（数学）2016数学科精编模拟题(文科）VIP

1 2016 年数学精编模拟题 文科 年数学精编模拟题 文科 第 卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 60 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 已知复数 为虚实单位 z 的共轭复数为 则1zi iz 2 z z A B C D i1 i 1 i 1 i 2 已知全集 集合 UR 1 1 2 x x A 2 230 x xx 则图 1 中阴影部分所表示的集合为 A B 0 x x 13 xx C D 13 x xx 或 1 x x 3 已知 则 1 sincos 3 2 2cos 1 4 A B C D 8 9 17 18 8 9 2 3 4 设定义在 1 7 上的函数的图象如图 2 示 则函数 yf x 1 y f x 的单调区间表述正确的是 A 在 1 1 上单调递减 B 在单调递减 在上单调递增 0 1 1 3 C 在 5 7 上单调递减 D 在 3 6 上单调递增 5 若变量 x y 满足约束条件 1 3215 x yx xy 则的最大值为2zxy A 3 B 2 C 8 D 9 6 下列命题中是假命题的是 A B R 2 0 xtansinxx 0 x2cossin 00 xx C R D R x03 x 0 x0lg 0 x 7 执行如图 3 示的的程序框图 若输入 则输出的值分别为4 6mn a i A 12 3 B 24 2 C 24 3 D 24 4 2 8 设等差数列的前 n 项和为 若 则的最小值等于 n a n S11 1 a6 64 aa n S A 34 B 36 C 6 D 6 9 一个几何体的三视图如图 4 所示 正视图与侧视图为全等的矩 形 俯视图为正方形 则该几何体的体积为 A 8 B 4 C D 8 3 4 3 10 设函数的最小正周 sin cos 0 2 f xxx 期为 且 则 fxf x f x A 在单调递减 B 在单调递增 0 2 0 2 C 在单调递减 D 在单调递增 3 44 3 44 11 设为椭圆 C 的左右焦点 若椭圆 C 上存在一点 P 使得 12 F F 22 22 1 0 xy ab ab 则椭圆的离心率的取值范围为 12 PFPF A B C D 2 1 2 1 1 2 2 0 2 2 1 4 12 已知函数 若函数有个零点 2 1 0 2 1 0 x xx x f x ex yf xkx 3 则实数的取值范围是k A B C D 1 1 1 2 1 2 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须 做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把正确的答案填写在答题卡相应 的横线上 13 已知 则 1 2 0 2 aab b 14 在 ABC 中 已知与的夹角为 150 则的取值范围是 AB BC 2AC AB 15 设 则不等式的解集为 2 1 ln 1 x f xeg xx 1f g xg f x 3 A B C D 16 已知 F 为抛物线的焦点 是抛物线上的动点 点 A 是抛物线的准线与 x 轴的交点 2 4yx P x y 当最小时 点 P 的坐标为 PF PA 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共6小题 满分小题 满分80分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列 n a的前 n 项和 21 n Sn 求数列 n a的通项公式 n a 求数列的前项和 n nn Sa n n T 备选 1 设为数列的前 n 项之积 且满足 n T n a1 nn Ta nN 证明 数列为等差数列 并求的通项公式 1 1 n a n a 证明 222 12 1 n TTT 备选 2 本小题满分 12 分 已知数列的首项 前项和为 且 n a 1 4a n n S 1 3240 nn SSnnN 证明数列为等比数列 并求数列的通项公式 1 n a n a 设函数 是函数的导函数 求 2 11 n nn f xa xaxa x fx f x 1 f 备选 3 本小题满分 12 分 已知 ABC 中 AD 是 BC 边的中线 且 120BAC 2AB AC 求 ABC 的面积 求 AD 的最小值 备选 4 在ABC 中 已知且 113 cos cos 714 AAB BA 1 求角 B 的值 2 若ABC 的边 求边 AC 的长 5AB 18 本小题满分 12 分 随着国民生活水平的提高 利用长假旅游的人越来越多 某公司统计了 2012 到 2016 年五年间本 公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数 具体统计数据如下表所示 年份 x 20122013201420152016 家庭数 y 610162226 从这 5 年中随机抽取两年 求外出旅游的家庭数至少有 1 年多于 20 个的概率 利用所给数据 求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程 判断 ybxa 4 它们之间是正相关还是负相关 并根据所求出的直线方程估计该公司 2019 年春节期间外出旅 游的家庭数 参考公式 1 2 1 n ii i n i i xxyy baybx xx 备选 某中学共有 4400 名学生 其中男生 2400 名 女生 2000 名 为了解学生的数学基础的差异 采用分层抽样的方法从全体学生中选取 55 名进行试卷成绩调查 得到男生试卷成绩的频率分布直方图 和女生试卷成绩的频数分布表 计算的值 以分组的中点数据为平均数据 分别估计男生和女生的数学平均成绩 a b 若规定成绩在 120 150 为优秀 由以上的统计数据填写下面的 2 2 列联表 并判断是否 有 90 的把握认为男女生的数学基础有差异 参考公式 临界值表 2 2 n adbc K ab cd ac bd 19 本小题满分 12 分 如图 在斜三棱柱 侧面与侧面都是菱形 111 ABCABC 11 ACC A 11 CBBC 111 60 2ACCCC BAC 求证 11 ABCC 若 求四棱锥的体积 1 6AB 11 ABBC C 20 本小题满分 12 分 成绩分组 75 90 90 105 105 120 120 135 135 150 频数 2687b 男生女生总计 优秀 不优秀 总计 2 0 P Kk 0 100 050 01 0 k 2 7063 8416 635 5 已知椭圆与抛物线有公共弦 AB A 在 B 左边 2 2 122 1 0 y x Cab ab 2 2 1Cxy AB 2 的顶点是的一个焦点 过点 B 且斜率为的直线 l 与 分别交于点 2 C 1 Ck 0 k 1 C 2 C M N 均异于点 A B 求的方程 1 C 若点 A 在以线段 MN 为直径的圆外 求的取值范围 k 备选 1 本小题满分 12 分 已知点 一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切 同时与 22 122 10 1 0 1 1FFFxy A 相外切 设动圆的圆心轨迹为曲线 T 2 FA 求曲线 T 的方程 设 C D 是曲线 T 上位于 x 轴上方的两点 分别过 C D 作曲线 T 的切线 两条切线交于点 P 且分别与 x 轴交于点 B A AC 与 BD 交于点 E 作 EF x 轴于点 F 试探究 P E F 三点是否共 线 备选 2 本小题满分 12 分 已知 抛物线上一点到抛物线焦点的距离为 0p m 2 2E xpy 2M mF3 求的值 p 过抛物线 E 的焦点 F 作斜率分别为 的两条不同直线 且 直线 1 k 2 k 1 l 2 l 12 2kk 与抛物线 E 交于点 A B 直线与抛物线 E 交于点 C D 以 AB CD 为直径的 的公 1 l 2 lMANA 共弦所在的直线为 求 的方程 ll 21 本小题满分 12 分 已知 函数 0a ln 1 x f xxa xg xke 若函数的图象在点 2 处的切线与直线平行 求的值 g x 2 g 2 10e xy k 设 当时 恒成立 试求的取值范围 1 h xf xg x 0 x 1h x a 请考生在第 请考生在第 22 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一个题目计分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一个题目计分 22 本小题满分 10 分 4 1 几何证明选讲 如图所示 圆与线段 的延长线分别切于点 与线OABACDE 段切于点 BCF 求证 直线平分的周长 AFABCA 若 直线交圆于点 5AB 4BC 3CA AFOG 求的长度 AG 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 经过点 P 1 0 其倾斜角为 以原点 O 为极点 以 x 轴非负 半轴为极轴 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 建立极坐标系 设曲线 C 的极坐标方程为 6 2 6 cos10 写出直线 l 的参数方程 若直线 l 与曲线 C 有公共点 求的取值范围 设 M x y 为曲线 C 上任意一点 求的最大值 xy 24 本小题满分 12 分 选修 4 5 不等式选讲 设关于 x 的不等式的解集为 A 且 2 xa aR 31 22 AA 已知对任意的 恒成立 求的取值范围 xR 2 1 3 xxaa a 若 求 的最小值 并指出取得最小值时的值 1ab 1 3 b b a a 7 参考答案参考答案 一 选择题 一 选择题 CDCBDB ADACAB 解析 11 设椭圆的上顶点为 A 依题意知 90 故 即 12 F AF 2 45AF O 故 2 2 coscos45 2 c AF Oe a 2 1 2 e 12 由得到 当时 得到 得到 0f xkx f xkx 0 0f 0 x 2 1 2 xxkx 所以 当时 所以要使在 1 0 2 xk 1 2 k 0 x 1 1 xx f xefxe yf xkx 时有一个零点 则 所以实数的取值范围是 选 B 0 x 1k k 1 二 填空题 二 填空题 13 14 0 4 15 16 或 17 1 1 1 2 1 2 14 由与的夹角为 150 知 由正弦定理得 AB BC 30B 又得 4 4sin sinsin30 ABAC ABC C 0150C 0 4AB 16 由抛物线的定义易得 222 11 1 1 4 PFxx PA xyxx 2 2 111 42 1 4 1 1 1 2 xx x x x 当且仅当即时等号成立 这时点 P 的坐标为或 1 x x 1x 1 2 1 2 三 解答题 三 解答题 17 解 由得21 n Sn 1 1 a 当时 2n 1 21 2 1 1 2 nnn aSSnn 1 1 2 2 n n a n 8 当时 1n 11 1 1TS a 当时 2n 2 1 122 n nnn TS aS aS a 23 1 3 25 2 21 2nn 令 23 3 25 2 21 2nAn 则 34 1 23 25 2 23 2 21 2 nn Ann 得 234 1 3 22 222 21 2 nn An 32 1 2 21 12 2 21 2 2 1 n n n 1 2 32 4 n n 则 1 2 23 4 n An 故 1 2 23 5 n n Tn 显然当时 式也成立 1n 1 2 23 5 n n Tn 备选 1 解 依题意知 121 nnn Ta aaa nN 故 11 1 1 1 nn n nn Ta a Ta 1 1 2 n n a a 于是 1 211111 1 1 1111 1 2 n nnnn n a aaaa a 又 111 1 1 2 aaa 数列是首项为 公差为 1 的等差数列 1 1 n a 1 1 2 1 a 1 2 1 11 1 n nn a 1 n n a n 由结合 可得 则 1 nn Ta 1 1 n T n 2 2 1 1 n T n 1 1 n n 11 1nn 222 12 11111 1 2231 n TTT nn 1 11 1n 备选 2 解 由得当时 1 3240 nn SSnnN 2n 两式相减得 1 32 1 40 nn SSn 1 320 nn aa 即数列是以为首项 公比为 3 的等比数列 1 132 13 1 3 111 nnn nnn aaa aaa 1 n a 1 1a 1 1 1 1 3n n aa 1 5 31 n n a nN 9 A BC D E 由 得 1 11 2 n nn fxaaxna x 11 1 2 nn faana 120 5 31 2 5 31 5 31 nn n 120 1 5 32 33 2 nn n n n 令 120 32 33 nn Sn 则 12 332 3 1 33 nn Snn 得 1 3 31 2333 2 n nn Snn 1 33 42 n n S 故 1 5 315 6 1 42 n n n f 备选 3 17 解 2 分2AB AC 1 cos2 2 AB ACBACAB AC 即 3 分4AB AC 5 分 311 sin43 222 ABC SAB ACBAC 延长 AD 到 E 使 AD DE 连结 BE 6 分 BD DC 四边形 ABEC 为平行四边形 7 分60ABE 设 则 记 ADx 2AEx ABc ACb 则 在 ABE 中 由余弦定理得 BEb 9 分 22222 2 2cosxbcbcABEbcbc 即 11 分 22 2bcbc 2 4xbc 2 44x 当且仅当时取等号 1x bc 即 AD 的最小值为 1 12 分 备选 4 解 1 由可得 1 分 113 cos cos 714 AAB 2 14 3 sin1 77 A 3 分 2 133 3 sin 1 1414 AB coscos coscos sinsin BAABAABAAB 5 分 1 134 3 3 31 7 147142 6 分 3 B 在 ABC 中 CAB 10 sinC sin sin ABAB 7 分sincoscossinABAB 9 分 4 31135 3 727214 2 在 ABC 中 由正弦定理得 10 分 sinsin ABAC CB 12分 3 5 sin 2 7 sin5 3 14 ABB AC C 18 本小题满分 12 分 从这 5 年中任意抽取两年 所有的事件有 2012 2013 2012 2014 2012 2015 2012 2016 2013 2014 2013 2015 2013 2016 2014 2015 2014 2016 2015 2016 共 10 种 2 分 至少有 1 年多于 20 人的事件有 2012 2015 2012 2016 2013 2015 2013 2016 2014 2015 2014 2016 2015 2016 共 7 种 4 分 则至少有 1 年多于 10 人的概率为 5 分 7 10 P 由已知数据得 7 分16 2014 yx 8 分 1 2 10 1 6 1 62 1052 n ii i xxyy 9 分 22222 1 1 2 1210 n i i xx 所以 10 分 1 2 1 52 5 2 10 n ii i n i i xxyy b xx 165 2201410456 8a 所以是正相关 回归直线的方程为 11 分 5 210456 8yx 则第 2019 年的估计值为 12 分 5 22019 10456 842y 备选 解 在选取的 55 名学生中 男生有 人 女生 人 2400 5530 4400 2000 5525 4400 11 由男生成绩分布的直方图知 解得 15 349113 1aaaaa 1 450 a 由女生成绩频数分布表得 26 8 7 25b 2b 用样本估计该校男生的数学平均成绩为 1 3 82 5 11 97 59 112 54 127 5 3 142 5 30 分 109 用样本估计该校女生的数学平均成绩为 1 2 82 56 97 58 112 57 127 52 142 5 25 分 113 1 表格填写如下 由公式得 2 2 55 7 1623 9 1 0612 706 16 39 30 25 K 故没有 90 的把握认为男女生的数学基础有差异 19 证明 取得中点 O 连结 AO OB1 1 CC 侧面与侧面都是菱形 且 11 ACC A 11 CBBC 111 60 ACCCC B CB1C1与 ACC1均为等边三角形 又 1 AOCC 11 BOCC 1 0AOBO 平面 又 平面 1 CC 1 ABO 1 AB 1 ABO 11 ABCC 2 AC 1 3BOAO 又 有 1 6AB 222 11 6BOAOAB 又且 1 AOOB 1 AOCC 11 CCOBO 平面 AO 11 CBBC 男生女生总计 优秀 7916 不优秀 231639 总计 302555 12 1 11 1 2 113 2232 334 A BB C CBB C C VSAO A 备选 19 本小题满分12分 已知直三棱柱的底面为正三角形 111 ABCABC 当时 证明 1 2 2 AA AB 11 ABBC 在 的条件下 若 求四棱锥A CBB1C1的体积 2AB 备选 解 解法 1 设 AB 2k 1 2AAk 0 k 11 AB BC 111111 AAABBBBC 111111111111 AA BBAA BCAB BBAB BC 又 111111 AABC ABB B 11 AB BC 2 20022cos1200kkk 11 ABBC 解法 2 设 AB 以 AC 的中点 D 为坐标原点 AC 所2k 1 2AAk 0 k 在的直线为 x 轴 DB 所在的直线为 y 轴建立空间直角坐标系如 图示 则 0 0 0 D 0 0 0 0 03 0 AkC kBk 1 0 3 2 Bkk 1 0 2 C kk 1 3 2 ABkkk 1 3 2 BCkkk 则 222 11 320AB BCkkk 11 ABBC 解法 3 分别取 的中点 D E F D1 AB 1 BB 11 BC 11 AB 不妨设 AB 2 则 1 2AA 1 BC 22 11 6ABABB B DE EF 分别为 与 的中位线 1 D F 1 ABB 11 BC B 111 ABC 且 11 ABDE EFBC 6 2 EFDE 111 1 1 2 D FAC 在直角三角形中 1 DD F 222 11 3DFD DD F 而 222 3EFDEDF EFDE 11 ABBC 13 是直三棱柱 111 ABCABC 平面平面 在平面ABC内过点A作AM CB于M 则M为CB的中点 ABC 11 CBBC 2AB 3AM 且有平面 AM 11 CBBC 1 11 1 112 6 223 333 A BB C CBB C C VSAM A 20 解 抛物线的顶点为 即椭圆的下焦点为 2 1yx 0 1 0 1 1 分1c 由 AB 2 知 代入抛物线得 得 2 分1 B x 1 0 B1b 2 的方程为 4 分 222 abc 1 C 2 2 1 2 y x 依题意知直线 l 的方程为 5 分 1 yk x 联立消去 y 得 2 2 1 2 y x 2222 2 220kxk xk 则 得 7 分 2 2 2 2 MB k xx k 2 2 2 2 M k x k 24 2 M k y k 由 得 2 1 1 yk x xy 2 10 xkxk 由 得 22 4 1 2 0kkk 2k 则 得 9 分1 NB xxk 1 N xk 2 N yk k 点 A 在以 MN 为直径的圆外 即 10 分 AM AN 0 2 又 0AM AN 1 0 A 1 1 MMNN AM ANxyxy 2 2 22 4 2 2 22 kk k k kk 2 2 2 4 0 2 kk k 解得 综上知 12 分4k 0 0 2 2 4 k 备选 解 设动圆圆心为 G x y 0 x 在 y 轴右侧与 y 轴相切 同时与相外切 GA 2 FA 从而 2 1GFx 22 1 1xyx 整理得曲线 T 的方程为 2 4 0 yx x 2 设 001122 P xyC x yD xy 14 由得当时 2 4 0 yx x 0y 2yx 1 y x 切线 CB 的方程为 即 11 1 1 yyxx x 1 1 2 yxx y 切线 DA 的方程为 即 22 2 1 yyxx x 2 2 2 yxx y B 点的坐标为 A 点的坐标为 1 0 x 2 0 x 直线 AC 的方程为 1 2 12 y yxx xx 直线 BD 的方程为 2 1 12 y yxx xx 点 P 为切线 BC AD 的交点 点 P 的坐标满足方程 即 001 1 2 yxx y 002 2 2 yxx y 0102 12 11 xxxx yy 又 联立消去 y 得 由 得 1221 12 x yx y x yy 1221012 x yx yxyy 即点 E 的横坐标为 与点 P F 的横坐标相同 0 xx 0 x P E F 三点共线 备选 2 解 由点到抛物线焦点的距离为 3 2M mF 结合抛物线的定义得 解得 23 2 p 2p 即抛物线的方程为 2 4xy 过点 MN 分别作准线的垂线 垂足分别为1y Q T 由抛物线的性质知 准线为 的公切线 设两圆的公共弦与公切线的交点为 G 由MANA 切割线定理知 G 为 QT 的中点 由题意知 设 0 1 F 1 l 1 1yk x 由 设 则 于是 1 2 1 2 1 440 4 yk x xk x xy 1122 A x yB xy 121 4xxk 15 故 12 1 2 2 M xx xk 2 11 1 21 MM yk xk 2 11 2 21 Mkk 同理可得 2 22 2 21 Nkk 又 且 故 12 22 22 QT G xx kk x 12 2kk 1 G y 2 1 G 又 两圆的公共弦与两圆的连心线互相垂直 22 12 12 21 21 22 MN kk k kk 12 2kk 直线 的方程为 即 11 2 l MN k k l 1 1 2 2 yx 20 xy 求点 M 到直线 距离的最小值 l 由点到直线的距离公式得 2 2 1 11 17 4 22 21 7 5 44 2055 k kk d 故当时 点 M 到 的距离取得最小值 最小值为 1 1 4 k l 7 5 20 21 解 由得函数的图象在点 2 处的切线 x g xke g x 2 g 斜率为 又该切线与直线平行得 故 2 ke 2 10e xy 22 kee 1k 注意到 1 h xf xg x ln 1 x xaxe 1 1 x h xea x 当时易证 令 0 x 1 x ex 1 10 xx u xexu xe 0 x 函数在单调递增 即 u x 0 0 0u xu 1 x ex 1