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第十三章随机变量的数字特征大数定律和中心极限定理 一 考试内容 二 考试要求 三 真题选讲 四 课外习题 一 考试内容 1 随机变量的数学期望 均值 方差 标准差及其性质 2 随机变量的函数的数学期望 3 切比雪夫不等式 4 矩 协方差 相关系数及其性质 5 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦大数定律 6 棣莫弗 拉普拉斯定理 列维 林德伯格中心极限定理 二 考试要求 1 理解随机变量数字特征 数学期望 方差 标准差 矩 协方差 相关系数 的概念 会运用数字特征的基本性质 并掌握常用分布的数字特征 2 会求随机变量函数的数学期望 3 了解切比雪夫不等式 4 了解切比雪夫大数定律 伯努利大数定律和辛钦大数定律 独立同分布随机变量序列的大数定律 5 了解棣莫弗 拉普拉斯定理 二项分布以正态分布为极限分布 列维 林德伯格中心极限定理 独立同分布随机变量序列的中心极限定理 并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 三 真题选讲 例1 设随机变量的概率分布为 则 例2 设随机变量的分布函数为 其中为标准正态分布的分布函数 则 A 0 B 0 3 C 0 7 D 1 例3 设随机变量在区间上服从均匀分布 随机变量 则方差 例5 设随机变量与相互独立 且与存在 记 则 A B C D 例6 将一枚硬币重复掷次 以和分别表示正面向上和反面向上的次数 则和的相关系数等于 A B C D 例7 设随机变量和的数学期望分别为和 方差分别为和 而相关系数为 则根据切比雪夫不等式 例8 设总体服从参数为的指数分布 为来自总体的简单随机样本 则当时 依概率收敛于 例9 设为随机事件 且令 1 求二维随机变量的概率分布 2 求与的相关系数 例10 对于任意两事件和 称为事件和的相关系数 1 证明事件和独立的充分必要条件是其相关系数等于零 2 利用随机变量相关系数的基本性质 证明 例11 已知甲乙两箱中装有同种产品 其中甲箱中装有3件合格品和3件次品 乙箱中仅装有3件合格品 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后 求 1 乙箱中次品件数的数学期望 2 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 例12 设某企业生产线上产品的合格品率为0 96 不合格产品中只有的产品可进行再加工 再加工的合格率为0 8 其余均为废品 已知每件合格产品可获利80元 每件废品亏损20元 为保证该企业每天平均利润不低于2万元 问该企业每天至少应生产多少件产品 四 课外习题 习1 设随机变量和的相关系数为 若则与的相关系数为 习2 设随机变量独立同分布 且其方差为令 则 A B C D 习3 设随机变量的概率密度为对独立地重复观察4次 用表示观察值大于的次数 求的数学期望 习4 箱中装有6个球 其中红 白 黑球的个数分别为1 2 3个 现从箱中随机地取出2个球 记为取出的红球的个数 为取出的白球的个数 1 求随机变量的概率分布 2 求 习7 设是二随机事件 随机变量试证明随机变量和不相关的充分必要条件是与相互独立 习6
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