等腰三角形典型例题练习(含答案)

1 等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习 2 等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习 一 选择题 共一 选择题 共 2 小题 小题 1 如图 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 5cm BD 3cm 则点 D 到 AB 的距离为 A 5cmB 3cmC 2cmD 不能确定 2 如图 已知 C 是线段 AB 上的任意一点 端点除外 分别以 AC BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边 ACD 和等边 BCE 连接 AE 交 CD 于 M 连接 BD 交 CE 于 N 给出以下三个结论 AE BD CN CM MN AB 其中正确结论的个数是 A 0B 1C 2D 3 二 填空题 共二 填空题 共 1 小题 小题 3 如图 在正三角形 ABC 中 D E F 分别是 BC AC AB 上的点 DE AC EF AB FD BC 则 DEF 的 面积与 ABC 的面积之比等于 三 解答题 共三 解答题 共 15 小题 小题 4 在 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 E F 分别为 AB AC 上的点 且 EDF EAF 180 求证 DE DF 5 在 ABC 中 ABC ACB 的平分线相交于点 O 过点 O 作 DE BC 分别交 AB AC 于点 D E 请说明 DE BD EC 3 6 已知 如图 D 是 ABC 的 BC 边上的中点 DE AB DF AC 垂足分别为 E F 且 DE DF 请判断 ABC 是什么三角形 并说明理由 7 如图 ABC 是等边三角形 BD 是 AC 边上的高 延长 BC 至 E 使 CE CD 连接 DE 1 E 等于多少度 2 DBE 是什么三角形 为什么 8 如图 在 ABC 中 ACB 90 CD 是 AB 边上的高 A 30 求证 AB 4BD 9 如图 ABC 中 AB AC 点 D E 分别在 AB AC 的延长线上 且 BD CE DE 与 BC 相交于点 F 求证 DF EF 10 已知等腰直角三角形 ABC BC 是斜边 B 的角平分线交 AC 于 D 过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线 于 E 求证 BD 2CE 4 11 2012 牡丹江 如图 ABC 中 AB AC P 为底边 BC 上一点 PE AB PF AC CH AB 垂足分别 为 E F H 易证 PE PF CH 证明过程如下 如图 连接 AP PE AB PF AC CH AB S ABP AB PE S ACP AC PF S ABC AB CH 又 S ABP S ACP S ABC AB PE AC PF AB CH AB AC PE PF CH 1 如图 P 为 BC 延长线上的点时 其它条件不变 PE PF CH 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 并加以证明 2 填空 若 A 30 ABC 的面积为 49 点 P 在直线 BC 上 且 P 到直线 AC 的距离为 PF 当 PF 3 时 则 AB 边上的高 CH 点 P 到 AB 边的距离 PE 12 数学课上 李老师出示了如下的题目 在等边三角形 ABC 中 点 E 在 AB 上 点 D 在 CB 的延长线上 且 ED EC 如图 试确定线段 AE 与 DB 的大 小关系 并说明理由 小敏与同桌小聪讨论后 进行了如下解答 1 特殊情况 探索结论 当点 E 为 AB 的中点时 如图 1 确定线段 AE 与 DB 的大小关系 请你直接写出结论 AE DB 填 或 2 特例启发 解答题目 解 题目中 AE 与 DB 的大小关系是 AE DB 填 或 理由如下 如图 2 过点 E 作 EF BC 交 AC 于点 F 请你完成以下解答过程 3 拓展结论 设计新题 5 在等边三角形 ABC 中 点 E 在直线 AB 上 点 D 在直线 BC 上 且 ED EC 若 ABC 的边长为 1 AE 2 求 CD 的长 请你直接写出结果 13 已知 如图 AF 平分 BAC BC AF 于点 E 点 D 在 AF 上 ED EA 点 P 在 CF 上 连接 PB 交 AF 于点 M 若 BAC 2 MPC 请你判断 F 与 MCD 的数量关系 并说明理由 14 如图 已知 ABC 是等边三角形 点 D E 分别在 BC AC 边上 且 AE CD AD 与 BE 相交于点 F 1 线段 AD 与 BE 有什么关系 试证明你的结论 2 求 BFD 的度数 15 如图 在 ABC 中 AB BC ABC 90 F 为 AB 延长线上一点 点 E 在 BC 上 BE BF 连接 AE EF 和 CF 求证 AE CF 16 已知 如图 在 OAB 中 AOB 90 OA OB 在 EOF 中 EOF 90 OE OF 连接 AE BF 问线段 AE 与 BF 之间有什么关系 请说明理由 6 17 2006 郴州 如图 在 ABC 中 AB AC D 是 BC 上任意一点 过 D 分别向 AB AC 引垂线 垂足分别为 E F CG 是 AB 边上的高 1 DE DF CG 的长之间存在着怎样的等量关系 并加以证明 2 若 D 在底边的延长线上 1 中的结论还成立吗 若不成立 又存在怎样的关系 请说明理由 18 如图甲所示 在 ABC 中 AB AC 在底边 BC 上有任意一点 P 则 P 点到两腰的距离之和等于定长 腰上 的高 即 PD PE CF 若 P 点在 BC 的延长线上 那么请你猜想 PD PE 和 CF 之间存在怎样的等式关系 写出 你的猜想并加以证明 7 等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 2 小题 小题 1 如图 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 5cm BD 3cm 则点 D 到 AB 的距离为 A 5cmB 3cmC 2cmD 不能确定 考点 角平分线的性质 1418944 分析 由已知条件进行思考 结合利用角平分线的性质可得点 D 到 AB 的距离等于 D 到 AC 的距离即 CD 的长 问题可解 解答 解 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D D 到 AB 的距离即为 CD 长 CD 5 3 2 故选 C 2 如图 已知 C 是线段 AB 上的任意一点 端点除外 分别以 AC BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边 ACD 和等边 BCE 连接 AE 交 CD 于 M 连接 BD 交 CE 于 N 给出以下三个结论 AE BD CN CM MN AB 其中正确结论的个数是 A 0B 1C 2D 3 考点 平行线分线段成比例 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 1418944 分析 由 ACD 和 BCE 是等边三角形 根据 SAS 易证得 ACE DCB 即可得 正确 由 ACE DCB 可得 EAC NDC 又由 ACD MCN 60 利用 ASA 可证得 ACM DCN 即可得 正确 又可证得 CMN 是等边三角形 即可证得 正确 解答 解 ACD 和 BCE 是等边三角形 ACD BCE 60 AC DC EC BC ACD DCE DCE ECB 即 ACE DCB ACE DCB SAS AE BD 故 正确 EAC NDC ACD BCE 60 DCE 60 ACD MCN 60 AC DC ACM DCN ASA CM CN 故 正确 又 MCN 180 MCA NCB 180 60 60 60 CMN 是等边三角形 NMC ACD 60 MN AB 故 正确 故选 D 二 填空题 共二 填空题 共 1 小题 小题 3 如图 在正三角形 ABC 中 D E F 分别是 BC AC AB 上的点 DE AC EF AB FD BC 则 DEF 的 面积与 ABC 的面积之比等于 1 3 8 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 1418944 分析 首先根据题意求得 DFE FED EDF 60 即可证得 DEF 是正三角形 又由直角三角形中 30 所对的直角边是斜边的一半 得到边的关系 即可求得 DF AB 1 又由相似三角形的面 积比等于相似比的平方 即可求得结果 解答 解 ABC 是正三角形 B C A 60 DE AC EF AB FD BC AFE CED BDF 90 BFD CDE AEF 30 DFE FED EDF 60 DEF 是正三角形 BD DF 1 BD AB 1 3 DEF ABC DF AB 1 DEF 的面积与 ABC 的面积之比等于 1 3 故答案为 1 3 三 解答题 共三 解答题 共 15 小题 小题 4 在 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 E F 分别为 AB AC 上的点 且 EDF EAF 180 求证 DE DF 考点 全等三角形的判定与性质 角平分线的定义 1418944 分析 过 D 作 DM AB 于 M DN AC 于 N 根据角平分线性质求出 DN DM 根据四边形的内角和定 理和平角定义求出 AED CFD 根据全等三角形的判定 AAS 推出 EMD FND 即可 解答 证明 过 D 作 DM AB 于 M DN AC 于 N 即 EMD FND 90 AD 平分 BAC DM AB DN AC DM DN 角平分线性质 DME DNF 90 EAF EDF 180 MED AFD 360 180 180 9 AFD NFD 180 MED NFD 在 EMD 和 FND 中 EMD FND DE DF 5 在 ABC 中 ABC ACB 的平分线相交于点 O 过点 O 作 DE BC 分别交 AB AC 于点 D E 请说明 DE BD EC 考点 等腰三角形的判定与性质 平行线的性质 1418944 分析 根据 OB 和 OC 分别平分 ABC 和 ACB 和 DE BC 利用两直线平行 内错角相等和等量代换 求证出 DB DO OE EC 然后即可得出答案 解答 解 在 ABC 中 OB 和 OC 分别平分 ABC 和 ACB DBO OBC ECO OCB DE BC DOB OBC DBO EOC OCB ECO DB DO OE EC DE DO OE DE BD EC 6 已知 如图 D 是 ABC 的 BC 边上的中点 DE AB DF AC 垂足分别为 E F 且 DE DF 请判断 ABC 是什么三角形 并说明理由 考点 等腰三角形的判定 全等三角形的判定与性质 1418944 分析 用 HL 证明 EBD FCD 从而得出 EBD FCD 即可证明 ABC 是等腰三角形 解答 ABC 是等腰三角形 证明 连接 AD DE AB DF AC BED CFD 90 且 DE DF D 是 ABC 的 BC 边上的中点 BD DC Rt EBD Rt FCD HL EBD FCD ABC 是等腰三角形 10 7 如图 ABC 是等边三角形 BD 是 AC 边上的高 延长 BC 至 E 使 CE CD 连接 DE 1 E 等于多少度 2 DBE 是什么三角形 为什么 考点 等边三角形的性质 等腰三角形的判定 1418944 分析 1 由题意可推出 ACB 60 E CDE 然后根据三角形外角的性质可知 ACB E CDE 即可推出 E 的度数 2 根据等边三角形的性质可知 BD 不但为 AC 边上的高 也是 ABC 的角平分线 即得 DBC 30 然后再结合 1 中求得的结论 即可推出 DBE 是等腰三角形 解答 解 1 ABC 是等边三角形 ACB 60 CD CE E CDE ACB E CDE 2 ABC 是等边三角形 BD AC ABC 60 E 30 DBC E DBE 是等腰三角形 8 如图 在 ABC 中 ACB 90 CD 是 AB 边上的高 A 30 求证 AB 4BD 考点 含 30 度角的直角三角形 1418944 分析 由 ABC 中 ACB 90 A 30 可以推出 AB 2BC 同理可得 BC 2BD 则结论即可证明 解答 解 ACB 90 A 30 AB 2BC B 60 又 CD AB DCB 30 BC 2BD AB 2BC 4BD 9 如图 ABC 中 AB AC 点 D E 分别在 AB AC 的延长线上 且 BD CE DE 与 BC 相交于点 F 求证 DF EF 考点 全等三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 1418944 分析 过 D 点作 DG AE 交 BC 于 G 点 由平行线的性质得 1 2 4 3 再根据等腰三角形的性质可 得 B 2 则 B 1 于是有 DB DG 根据全等三角形的判定易得 DFG EFC 即可得到结 论 解答 证明 过 D 点作 DG AE 交 BC 于 G 点 如图 1 2 4 3 11 AB AC B 2 B 1 DB DG 而 BD CE DG CE 在 DFG 和 EFC 中 DFG EFC DF EF 10 已知等腰直角三角形 ABC BC 是斜边 B 的角平分线交 AC 于 D 过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线 于 E 求证 BD 2CE 考点 全等三角形的判定与性质 1418944 分析 延长 CE BA 交于一点 F 由已知条件可证得 BFE 全 BEC 所以 FE EC 即 CF 2CE 再通 过证明 ADB FAC 可得 FC BD 所以 BD 2CE 解答 证明 如图 分别延长 CE BA 交于一点 F BE EC FEB CEB 90 BE 平分 ABC FBE CBE 又 BE BE BFE BCE ASA FE CE CF 2CE AB AC BAC 90 ABD ADB 90 ADB EDC ABD EDC 90 又 DEC 90 EDC ECD 90 FCA DBC ABD ADB AFC FC DB BD 2EC 11 2012 牡丹江 如图 ABC 中 AB AC P 为底边 BC 上一点 PE AB PF AC CH AB 垂足分别 为 E F H 易证 PE PF CH 证明过程如下 如图 连接 AP PE AB PF AC CH AB S ABP AB PE S ACP AC PF S ABC AB CH 又 S ABP S ACP S ABC AB PE AC PF AB CH 12 AB AC PE PF CH 1 如图 P 为 BC 延长线上的点时 其它条件不变 PE PF CH 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 并加以证明 2 填空 若 A 30 ABC 的面积为 49 点 P 在直线 BC 上 且 P 到直线 AC 的距离为 PF 当 PF 3 时 则 AB 边上的高 CH 7 点 P 到 AB 边的距离 PE 4 或 10 考点 等腰三角形的性质 三角形的面积 1418944 分析 1 连接 AP 先根据三角形的面积公式分别表示出 S ABP S ACP S ABC 再由 S ABP S ACP S ABC即可得出 PE PF PH 2 先根据直角三角形的性质得出 AC 2CH 再由 ABC 的面积为 49 求出 CH 7 由于 CH PF 则可分两种情况进行讨论 P 为底边 BC 上一点 运用结论 PE PF CH P 为 BC 延长线上的点时 运用结论 PE PF CH 解答 解 1 如图 PE PF CH 证明如下 PE AB PF AC CH AB S ABP AB PE S ACP AC PF S ABC AB CH S ABP S ACP S ABC AB PE AC PF AB CH 又 AB AC PE PF CH 2 在 ACH 中 A 30 AC 2CH S ABC AB CH AB AC 2CH CH 49 CH 7 分两种情况 P 为底边 BC 上一点 如图 PE PF CH PE CH PF 7 3 4 P 为 BC 延长线上的点时 如图 PE PF CH PE 3 7 10 故答案为 7 4 或 10 12 数学课上 李老师出示了如下的题目 在等边三角形 ABC 中 点 E 在 AB 上 点 D 在 CB 的延长线上 且 ED EC 如图 试确定线段 AE 与 DB 的大 小关系 并说明理由 13 小敏与同桌小聪讨论后 进行了如下解答 1 特殊情况 探索结论 当点 E 为 AB 的中点时 如图 1 确定线段 AE 与 DB 的大小关系 请你直接写出结论 AE DB 填 或 2 特例启发 解答题目 解 题目中 AE 与 DB 的大小关系是 AE DB 填 或 理由如下 如图 2 过点 E 作 EF BC 交 AC 于点 F 请你完成以下解答过程 3 拓展结论 设计新题 在等边三角形 ABC 中 点 E 在直线 AB 上 点 D 在直线 BC 上 且 ED EC 若 ABC 的边长为 1 AE 2 求 CD 的长 请你直接写出结果 考点 等边三角形的判定与性质 三角形的外角性质 全等三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 1418944 分析 1 根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出 D ECB 30 求出 DEB 30 求出 BD BE 即可 2 过 E 作 EF BC 交 AC 于 F 求出等边三角形 AEF 证 DEB 和 ECF 全等 求出 BD EF 即 可 3 当 D 在 CB 的延长线上 E 在 AB 的延长线式时 由 2 求出 CD 3 当 E 在 BA 的延长线 上 D 在 BC 的延长线上时 求出 CD 1 解答 解 1 故答案为 2 过 E 作 EF BC 交 AC 于 F 等边三角形 ABC ABC ACB A 60 AB AC BC AEF ABC 60 AFE ACB 60 即 AEF AFE A 60 AEF 是等边三角形 AE EF AF ABC ACB AFE 60 DBE EFC 120 D BED FCE ECD 60 DE EC D ECD BED ECF 在 DEB 和 ECF 中 DEB ECF BD EF AE 即 AE BD 故答案为 3 解 CD 1 或 3 理由是 分为两种情况 如图 1 过 A 作 AM BC 于 M 过 E 作 EN BC 于 N 则 AM EM ABC 是等边三角形 AB BC AC 1 AM BC BM CM BC DE CE EN BC CD 2CN 14 AM EN AMB ENB BN CN 1 CD 2CN 3 如图 2 作 AM BC 于 M 过 E 作 EN BC 于 N 则 AM EM ABC 是等边三角形 AB BC AC 1 AM BC BM CM BC DE CE EN BC CD 2CN AM EN MN 1 CN 1 CD 2CN 1 13 已知 如图 AF 平分 BAC BC AF 于点 E 点 D 在 AF 上 ED EA 点 P 在 CF 上 连接 PB 交 AF 于点 M 若 BAC 2 MPC 请你判断 F 与 MCD 的数量关系 并说明理由 考点 全等三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 1418944 分析 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出 AB AC CD 推出 CDA CAD CPM 求出 MPF CDM PMF BMA CMD 在 DCM 和 PMF 中根据三 角形的内角和定理求出即可 解答 解 F MCD 理由是 AF 平分 BAC BC AF CAE BAE AEC AEB 90 在 ACE 和 ABE 中 15 ACE ABE ASA AB AC CAE CDE AM 是 BC 的垂直平分线 CM BM CE BE CMA BMA AE ED CE AD AC CD CAD CDA BAC 2 MPC 又 BAC 2 CAD MPC CAD MPC CDA MPF CDM MPF CDM 等角的补角相等 DCM CMD CDM 180 F MPF PMF 180 又 PMF BMA CMD MCD F 14 如图 已知 ABC 是等边三角形 点 D E 分别在 BC AC 边上 且 AE CD AD 与 BE 相交于点 F 1 线段 AD 与 BE 有什么关系 试证明你的结论 2 求 BFD 的度数 考点 等边三角形的性质 全等三角形的判定与性质 1418944 分析 1 根据等边三角形的性质可知 BAC C 60 AB CA 结合 AE CD 可证明 ABE CAD 从而证得结论 2 根据 BFD ABE BAD ABE CAD 可知 BFD CAD BAD BAC 60 解答 1 证明 ABC 为等边三角形 BAC C 60 AB CA 在 ABE 和 CAD 中 ABE CAD AD BE 2 解 BFD ABE BAD 又 ABE CAD ABE CAD BFD CAD BAD BAC 60 15 如图 在 ABC 中 AB BC ABC 90 F 为 AB 延长线上一点 点 E 在 BC 上 BE BF 连接 AE EF 和 CF 求证 AE CF 考点 全等三角形的判定与性质 1418944 分析 根据已知利用 SAS 即可判定 ABE CBF 根据全等三角形的对应边相等即可得到 AE CF 解答 证明 ABC 90 ABE CBF 90 又 AB BC BE BF ABE CBF SAS AE CF 16 16 已知 如图 在 OAB 中 AOB 90 OA OB 在 EOF 中 EOF 90 OE OF 连接 AE BF 问线段 AE 与 BF 之间有什么关系 请说明理由 考点 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形 1418944 分析 可以把要证明相等的线段 AE CF 放到 AEO BFO 中考虑全等的条件 由两个等腰直角三角形 得 AO BO OE OF 再找夹角相等 这两个夹角都是直角减去 BOE 的结果 当然相等了 由此 可以证明 AEO BFO 延长 BF 交 AE 于 D 交 OA 于 C 可证明 BDA AOB 90 则 AE BF 解答 解 AE 与 BF 相等且垂直 理由 在 AEO 与 BFO 中 Rt OAB 与 Rt OEF 等腰直角三角形 AO OB OE OF AOE 90 BOE BOF AEO BFO AE BF 延长 BF