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文档简介

高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大学数学 一 第四讲线性微分方程解的结构 脚本编写 彭亚新 教案制作 彭亚新 第七章常微分方程 本章学习要求 了解微分方程 解 通解 初始条件和特解的概念 了解下列几种一阶微分方程 变量可分离的方程 齐次方程 一阶线性方程 伯努利 Bernoulli 方程 熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程 知道下列高阶方程的降阶法 了解高阶线性微分方程阶的结构 并知道高阶常系数齐次线性微分方程的解法 熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 掌握自由项 右端 为多项式 指数函数 正弦函数 余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 1 二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构 2 二阶线性非齐次微分方程解的结构 3 n阶线性微分方程解的结构 第四节高阶线性微分方程的一般理论 1 二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构 二阶线性微分方程的一般形式为 通常称 2 为 1 的相对应的齐次方程 二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构 1 叠加原理 2 线性无关 线性相关 3 朗斯基 Wronsky 行列式 4 二阶线性齐次微分方程解的结构 5 刘维尔公式 1 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构 1 叠加原理 的解 则它们的线性组合 也是方程 2 的解 证 的解 则它们的线性组合 也是方程 2 的解 在什么情况下 叠加所得可以成为方程 2 的通解 2 线性无关 线性相关 证 由三角函数知识可知 这是不可能的 故 4 二阶线性齐次微分方程解的结构 的两个线性无关的解 则 是方程 2 的通解 解 又容易看出 而 由叠加原理 原方程的通解为 代入方程中 得 即 故有 两边积分 得 5 刘维尔公式 为原方程的通解 则 解 由刘维尔公式 故原方程的通解为 2 二阶线性非齐次微分方程解的结构 1 解的性质 1 解的性质 的一个特解 则 是原方程的一个特解 是其对应的齐次方程 的一个特解 的一个特解 则 是方程 的一个特解 的一个特解 可以直接验证性质1 性质4 如何求特解 的通解 则 是方程 1 的通解 则有 令 以下推导的前提 于是 对上式两边关于x求导 得 即 联立 3 4 构成方程组 解此方程组 再积分 并取积分常数为零 即可得到 解 该方程所对应的齐方程为 它就是我们刚刚讲过的例题 由刘维尔公式得其通解为 由常数变易法 解方程组 两边积分 取积分常数为零 得 两边积分 取积
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