高二数学-选修2-2-导数及其应用测试卷-(含答案)

高二数学 导数及其应用测试题 含答案 1 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分每小题 5 分 共 60 分 1 若对任意 x 有 f x 4x3 f 1 1 则此函数为 B A f x x4 B f x x4 2 C f x x4 1 D f x x4 2 2 设函数 x f xxe 则 D A 1x 为 f x的极大值点B 1x 为 f x的极小值点 C 1x 为 f x的极大值点D 1x 为 f x的极小值点 解析 1 x fxxe 令 0 fx 得1x 1x 时 0fx x f xxe 为增函数 所以1x 为 f x的极小值点 选 D 3 函数 y 3 x2 ex的单调递增区是 D A 0 B 0 C 3 和 1 D 3 1 解析 222 2 3 23 023031 xxx yxex eexxxxx 函数 y 3 x2 ex的单调递增区是 3 1 4 设a 0 b 0 A A 若2223 ab ab 则a bB 若2223 ab ab 则abD 若2223 ab ab 则a0 上单调递增 即a b成立 5 已知函数 aabxaxxxf7 223 在 1 x 处取得极大值 10 则b a 的值为 A A 3 2 B 2 C 2 或 3 2 D 不存在 解析 由题 2 32fxxaxb 则 2 320 1710 ab abaa 解得 2 1 a b 或 6 9 a b 经检验 6 9 a b 满足题意 故 2 3 a b 选 A 6 函数的定义域为 对任意 则的解 xfR2 1 f2 xfRx42 xxf 集为 B A B C D R 1 1 1 1 7 曲线y x3 x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A 1 3 1 4 3 A B C D 1 9 2 9 1 3 2 3 解析 y x2 1 曲线在点处的切线斜率k 12 1 2 1 4 3 故曲线在点处的切线方程为y 2 x 1 1 4 3 4 3 该切线与两坐标轴的交点分别是 1 3 0 0 2 3 故所求三角形的面积是 故应选 A 1 2 1 3 2 3 1 9 8 已知 R 上可导函数的图象如图所示 则不等式的解集为 xf0 32 2 xfxx D A B 1 2 2 1 2 C D 2 0 1 1 3 1 1 1 9 已知 则的值为 C 2 3 2 3 ff 3 32 lim 3 x xfx x A B C D 不存在4 08 10 函数在区间的值域为 A cos sin 2 1 xxexf x 2 0 A B C D 2 1 2 1 2 e 2 1 2 1 2 e 1 2 e 1 2 e 11 积分 B a a dxxa 22 A B C D 2 4 1 a 2 2 1 a 2 a 2 2 a 12 由抛物线与直线所围成的图形的面积是 B xy2 2 4 xy A B C D 18 3 38 3 16 16 13 与直线 2x y 4 0 平行且与曲线相切的直线方程是 16x 8y 25 0 xy5 14 已知函数 32 21f xxxax 在区间 1 1 上恰有一个极值点 则实数a的取值范 围是 1a7 15 答案 10 dxxx 4 0 3 1 16 函数 3 31f xaxx 对于 1 1x 总有 f x 0 成立 则a 答案 4 解析 本小题考查函数单调性的综合运用 若 x 0 则不论a取何值 f x 0 显然 成立 当 x 0 即 1 1x 时 3 31f xaxx 0 可化为 23 31 a xx 设 23 31 g x xx 则 4 3 1 2x gx x 所以 g x 在区间 1 0 2 上单调递增 在区 间 1 1 2 上单调递减 因此 max 1 4 2 g xg 从而a 4 当 x 0 即 1 0 时 3 31f xaxx 0 可化为a 23 31 xx 4 3 1 2x gx x 0 g x 在区间 1 0 上单调递增 因此 ma 14 n g xg 从而a 4 综上a 4 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 本题满分 10 分 设函数f x ax3 bx c a 0 为奇函数 其图象在点 1 f 1 处 的切线与直线x 6y 7 0 垂直 导函数f x 的最小值为 12 1 求a b c的值 2 求函数f x 的单调递增区间 并求函数f x 在 1 3 上的最大值和最小值 解 1 f x 为奇函数 f x f x 即 ax3 bx c ax3 bx c c 0 f x 3ax2 b 的最小值为 12 b 12 又直线 x 6y 7 0 的斜率为 1 6 因此 f 1 3a b 6 a 2 b 12 c 0 2 单调递增区间是 和 22 f x 在 1 3 上的最大值是 18 最小值是 8 2 18 本小题满分 12 分 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形 制成一个圆R 锥形容器 扇形的圆心角多大时 容器的容积最大 解 设圆锥的底面半径为 高为 体积为 则rhV 由 所以 222 Rrh 0 3 1 3 1 3 1 3 1 32222 RhhhRhhRhrV 令得 6 分 22 3 1 hRV 0 VRh 3 3 易知 是函数的唯一极值点 且为最大值点 从而是最大值点 Rh 3 3 V 当时 容积最大 8 分 Rh 3 3 把代入 得 Rh 3 3 222 Rrh Rr 3 6 由得 rR 2 3 62 即圆心角时 容器的容积最大 11 分 3 62 答 扇形圆心角时 容器的容积最大 12 分 3 62 19 本小题满分 12 分 已知函数 为实数 2 x f xxax ex Ra 当时 求函数的单调增区间 0 a xf 若在闭区间上为减函数 求的取值范围 xf 1 1 a 解 1 当时 0 a x exxf 2 由或 xxx exxexxexf 2 2 22 00 xxf2 x 故单调增区间为和 xf 0 2 2 由Rxeaxxxf x 2 xxx eaxaxeaxxeaxxf 2 2 22 记 axaxxg 2 2 依题时 恒成立 结合的图象特征 1 1 x0 xg xg 得即 的取值范围 01 1 023 1 g ag 2 3 aa 2 3 20 本题满分 12 分 2012 北京理 已知函数 2 1f xax 0a 3 g xxbx 1 若曲线 yf x 与曲线 yg x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求 a b的值 2 当 2 4ab 时 求函数 f xg x 的单调区间 并求其在区间 1 上的最大值 解 1 由 1c 为公共切点可得 2 1 0 f xaxa 则 2fxax 1 2ka 3 g xxbx 则 2 3g xxb 2 3kb 23ab 又 1 1fa 1 1gb 11ab 即ab 代入 式可得 3 3 a b 2 2 4ab 设 322 1 1 4 h xf xg xxaxa x 则 22 1 32 4 h xxaxa 令 0h x 解得 1 2 a x 2 6 a x 0a 26 aa 综上所述 当 02a 时 最大值为 2 1 4 a ha 当 2 a 时 最大值为1 2 a h 21 本小题满分 12 分 设 13 ln1 22 f xaxx x 其中aR 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线垂直于y轴 求a的值 求函数 f x的极值 解 1 因 13 ln1 22 f xaxx x 故 2 13 22 a fx xx 由于曲线 yf x 在点 1 1f处的切线垂直于y轴 故该切线斜率为 0 即 10 f 从而 13 0 22 a 解得1a 2 由 1 知 13 ln10 22 f xxxx x 2 22 113321 222 xx fx xxx 2 31 1 2 xx fx x 令 0fx 解得 12 1 1 3 xx 因 2 1 3 x 不在定义域内 舍去 当 0 1x 时 0fx 故 f x在 0 1上为减函数 当 1 x 时 0fx 故 f x在 1 上为增函数 故 f x在1x 处取得极小值 13f 22 本题满分 12 分 已知函数 lnxxxf 1 求函数 xf 的极值点 2 若直线l过点 0 1 并且与曲线 xfy 相切 求直线l的方程 3 设函数 1 xaxfxg 其中 Ra 求函数 xg 在 e 1 上的最小值 其中 e 为自然对数的底数 解 1 xxxf 1ln 0 而 x f 0 lnx 1 0 x xf e 1 0 1ln x 0 0 x 1 e 所以 xf 在 e 1 0 上单调递减 在 1 e 上单调递增 所以 e x 1 是函数 xf 的极小值点 极大值点不存在 2 设切点坐标为 00 y x 则 ln 000 xxy 切线的斜率为 1ln 0 x 所以切线l的方程为 1lnln 0000 xxxxxy 又切线l过点 1 0 所以有 01lnln1 0000 xxxx 解得 0 1