第章 建立数学模型ppt课件.ppt

数学建模 教材 什么是数学建模 对于一个现实对象 为了一个特定目的 根据其内在规律 作出必要的简化假设 运用适当的数学工具 得到一个数学结构 用它来解释特定现象的现实性态 预测对象的未来状况 提供处理对象的优化决策和控制 设计满足某种需要的产品等 数学建模具有涉及面广 复杂多样 对学生思维要求高等特点 是一种实践性较强 综合运用多种数学思想方法与计算机技术手段解决实际问题的数学实践活动 本课程的重要意义 我国著名数学家 学部委员姜伯驹先生说得好 高技术说到底是数学技术 从前 人们说数学是科学的语言 是学习科学技术的钥匙 而在日常工作中难以用到 在今后的技术社会 信息社会里 数学将成为众多工作岗位的先决条件 就业机会的敲门砖 学数学不再只是升学的需要 也越来越是谋生的需要 本课程的学习宗旨 数学建模 是实践数学课程的重要组成部分 是继高等数学 线性代数 概率论与数理统计等课程基础上开设的后续课程 它将数学方法 实际问题与计算机应用有机地结合起来 旨在提高学生的综合应用能力 提高学生理论应用于实践的能力 特别是分析 解决问题的能力 本课程的授课方法 数学模型 相对于其他数学课程来说 涉及知识面广 问题的综合性强 内容繁杂 跳跃性比较大 是一门相对 离散 的课程 因此该课程的授课方式主要采用案例式教学 内容连贯性不强 本课程的主要目标 在深入理解各类数学方法的基本概念 基本理论的基础上 培养利用数学软件 Matlab等 进行计算机模拟与数值计算的能力 培养学生运用所学理论知识解决实际问题的意识和创新思维 激发学生对数学学习的兴趣 了解数学应用的广泛背景和方向 通过竞赛培养学生的团队协作精神 提高人际间的交流能力 本课程的基本要求 掌握数学建模的基本理论和方法 对一些具体的相对简单的实际问题能够建立其数学模型 并能够利用计算机进行求解计算 相关的数学软件如Matlab Lingo等 竞赛内容题目由各类实际问题简化而成 没有事先设定的标准答案 但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神 竞赛形式三名大学生组成一队 可以自由地收集资料 调查研究 使用计算机 互联网和任何软件 在三天时间内合作完成一篇论文 评奖标准假设的合理性 建模的创造性 结果的正确性和文字表述的清晰程度 竞赛宗旨 创新意识团队精神重在参与公平竞争 本课程的相关竞赛 全国大学生数学建模竞赛 CUMCM 和美国大学生数学建模竞赛 MCM ICM 全国大学生数学建模竞赛中国数学建模网http 全国大学生竞赛山东组委会 全国大学生数学建模竞赛网站 竞赛宗旨 创新意识团队精神重在参与公平竞争 目的 理解和掌握建立数学模型的方法和步骤 内容 三个实例 椅子的平稳放置 商人渡河 人口预测 重点 建立数学模型的切入点 方法以及模型求解 难点 模型的解释和误差估计 第一章建立数学模型 主要分为机理分析和测试分析两种 机理分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 建立的模型常有明确的物理或现实意义 测试分析 将研究对象看作一个 黑箱 系统 通过对系统输入 输出数据的测量和统计分析 按照一定的准则找出与数据吻合得最好的模型 数学建模的基本方法 按照数学方法主要分为初等模型 几何模型 优化模型 数学规划模型 微分方程模型 差分方程模型 离散模型 概率统计模型 稳定性模型等 数学模型的大致分类 日常生活中的数学模型 引例青岛 广州 一班船需要航行4昼夜 每天同时在两地对开两班船 每班船在航行途中遇到几艘青岛 广州的船 解答 假设考虑从青岛开出的一班船途中遇到的船只 途中没有任何意外停船 则其数学模型可用下图来表示 实例一椅子能在不平的地面放稳吗 实例一椅子能在不平的地面放稳吗 三只脚着地 放不稳 四只脚同时着地 放稳了 模型分析 模型假设 四条腿一样长 椅脚与地面点接触 四脚的连线呈正方形 地面高度是连续变化的 地面可视为数学上的连续曲面 地面是相对平坦的 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地 椅子放稳的定义 核心问题用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来 该问题涉及到两方面问题 椅子 地面为简化问题 使模型符合 理想情况 需对模型作如下几方面假设 椅子方面 只涉及四条腿 特殊的 瘸腿 大脚 等情况不存在 地面方面 没有忽高忽低的情况发生 例如阶梯 连续 地面方面 地面的崎岖程度不大 近似一阶连续 示例一椅子能在不平的地面放稳吗 中心问题用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来 模型构成 椅子的位置 对角线AC与x轴的夹角 表示了椅子的位置 椅脚着地 椅脚与地面的竖直距离为零时就是椅脚着地 变量 的函数 四个距离 两个距离 正方形的对称性 A C两脚与地面距离之和为f B D两脚与地面距离之和为g f g 0 示例一椅子能在不平的地面放稳吗 由地面高度是连续变化的 f和g都是连续函数 由假设3 椅子在任何位置至少有三只脚着地 所以对于任意的 f 和g 中至少有一个为零 当 0时不妨设g 0 f 0 数学问题 已知f 和和g 是 的连续函数 对任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 证明 存在 0 使f 0 g 0 0 模型构成 已知f 和和g 是 的连续函数 对任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 证明 存在 0 使f 0 g 0 0 示例一椅子能在不平的地面放稳吗 模型求解 证明 将椅子旋转90 2 则对角线AC与BD互换 由g 0 0和f 0 0 可知g 2 0和f 2 0 令h f g 则h 0 0和h 2 0 由f和g的连续性知h也是连续函数 根据连续函数的基本性质 必存在 0 0 0 2 使h 0 0 即f 0 g 0 因为f 0 g 0 0 所以f 0 g 0 0 实例二商人们怎样安全过河 实例二商人们怎样安全过河 随从们密约 在河的任一岸 一旦随从的人数比商人多 就杀人越货 但如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中 商人这样才能安全渡河呢 问题 模型分析 安全渡河问题可以视为一个多步决策过程 决策 每一步 即此岸驶到彼岸或彼岸到此岸 确定船上的人员 在保证安全的前提下 两岸的随从数都比不上商人数多 在有限步内使全部人员过河 要求 第k次渡河前此岸的商人数为xk 第k次渡河前此岸的随从数为yk 模型构成 k 1 2 xk yk 0 1 2 3 S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 二维向量sk xk yk 定义为状态 允许状态集 实例二商人们怎样安全过河 要解决此问题 需要数学表示如下问题 为保证安全 必须知道渡河前后此岸和彼岸的商人数和随从数 允许状态 为完成渡河 必须知道每次渡河时 船上的商人数和随从数 允许决策 两岸的商人数和随从数与渡河的关系 状态转移律 此岸的商人数和随从数一旦确定 彼岸时的商人数和随从数自然就确定了 模型构成 实例二商人们怎样安全过河 第k次渡河的商人数为uk 第k次渡河的随从数为vk 二维向量dk uk vk 定义为决策 允许决策集合D u v 1 u v 2 u v 0 1 2 uk vk 0 1 2 k 1 2 k为奇数时此岸到彼岸 k为偶数时彼岸到此岸 状态转移律 sk 1 sk 1 kdk 求决策dk D k 1 2 n 使状态sk S按照转移律 由初始状态s1 3 3 经有限步n到达状态sn 1 0 0 多步决策模型 若用sk表示某一次渡河前此岸人数 sk 1表示渡河后此岸人数 此岸到彼岸时 此岸人数 sk 1 减少 减少数为相应的渡河人数 彼岸到此岸时 此岸人数 sk 1 增加 增加数为相应的渡河人数 因此 sk 1是在sk的基础上加上或减去渡河人数 当此岸到彼岸 k为奇数 时 此岸减少人数为负 当彼岸到此岸 k为偶数 时 此岸增加人数为正 模型求解 实例二商人们怎样安全过河 穷举法 计算机程序求解 图解法 方格点表示状态s x y 16个 允许状态集合S 10个 允许决策dk是沿方格线移动1格或2格 k为奇数时向左 下方移动 此岸到彼岸 k为偶数时向右 上方移动 彼岸到此岸 评注规格化的方法 可以用计算机求解 具有推广的意义 有没有第二种方案呢 注意 k必须是连续的 即从此岸到彼岸后 必须回到此岸 同理 从彼岸到此岸后 必须回到彼岸 实例三如何预报人口的增长 认识人口数量的变化规律 建立人口模型 作出较准确的预报 为有效地控制人口增长提供决策基础 意义 实例三如何预报人口的增长 实例三如何预报人口的增长 直观地看 人口增长是呈指数增长的 实例三如何预报人口的增长 指数增长模型 记今年人口为x0 年增长率为r k年后人口为 xk x0 1 r k 基本条件年增长率r保持不变 英国人口学家马尔萨斯 Malthus 1766 1834 于1798年建立该模型 模型建立 记时刻t的人口为x t 连续 可微函数 x t t x t rx t t t 0 x t x0ert x t x0ert 表示人口将按指数规律随时间无限增长 其中需要估计未知参数 实例三如何预报人口的增长 指数增长模型的应用及局限性 人口增长率不是常数 进入20世纪后增长率明显下降 不符原因 迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型 用它作短期人口预测可以得到较好的结果 不符合十九世纪以后多数地区人口增长规律 不能预测较长时期的人口演变过程 实例三如何预报人口的增长 阻滞增长模型 Logistic模型 荷兰生物数学家Verhulst19世纪中叶提出 自然资源 环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用 并且随着人口的增加 阻滞作用越来越大 增长率r 常数 不固定 减函数 当x xm时人口不再增长 即增长率r xm 0 设r x r sx r 0 s 0 线性 方程 则s r xm 曲线拟合的最小二乘法 可以从表的数据用数值微分算出 右端对参数r s是线性的 例如 利用上图中1860年至1990年的美国人口数据 计算得到r 0 2557 10年 xm 392 0886 实例三如何预报人口的增长 模型检验 用模型计算2000年的人口 与已知的实际数据 281 4百万 比较 x 2000 x 1990 x x 1990 rx 1990 1 x 1990 xm 得到x 2000 274 5百万 与实际数据的误差约2 5 可以认为该模型是相当满意的 其它应用 在社会经济领域也有广泛的应用 例如耐用消费品的销售量 数学建模全过程图解 现实对象的信息 数学模型的建立 现实对象的解答 数学模型的解答 归纳 演绎 现实世界 数学世界 表述 求解 解释 验证 根据建模目的和信息将实际问题 翻译 成数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答 翻译 回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答 数学建模的一般步骤 1 模型假设 2 模型建立 3 模型求解 4 模型分析 5 模型检验 6 模型应用 作出合理的 简化的假设 用数学的语言 符号描述问题 利用各种数学方法 软件计算 对结果的误差分析 稳定性分析 检验模型的合理性 适用性 模型的推广应用及优 缺点 数学建模的论文写作格式 1 论文摘要 2 问题重述 简述模型建立的方法和主要结果 简述问题的背景和目的 3 模型建立 4 模型求解 5 模