学案5空间直角坐标系.ppt

考点一 考点二 考点三 返回目录 1 空间直角坐标系的概念 1 OABC D A B C 是单位正方体 以O为原点 分别以射线OA OC OD 的方向为正方向 以线段OA OC OD 的长为单位长 建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 也就建立了一个空间直角坐标系O xyz 其中点O叫做坐标原点 叫做坐标轴 通过每两个坐标轴的平面叫做 分别称为xOy平面 yOz平面 zOx平面 x轴 y轴 z轴 坐标平面 返回目录 2 在平面上画空间直角坐标系O xyz时 一般使 xOy yOz 3 点P在各坐标平面内的特点 若点P在xOy平面内 则P的坐标为 若点P在xOz平面内 则P的坐标为 若点P在yOz平面内 则P的坐标为 4 点P在坐标轴上的特点 若点P在x轴上 则P的坐标为 若点P在y轴上 则P的坐标为 若点P在z轴上 则P的坐标为 135 90 x y 0 x 0 z 0 y z x 0 0 0 y 0 0 0 z 返回目录 2 空间两点间的距离公式设P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 则d P1 P2 特别地 P x y z 到原点的距离d O P 3 空间坐标系中的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式 1 已知P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 则P1P2的中点P的坐标为 2 已知 ABC的三顶点A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 C x3 y3 z3 则 ABC的重心G的坐标为 返回目录 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是一直角梯形 BAD 90 AD BC AB BC a AD 2a PA 底面ABCD PDA 30 AE PD于E 试建立适当的坐标系 求出各点的坐标 分析 由题意易知 AP AB AD两两互相垂直 故以A为坐标原点 以AB AD AP所在的直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 考点一确定空间点的坐标 返回目录 解析 如图所示 以点A为坐标原点 以AB AD AP所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 AB BC a 点A 0 0 0 B a 0 0 C a a 0 AD 2a D 0 2a 0 PA 底面ABCD PA AD 又 PDA 30 PA ADtan30 a 故点P 0 0 a 面PAD 面ABCD 过E作EF AD于F 则F为E在底面ABD内的射影 在Rt AED中 EDA 30 AE AD a 故E 0 a 返回目录 返回目录 在建立空间直角坐标系求点的坐标时 要使尽可能多的点落在坐标轴上 尽可能多的线段平行于坐标轴 有直角的 把直角边放在坐标轴上 对应演练 设正四棱锥S P1P2P3P4的所有棱长均为a 建立适当的坐标系 求点S P1 P2 P3和P4的直角坐标 以底面中心作为坐标原点 棱P1P2 P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴 如图 正四棱锥S P1P2P3P4如图所示 其中O为底面正方形的中心 P1P2 Oy轴 P1P4 Ox轴 SO在Oz轴上 返回目录 d P1 P2 a 而P1 P2 P3 P4均在xOy平面上 P1 0 P2 0 又P3与P1关于原点O对称 P4与P2关于原点O对称 P3 0 P4 0 又 d S P1 a d O P1 a 在Rt SOP1中 d S O S 0 0 返回目录 返回目录 正方形ABCD ABEF的边长都是1 而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直 点M在AC上移动 点N在BF上移动 若CM BN a 0 a 1 求MN的长 2 求a为何值时 MN的长最小 分析 条件中存在两两垂直的三条直线 故可以建立空间直角坐标系 考点二空间直角坐标系的综合应用 返回目录 解析 面ABCD 面ABEF 面ABCD 面ABEF AB AB BE BE 面ABC AB BC BE两两垂直 以B为原点 以BA BE BC所在直线分别为x轴 y轴和z轴 建立如图所示空间直角坐标系 则M a 0 1 a N a a 0 MN 当a 时 MN 最短 为 此时 M N恰为AC BF的中点 返回目录 利用空间两点间距离公式求线段MN的长度 再利用二次函数求线段MN长的最小值 这也是最基本的方法 返回目录 返回目录 对应演练 在正四棱锥S ABCD中 底面边长为a 侧棱长也为a 以底面中心O为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 P点在侧棱SC上 Q点在底面ABCD的对角线BD上 试求P Q两点间的最小距离 由于S ABCD是正四棱锥 所以P点在底面上的射影R在OC上 又底面边长为a 所以OC a 而侧棱长也为a 所以SO OC 于是PR RC 故可以设P点的坐标为 x x a x x 0 又Q点在底面ABCD的对角线BD上 所以可设Q点的坐标为 y y 0 因此P Q两点间的距离为d 显然当x y 0时d取得最小值 d的最小值等于 这时 P恰好为SC的中点 Q恰好为底面的中心 返回目录 返回目录 如图所示 以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系 点P在正方体的对角线AB上 点Q在棱CD上 1 当点P为对角线AB的中点时 点Q在棱CD上运动时 探究 PQ 的最小值 2 当点P在对角线AB上运动 点Q在棱CD上运动时 探究 PQ 的最小值 考点三空间中两点间距离公式的应用 返回目录 解析 1 因为B 0 0 a A a a 0 P为AB的中点 所以P 又因为Q在CD上运动 所以可设Q 0 a z0 其中z0 0 a 因此 PQ 可知 当z0 时 PQ 取最小值a 分析 先写出相关点的坐标 再根据两点间距离公式求最值 2 显然 当P在AB上运动时 P到坐标平面xOz yOz的距离相等 且P在第一象限 所以可设P t t a t t 0 a 又Q在CD上运动 所以可设Q 0 a z0 z0 0 a 所以 PQ 当且仅当z0 t 时 PQ 取最小值a 返回目录 返回目录 1 解决这类题的关键是正确地写出相关点的坐标 否则就会出现错误的答案 2 就本题而言 从表面上看 是用变量表示了 PQ 求出了P Q两点距离的最小值 事实上 从几何角度上看 第 1 问中 P Q的最小距离也就是定点P到定直线CD的距离 第 2 问中 P Q的最小距离就是异面直线AB与CD间的距离 因此 本题也可以用立体几何知识证得 当P Q分别为AB CD的中点时 PQ就是AB与CD的公垂线段 这时的 PQ 就是 PQ 的最小值 从而可知空间两点的距离公式在立体几何有关距离的问题中有很大用途 返回目录 对应演练 1 若点P x y z 到A 1 0 1 B 2 1 0 两点的距离相等 则x y z满足的关系式是 2 若点A 2 1 4 与点P x y z 的距离为5 则x y z满足的关系式是 3 已知空间两点A 3 1 1 B 2 2 3 在z轴上有一点C 它到A B两点的距离相等 则C点的坐标是 返回目录 1 2x 2y 2z 3 0 2 x 2 2 y 1 2 z 4 2 25 0 0 1 由 PA PB 得即 x 1 2 y2 z 1 2 x 2 2 y 1 2 z2 化简得2x 2y 2z 3 0 2 所以 x