或 2 A ABC 是直角三角形 12 分 2 B或 2 A 只得到一个 扣 1 分 86 5 9390878575 甲x 1 分 86 5 9787868377 乙x 2 分 6 3786938690868786858675 5 1 222222 甲 s 3 分 4 4286978687868686838677 5 1 222222 乙 s 4 分 因为 乙甲xx 22 乙甲 ss 所以派甲去更合适 5 分 理科数学 第 6 页 共 75 页 甲高于 80 分的频率为 5 4 从而每次成绩高于 80 分的概率 5 4 p 6 分 取值为 0 1 2 3 5 4 3 7 分 直接计算得 125 1 5 1 5 4 0 300 3 CP 125 12 5 1 5 4 1 211 3 CP 125 48 5 1 5 4 2 122 3 CP 125 64 5 1 5 4 3 033 3 CP 11 分 分布列为 0123 p 125 1 125 12 125 48 125 64 所以 5 12 125 64 3 125 48 2 125 12 1 125 1 0 E 或 5 12 5 4 3 npE 14 分 列式 1 分 计算 1 分 依题意 CDABBCECBE 2 1 1 分 所以ABE 是正三角形 0 60 AEB 2 分 又 000 30 120180 2 1 CED 3 分 所以 0 90 AED AEDE 4 分 因为 1 AA平面ABCD DE平面ABCD 所以DEAA 1 5 分 因为AAEAA 1 所以 DE平面AEA1 6 分 因为 DE平面DEA1 所以平面 AEA1平面DEA1 7 分 取 1 BB 的中点F 连接EF AF 8 分 连接CB1 则DACBEF 11 9 分 所以AEF 是异面直线AE与DA1所成的角 10 分 因为3 DE 22 11 AEAAEA 所以2 1 AA 11 分 2 2 BF 2 6 1 2 1 EFAF 12 分 所以 6 6 2 cos 222 EFAE AFEFAE AEF 14 分 列式计算各 1 分 12 分 理科数学 第 7 页 共 75 页 方法二 以A为原点 过A且垂直于BC的直线为x轴 AD所在直线为y轴 1 AA 所在直线为z 建立右手系空间直角坐标系 1 分 设aAA 1 0 a 则 0 0 0 A 0 2 0 D 0 0 1 aA 0 2 1 2 3 E 3 分 设平面AEA1的一个法向量为 1 pnmn 则 0 0 2 1 2 3 11 1 apAAn nmAEn 4 分 0 p 取1 m 则3 n 从而 0 3 1 1 n 5 分 同理可 得平面DEA1的一个法向量为 2 1 3 2 a n 7 分 直接计算知0 21 nn 所以平面 AEA1平面DEA1 8 分 由EADE 1 即 22222 2 1 2 3 0 2 1 2 2 3 a 9 分 解得 2 a 10 分 0 2 1 2 3 AE 11 分 2 2 0 1 DA 12 分 所以异面直线AE与DA1所成角的余弦值 6 6 cos 1 1 DAAE DAAE 14 分 注 由于给分板按方法一设置 即第 问 7 分 第 问 7 分 若学生按方法 二答题 得分7 时 得分记在第 问 得分7 的部分 记在第 问 依题意 1 0 B 0 3 F 所以1 b 3 c 2 分 2 22 cba 3 分 所以椭圆的离心率 2 3 a c e 4 分 0BFPBPF 当且仅当 PBPF 时 0 PBPF 5 分 当且仅当P是直线BF与椭圆C的交点时 BFPBPF 6 分 2 BF 所以 PBPF 的取值范围是 2 0 7 分 设 nmP 由 PBPF 得013 nm 9 分 由 013 1 4 2 2 nm n m 10 分 解得 1 0 n m 或 13 11 13 38 n m 11 分 理科数学 第 8 页 共 75 页 所求点P为 1 0 P和 13 11 13 38 P 12 分 550 30 5001000 201 500 2 a 2 分 575 30 5501000 201 550 3 a 4 分 Nn 1 n 30 201 11 nnn baa 5 分 300 2 1 30 1000 201 111 nnn aaa 7 分 所以 600 2 1 600 1 nn aa 9 分 600 n a是以600 1 a为首项 2 1 为公比的等比数列 10 分 1 1 2 1 600 600 n n aa 11 分 1 1 2 1 600 600 n n aa 12 分 随着时间推移 即n越来越大时 1 2 1 n 趋于0 13 分 所以 1 1 2 1 600 n a趋于0 n a趋于600并稳定在600附近 14 分 21 依题意0 x xbkxln 恒成立 所以 x bx k ln 1 分 因为k b是常数 所以当x充分大时 bx ln 从而0 ln x bx k 2 分 用反证 法亦可 因为 2 xbkx 即0 2 bkxx恒成立 所以04 2 bk 3 分 所 以 4 2 k b 4 分 因为xbkxln 即0ln xbkx恒成立 设xbkxxhln 则 x kxh 1 5 分 由0 xh得0 1 k x 且 k x 1 0 时 0 xh xh单调递减 k x 1 时 0 xh xh单调递增 7 分 所以 xh的极小 理科数学 第 9 页 共 75 页 O k y 4 2 k y 1ln ky 2 1 e e 值从而也是最小值为kb k b k hln1 1 ln1 1 8 分 因为0ln xbkx恒成立 所以0ln1 1 ln1 1 kb k b k h 即 1ln kb 从而 4 1ln 2 k bk 9 分 方法一 由 知 4 1ln 2 k k 从而1ln 4 2 k k 其中0 k 10 分 如图 根据幂函数与对数函数单调性 k介于 曲线1ln ky与 4 2 k y 的两个交点的横坐标 之间 11 分 因为 2 1 ek时 1ln 2 1 4 2 k k ek 时 1ln2 44 22 k ek 13 分 所以 eke 2 1 是 2 lnxbkxx 成立的充分不必要条件 14 分 方法二 由 知 4 1ln 2 k k 从而1ln 4 2 k k 其中0 k 10 分 设 4 1ln 2 k kkp k kk k kp 2 2 2 1 2 解0 kp得2 k 11 分 0 2 1 12ln 2 p 20 k时 0 kp 2 0 2 1 ek 且 0 2 1 ep 12 分 2 k时 0 kp 2 ek 且0 ep 13 分 所以 2 1 eek 4 1ln 2 k k 从而 eke 2 1 是 2 lnxbkxx 成立的充分不必要条件 14 分 理科数学 第 10 页 共 75 页 广东省揭阳市 2011 2012 学年度高三学业水平考试数 学理试题 数学试题 理科 本试卷共4页 21小题 满分150分 考试用时l20分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座 位号填写在答题卡上 2 选择题每小题选出答案后 用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式参考公式 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S是锥体的底面积 h为锥体的高 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共8 8小题 每小题小题 每小题5 5分 满分分 满分4040分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 集合 2 1 Ax yxxZ 则 A iA B 2 iA C 3 iA D 4 iA 2 已知倾斜角为 的直线l与直线220 xy 平行 则tan2 的值为 A 4 5 B 3 4 C 4 3 D 2 3 3 已知 f x是定义在R上的奇函数 当0 x 时 3xf xm m为常数 则 3 log 5 f 的值为 理科数学 第 11 页 共 75 页 主 主 主 主 主 主 主 主 主 160 3 120 3 100 3 60 3 40 3 80 3 20 3 主 主 主 主 pm2 5 主 主 主 主 主 0 1050 1000 0950 0900 0850 0800 0750 0700 0650 FC BA ED A 4 B 4 C 6 D 6 4 双曲线 2 2 1 3 x y 的一个焦点到它的渐近线的距离为 A 1 B 2 C 3 D 2 5 2a 是 函数 2xf xax 有零点 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 如图 已知 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形 则 BABCCF 的值为 A 3 4 B 3 2 C 3 2 D 3 2 7 已知向量 1 2 axzbyz 且ab 若变量 x y 满足约束条件 1 325 x yx xy 则 z 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 8 已知函数 1 f xxxxR 则不等式 1 4 f x 的解集为 A 12 2 B 1 2 C 12 12 22 D 12 2 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 9 设 i是虚数单位 若复数 1 ai i 为纯虚数 则实数a 的值为 10 设 n S是等差数列 n a的前n项和 且 15 1 9aa 则 6 S 11 近年来 随着以煤炭为主的能 源消耗大幅攀升 机动车保有量急 剧增加 我国许多大城市灰霾现象 频发 造成灰霾天气的 元凶 之一 是空气中的 pm2 5 直径小于等于 2 5 微米的颗粒物 右图是某市某 月 按 30 天计 根据对 pm2 5 24 小时平均浓度值测试的结果画成 的频率分布直方图 若规定空气中 pm2 5 24 小时平均浓度值不超过 0 075 毫克 立方米为 达标 那么该市当月有 天 pm2 5 含量不达标 12 甲 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 则甲 乙所选的课程 中至少有 1 门相同的选法共有 种 用数字作答 13 某几何体的三视图如图示 已知其主视图的周长为 6 则该 第 6 题图 第 11 题图 24 小时平均浓度 毫克 立方米 理科数学 第 12 页 共 75 页 O B A C P 几何体体积的最大值为 二 选做题 二 选做题 14 15 题 题 考生只能从中选做一题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 直线 2 1 xt t yt 为参数被圆 35cos 1 5sin x y 为参数 0 2 所截得的弦长为 15 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 如图 从圆O外一点 P 引圆的切线 PC 和割线 PBA 已知 PC 2PB 3BC 则AC的长为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数 sincos f xxx xR 1 求函数 f x的最小正周期 2 求函数 f x的最大值和最小值 3 若 1 0 42 f 求sincos 的值 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 某产品按行业生产标准分成8个等级 等级系数 依次为1 2 8 其中5 为标准 A 3 为标准B 产品的等级系数越大表明产品的质量越好 已知某厂执行标准B生产 该产品 且该厂的产品都符合相应的执行标准 1 从该厂生产的产品中随机抽取30件 相应的等级系数组成一个样本 数据如下 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 该行业规定产品的等级系数7 的为一等品 等级系数57 的为二等品 等级系数 35 的为三等品 试分别估计该厂生产的产品的一等品率 二等品率和三等品率 2 已知该厂生产一件该产品的利润 y 单位 元 与产品的等级系数 的关系式为 1 35 2 57 4 7 y 从该厂生产的产品中任取一件 其利润记为X 用这个样本的频率 分布估计总体分布 将频率视为概率 求X的分布列和数学期望 第 13 题图 第 15 题图 理科数学 第 13 页 共 75 页 F E D P 18 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知函数 32 1 2 3 f xxbxxa 2x 是 f x的一个极值点 1 求函数 f x的单调区间 2 若当 1 x 时 2 2 3 f xa 恒成立 求a的取值范围 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 如图 边长为 1 的正方形 ABCD 中 点 E F 分别为 AB BC 的中点 将 BEF 剪去 将 AED DCF 分别沿 DE DF 折起 使 A C 两点重合于点 P 得一三棱锥如图 示 1 求证 PDEF 2 求三棱锥PDEF 的体积 3 求 DE 与平面 PDF 所成角的正弦值 第 19 题图 20 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知定点 A 3 0 MN 分别为 x 轴 y 轴上的动点 M N 不重合 且MNAN 点 P 在直线 MN 上 3 2 NPMP 1 求动点 P 的轨迹 C 的方程 2 设点 Q 是曲线 22 8150 xyx 上任一点 试探究在轨迹 C 上是否存在点 T 使 得点 T 到点 Q 的距离最小 若存在 求出该最小距离和点 T 的坐标 若不存在 说明理由 21 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知 1 1 3 x 2 1nnn xxxa nN a为常数 1 若 1 4 a 求证 数列 1 lg 2 n x 是等比数列 2 在 1 条件下 求证 51 62 n n xnN 理科数学 第 14 页 共 75 页 3 若0a 试问代数式 2011 1 1 1 n n x 的值在哪两个相邻的整数之间 并加以证明 揭阳市 2011 2012 学年度高中三年级学业水平考试 数学试题 理科 参考答案及评分说明 一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后续 部分的解答有较严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 一 选择题 BCBA ACCD 解析 解析 1 1 0 1 A 2 1i 故选 B 2 依题意知 1 tan 2 从而 2 2tan4 tan2 1tan3 选 C 3 由 f x是定义在R上的奇函数得 0 101fmm 3 log 5 33 log 5 log 5 31 ff 4 选 B 4 双曲线的一个焦点为 2 0 一条渐近线方程为 1 3 yx 可得焦点到它的渐近线的距 离为 20 1 3 1 选 A 5 若2a 则函数 2xf xax 必有零点 反之函数 2xf xax 有零点 a未必为 2 故选 A 6 由余弦定理得 1 1 1 2 1 1 3 2 BF 3 13cos30 2 BABCCFBA BF 选 C 7 ab 2 02xzyzzxy 点 x y的可行域如图示 1 1 y 2x x 1 3x 2y 5 0 y x o y x 理科数学 第 15 页 共 75 页 当直线2zxy 过点 1 1 时 Z 取得最大值 max 2 13z 选 C 8 在同一坐标系内作出函数 1 f xx x 和 1 4 y 的图象如图 利用数形结合易得答案选 D 二 填空题 二 填空题 9 1 10 36 11 27 12 30 13 14 82 15 2 3 解析 解析 10 易得 6616 11 3 36aSaa 11 该市当月 pm2 5 含量不达标有 801001601206020 0 005 3027 333333 天 12 间接法 2222 4442 30CCC C 种 直接法 分成两类 有一门相同的有 111 432 C C C种 两门相同的有 2 4 C种 至少一门相同有 1112 4324 30C C CC 种 13 由三视图知 该几何体为圆柱 设其底面的半径为r 高为h 则 42623rhrh 2 Vr h 3 3 rrh 当rh 时 成立 或 2 Vr h 2 3 2 rr 2 2 32 2 6 1 Vrrrrr 令 0V 得1r 当 0 1 r 时 0V 当 1 r 时 0V 故当1r 时 V有最大值 max V 14 把直线和圆的参数方程化为普通方程得 01 yx 22 3 1 25xy 于是弦心 距 2 23 d弦长 9 2 2582 2 l 15 PCBPACCPBAPC PBC PCA 1 2 3 2 PBBCBC AC PCACAC 三 解题题 三 解题题 16 解 1 sincos2sin 4 f xxxxxR 2 分 理科数学 第 16 页 共 75 页 函数 f x的最小正周期2T 3 分 2 函数 f x的最大值和最小值分别为2 2 5 分 3 由 1 4 f 得 1 sincos 4 2 1 sincos 16 6 分 115 1sin2 sin2 1616 7 分 2 1531 sincos 1sin21 1616 9 分 0 2 sincos0 31 sincos 4 12 分 17 解 1 由样本数据知 30 件产品中等级系数7 有 6 件 即一等品有 6 件 二等品 有 9 件 三等品有 15 件 3 分 样本中一等品的频率为 6 0 2 30 故估计该厂生产的产品的一等品率为0 2 4 分 二等品的频率为 9 0 3 30 故估计该厂生产的产品的二等品率为0 3 5 分 理科数学 第 17 页 共 75 页 三等品的频率为 15 0 5 30 故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0 5 6 分 2 X的可能取值为 1 2 4 用样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 由 1 可得 1 0 5P X 2 0 3P X 4 0 2P X 8 分 可得X的分布列如右 10 分 其数学期望1 0 52 0 34 0 21 9EX 元 12 分 18 解 1 2 22fxxbx 且2x 是 f x的一个极值点 2 4420fb 3 2 b 2 分 2 32 1 2 fxxxxx 4 分 由 0fx 得2x 或1x 函数 f x的单调增区间为 1 2 6 分 由 0fx 得12x 函数 f x的单调减区间为 1 2 8 分 2 由 1 知 函数 f x在 1 2 上单调递减 在 2 上单调递增 当2x 时 函数 f x取得最小值 min 2 f xf 2 3 a X124 P X0 50 30 2 理科数学 第 18 页 共 75 页 P D E F M F E D P 10 分 1 x 时 2 2 3 f xa 恒成立等价于 2 min 2 1 3 af xx 12 分 即 2 001aaa 14 分 19 1 证明 依题意知图 折前 ADAE CDCF PDPE PFPD 2 分 PEPFP PD 平面PEF 3 分 又 EF 平面PEF PDEF 4 分 2 解法 1 依题意知图 中 AE CF 1 2 PE PF 1 2 在 BEF 中 2 2 2 EFBE 5 分 在PEF 中 222 PEPFEFPEPF 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 PFPES PEF 7 分 1 3 P DEFD PEFPEF VVSPD 111 1 3824 8 分 2 解法 2 依题意知图 中 AE CF 1 2 PE PF 1 2 在 BEF 中 2 2 2 EFBE 5 分 取 EF 的中点 M 连结 PM 则PMEF 22 2 4 PMPEEM 6 分 11221 22248 PEF SEF PM 7 分 1 3 P DEFD PEFPEF VVSPD 111 1 3824 8 分 3 由 2 知PFPE 又PEPD PE平面PDF 10 分 PDE 为 DE 与平面 PDF 所成的角 11 分 在PDERt 中 22 15 1 42 DEPDPE 1 2 PE 12 分 5 5 2 5 2 1 sin DE PE PDE 14 分 理科数学 第 19 页 共 75 页 B Q T y x o 20 解 1 设点 M N 的坐标分别为 0 0 ab 0 0ab 点 P 的坐标为 x y 则 3 ANb NMab MPxa y NPx yb 由MNAN 得 2 30ab 2 分 由 3 2 NPMP 得 33 22 xxayby 3 分 11 32 ax by 代入 得 2 4yx 5 分 0 0ab 0 0 xy 动点 P 的轨迹 C 的方程为 2 4yx 0 x 6 分 2 曲线 22 8150 xyx 即 22 4 1xy 是以 B 4 0 为圆心 以 1 为半径 的圆 设 T 为轨迹 C 上任意一点 连结 TB 则 TQQBTB 1TQTB 8 分 当 TB最小时 TQ最小 9 分 点 T 在轨迹 C 上 设点 2 4 m Tm 0m 2 22 4 4 m TBm 22 1 8 12 16 m 11 分 当 2 8m 即2 2m 时 TB有最小值 min 2 3TB 12 分 理科数学 第 20 页 共 75 页 当 2 8m 时 2 2 4 m 在轨迹 C 上是存在点 T 其坐标为 2 2 2 使得 TQ最小 min 2 31TQ 14 分 21 证明 1 2 1 1 4 nnn xxx 22 1 111 242 nnnn xxxx 1 分 1 1 3 x 1 0 2 n x 则 2 1 lg 2 2 1 lg 1 nn xx 3 分 数列 1 lg 2 n x 是以 5 lg 6 为首项 以 2 为公比的等比数列 4 分 2 由 1 知 1 15 lg lg 2 26 n n x 化简得 1 2 15 26 n n x 5 01 6 要证 51 62 n n x 只需证n n 22 6 分 证法一 当n n n 221有时或 当3 n时 12 2 1 1 1 nnn nnn CCC 7 分 1 1122 2 n n nnn 8 分 都成立对 Nnn n 22 理科数学 第 21 页 共 75 页 51 62 n n xnN 9 分 证法二 用数学归纳法证明 当1 n时 结论显然成立 5 分 假设当 1 kkn时结论成立 即k k 22 当 n k 1 时 1 22 22 22 1 kk kk 7 分 当1 kn时结论也成立 综合 知 51 62 n n x 都成立对 Nn 9 分 3 当0a 时 2 1 1 nnnnn xxxxx 1 1111 1 1 nnnnn xxxxx 即 1 111 1 nnn xxx 2011 1 12232011201212012 111111111 1 n n xxxxxxxxx 2012 1 3 x 11 分 又 81 52 9 13 9 4 9 4 3 4 3 1 3 1 321 xxx 1 81 133 81 52 4 x 2 1 0 nnn xxx n x单调递增 2012 1 01 x 2012 1 233 x 理科数学 第 22 页 共 75 页 即 2011 1 1 1 n n x 的值在 2 与 3 之间 14 分 理科数学 第 23 页 共 75 页 理科数学 第 24 页 共 75 页 理科数学 第 25 页 共 75 页 理科数学 第 26 页 共 75 页 理科数学 第 27 页 共 75 页 理科数学 第 28 页 共 75 页 理科数学 第 29 页 共 75 页 理科数学 第 30 页 共 75 页 理科数学 第 31 页 共 75 页 理科数学 第 32 页 共 75 页 理科数学 第 33 页 共 75 页 理科数学 第 34 页 共 75 页 理科数学 第 35 页 共 75 页 理科数学 第 36 页 共 75 页 理科数学 第 37 页 共 75 页 理科数学 第 38 页 共 75 页 理科数学 第 39 页 共 75 页 理科数学 第 40 页 共 75 页 理科数学 第 41 页 共 75 页 理科数学 第 42 页 共 75 页 理科数学 第 43 页 共 75 页 肇庆市中小学教学质量评估肇庆市中小学教学质量评估 20122012 届高中毕业班第一次模拟试题届高中毕业班第一次模拟试题 数数 学 理科 学 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分分 1 若复数 5 3 zxx i 在复平面内对应的点位于第三象限 则实数x的取值范围是 A 5 B 3 C 3 5 D 5 2 已知集合 0 1 2 M 集合N满足NM 则集合N的个数是 A 6 B 7 C 8 D 9 3 已知函数 lgf xx 的定义域为M 函数 2 2 31 1 x x y xx 的定义域为N 则 MN A 0 1 B 2 C 0 D 0 1 2 4 1m 是 函数 2 f xxxm 有零点 的 A 充分非必要条件 B 充要条件 C 必要非充分条件 D 非充分必要条件 5 已知函数 cos2 cossin2 sin sinf xxxxxx x R 则 f x是 A 最小正周期为 的奇函数B 最小正周期为 的偶函数 C 最小正周期为 2 的奇函数D 最小正周期为 2 的偶函数 6 已知向量 4 3 a 2 1 b 如果向量 ab与b垂直 则 2 ab的值为 A 1 B 5 C 5 D 5 5 7 已知 x y满足 3 2 326 39 x yx xy yx 则2zxy 的最大值是 A 15 2 B 9 2 C 9 4 D 2 理科数学 第 44 页 共 75 页 8 设M为平面内一些向量组成的集合 若对任意正实数 和向量M a 都有M a 则 称M为 点射域 则下列平面向量的集合为 点射域 的是 A 2 x yyx B 0 0 xy x y xy C 22 20 x yxyy D 22 32120 x yxy 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 9 2 2 150 xx 的解集是 10 在 10 4 1 x x 的展开式中常数项是 用数字作答 11 某中学举行了一次田径运动会 其中有 50 名学生参加了一次百米比赛 他们的成绩和 频率如图所示 若将成绩小于 15 秒作为奖励的条件 则在这次百米比赛中获奖的人数共有 人 12 短轴长为5 离心率 2 3 e 的椭圆的两焦点为 12 F F 过 1 F作直线交椭圆于 A B两点 则 2 ABF 的周长为 13 如果实数 x y满足等式 22 2 1xy 那么 3 1 y x 的取值范围是 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 圆2 上的点到直线 6sin3cos 的距离的最小值为 15 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 2 点P是 O 外一点 PD为 O的一切线 D是切点 割线经过圆心O 若 0 30 EFD 32 PD 则 PE 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分分 解答须写出文字说明 证明过程和解答须写出文字说明 证明过程和 理科数学 第 45 页 共 75 页 演算步骤演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知数列 n a是一个等差数列 且 2 1a 5 5a I 求 n a的通项 n a II 设 5 2 n n a c 2 n c n b 求 2122232 loglogloglog n Tbbbb 的值 17 本小题满分 13 分 2012 年春节前 有超过 20 万名广西 四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321 国道长途跋涉返乡过年 为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶 手脚僵硬影响驾驶操作而引 发交事故 肇庆市公安交警部门在 321 国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站 让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所 交警小李在某休息站连续 5 天对进 站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车就进行省籍询问一次 询问结果如图 3 所示 问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法 用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样 若广西籍的有 5 名 则四川籍 的应抽取几名 在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名 求抽取的 2 名驾驶人员中四川籍人数 的分布列及 其均值 即数学期望 18 本题满分 13 分 已知 ABC的面积为2 2 内角 A B C的对边分别为 a b c 已知3 4 ab 090oC 求sin AB 的值 求cos 2 4 C 的值 求向量 CB AC 的数量积CBAC 理科数学 第 46 页 共 75 页 19 本小题满分 14 分 如图 4 已知斜三棱柱 侧棱不垂直于底面 111 ABCABC 的侧面 11 A ACC与底面ABC垂 直 2 2 3 2 2BCACAB 11 6AAAC 求侧棱 1 B B在平面 11 A ACC上的正投影的长度 设 AC 的中点为 D 证明 1 AD 底面ABC 求侧面 11 A ABB与底面ABC所成二面角的余弦值 20 本小题满分 14 分 已知圆 C 与两圆 22 4 1xy 22 2 1xy 外切 圆 C 的圆心轨迹方程为 L 设 L 上的点与点 M x y的距离的最小值为m 点 0 1 F与点 M x y的距离为n 求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程 求满足条件mn 的点M的轨迹 Q 的方程 试探究轨迹 Q 上是否存在点 11 B x y 使得过点 B 的切线与两坐标轴围成的三角形的 面积等于 1 2 若存在 请求出点B的坐标 若不存在 请说明理由 21 本小题满分 14 分 设函数 2 ln1f xxax 求函数 f x的单调区间 若函数 ln2F xf x 有两个极值点 12 x x且 12 xx 求证 2 1 4 F x 理科数学 第 47 页 共 75 页 肇庆市肇庆市 20122012 届高中毕业班第一次模拟测试届高中毕业班第一次模拟测试 数学 理科 参考答案及评分标准数学 理科 参考答案及评分标准 1C 解析 由题意可知 50 35 30 x x x 2C 解析 集合N有 0 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 2 共 8 个 3D 解析 由已知得 0 1 2 0 1 2 MNMN 4C 解析 函数 2 f xxxm 有零点 1 1 401 4 mmm 反之不然 5A 解析 1 cos2 cossin2 sin sincos sinsin2 2 f xxxxxxxxx 函数 f x是最小正周期为 的奇函数 6D 解析 4 3 2 1 42 3 ab abb 42 3 2 1 0 解得1 2 8 6 2 1 10 5 ab 22 2 1055 5 ab 7B 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 角点坐标分别为 3 33 3 3 4 0 3 2 42 ABCD 99 2 3 42 ABCD zzzz 8B 解析 由题知不可能是曲边界的区域 如果边界为曲边区域 当向量M a 对任意正实 数 所得的向量 a不能再通过平移到原区域内 所以排除 A C D 给出图像 易知 B 正 确 理科数学 第 48 页 共 75 页 9 解析 5 5 2 2 150 xx 5x 或 3x 舍去 5x 或5x 10 解析 45 10 4 1 x x 的通项为 Tr 1 rrrrr xC x xC 540 10 10 4 10 1 令 40 5r 0 解得 r 8 代入得常数项为 2 10 8 10 CC 45 11 解析 11 由图知 成绩在 13 15 内的人数为 50 0 060 16 11 人 所以这次百米比赛中获奖的人数共有 11 人 12 解析 6 由题知 3 2 52 a c b 即 9 4 2 5 2 22 a ba b 解得 2 5 2 3 b a 由椭圆的定义知 ABF2的周长为 3 446 2 a 13 解 4 3 用数形结合 设 3 1 y k x 则 3 ykxk 表示经过点 1 3 P 的直线 k为直线的斜率 所以求 3 1 y x 的取值范围就等价于求同时经过点 1 3 P 和圆上的点的直线 中斜率的最大最小值 从图中可知 当过 P 的直线与圆相切时斜率取最大最小值 此时对应的 直线斜率分别为 PB k和 PA k 其中 PB k不存在 由圆心 2 0 C到直线 3 ykxk 的距离 2 2 3 1 1 kk r k 解得 4 3 k 所以 3 1 y x 的取值范围是 4 3 14 解析 1 圆的直角坐标方程为 22 4xy 直线的直角坐标方程为360 xy 圆心到直线的距离 0306 3 2 d 所以圆上一点直线的最小值等于 321dr 理科数学 第 49 页 共 75 页 15 解析 2 由已知 0 30 EFD得 0 60 POD 在PODRt 中 4 230tan 306090 0000 POPDODP 所以624 OFPOPF 又由割线定理得PFPEPD 2 解得2 PE 16 解 设 n a的公差为d 由已知条件 1 1 1 45 ad ad 2 分 解得 1 3a 2d 4 分 所以 1 1 25 n aandn 6 分 25 n an 55 25 22 n n an cn 22 n cn n b 8 分 2122232 loglogloglog n Tbbbb 23 2222 log 2log 2log 2log 2n 1 123 2 n n n 12 分 17 解 交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法 3 分 从图中可知 被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有 520252030100 人 四川籍的有 15 1055540 人 4 分 设四川籍的驾驶人员应抽取x名 依题意得 5 10040 x 解得2x 即四川籍的应抽取 2 名 7 分 的所有可能取值为 0 1 2 8 分 2 5 2 7 10 0 21 C P C 11 25 2 7 10 1 21 C C P C 2 2 2 7 1 2 21 C P C 10 分 的分布列为 012 P 10 21 10 21 1 21 11 分 理科数学 第 50 页 共 75 页 均值 101 21 4 12 217 E 13 分 18 解 由 1 sin2 2 abC 即 1 3 4sin2 2 2 C 得 2 sin 3 C 2 分 180oABC 2 sin sin 180 sin 3 o ABCC 4 分 由 得 2 sin 3 C 090oC 2 2 27 cos1 sin1 33 CA 5 分 2 2 75 cos22cos121 39 CC 6 分 272 14 sin22sincos2 339 CCC 7 分 cos 2cos2cossin2sin 444 CCC 522 1425 24 7 929218 9 分 3CBa 4ACb 10 分 设向量CB 与CA 所成的角为 则180oC 11 分 coscos 180 cos o CBACCBACabCabC 7 3 44 7 3 13 分 19 解