2003年春季高考.上海卷.数学试题及答案

蓝天家教网 伴你快乐成长 003 年上海市普通高校春季高考数学试卷 2003 12 20 一 填空题 本大题满分 48 分 1 若复数 满足 则 的实部是 z2 1 izz 2 方程的解 1 3 lglg xx x 3 在中 分别是 所对的边 若 ABC cba A B C 105 A 45 B 则 22 b c 4 过抛物线的焦点作垂直于 轴的直线 交抛物线于 两点 则以为xy4 2 FxABF 圆心 为直径的圆方程是 AB 5 已知函数 则方程的解 2 4 log 3 x xf4 1 xf x 6 如图 在底面边长为 2 的正三棱锥中 是的中点 若ABCV EBC 的面积是 则侧棱与底面所成角的大小为 VAE 4 1 VA 结果用反三角函数值表示 7 在数列中 且对任意大于 1 的正整数 点在直线 n a3 1 an 1 nn aa 上 则 03 yx 2 1 lim n an n 8 根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律 试猜测第 个图中有 n 个点 1 2 3 4 5 9 一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文 5 篇和非试点学校的论文 3 篇 若任意排列交流次序 则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是 结果用分数表示 10 若平移椭圆 使平移后的椭圆中心在第一象限 且它与 轴 369 3 4 22 yxx 轴分别只有一个交点 则平移后的椭圆方程是 y 11 如图 在由二项式系数所构成的杨辉三角形中 第 行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 3 2 12 在等差数列中 当时 n a sr aa sr n a 必定是常数数列 然而在等比数列中 对某 n a 些正整数 当时 非常数数rs sr sr aa 列的一个例子是 n a 二 填空题 本大题满分 16 分 13 下列函数中 周期为 1 的奇函数是 A B C D xy 2 sin21 3 2 sin xyxtgy 2 xxy cossin 14 若非空集合 则 或 是 的 NM Ma Na NMa A B C V E 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1 第 5 行 1 5 10 10 5 1 蓝天家教网 伴你快乐成长 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 15 在中 有命题 若ABC BCACAB 0 CABCAB 则为等腰三角形 若 则为锐角三0 ACABACABABC 0 ABACABC 角形 上述命题正确的是 A B C D 16 若 则下列不等式恒成立的是 2 1 a ap 0 atqarccos 11 t A B C D qp 0 qpqp 40 qp 三 解答题 本大题满分 86 分 17 本题满分 12 分 在直角坐标系中 已知点和点xOy 22cos2 1cos2 xxP 其中 若向量与垂直 求 的值 1 cos xQ 0 xOPOQx 18 本题满分 12 分 已知实数满足不等式 试判断方程p0 2 12 x x 有无实根 并给出证明 052 22 pzz 19 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第一小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车 有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型 公交车 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50 试问 1 该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车 2 到哪一年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 3 1 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第一小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 如图 点为斜三棱柱的侧棱上一点 交于点 P 111 CBAABC 1 BB 1 BBPM 1 AAM 交于点 1 BBPN 1 CCN 1 求证 MNCC 1 2 在任意中有余弦定理 拓展到空DEF DFEEFDFEFDFDE cos2 222 间 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二 面角之间的关系式 并予以证明 A A1 B1 B C1 C M N P 蓝天家教网 伴你快乐成长 21 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 6 分 已知函数 为正常数 且函数与的图象 axxf 12 2 axxxga xf xg 在轴上的截距相等 y 1 求的值 a 2 求函数的单调递增区间 xgxf 3 若 为正整数 证明 n 4 5 4 10 ngnf 22 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分 已知倾斜角为的直线 过点和点 在第一象限 45l 2 1 ABB23 AB 1 求点的坐标 B 2 若直线 与双曲线相交于 两点 且线段的中点坐标为l1 2 2 2 y a x C 0 aEFEF 求的值 1 4 a 3 对于平面上任一点 当点在线段上运动时 称的最小值为与线段PQAB PQP 的距离 已知点在 轴上运动 写出点到线段的距离 关于 的函数关ABPx 0 tPABht 系式 2003 年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案 一 填空题 1 1 2 2 3 2 4 5 1 6 7 3 8 9 4 1 22 yx 4 1 arctg1 2 nn 14 5 10 1 4 2 9 3 22 yx 11 34 12 与 同为奇数或偶数 0 aaaaa rs 二 选择题 13 D 14 B 15 C 16 B 三 解答题 17 由 得 利用 化简后得OQOP 0 22cos2 1cos2 cos xxx1cos22cos 2 xx 于是或 0coscos2 2 xx0cos x 2 1 cos x 0 x 32 或 x 18 由 解得 方程的判别式 0 2 12 x x 2 1 2 x 2 1 2 p052 22 pzz 4 4 2 p 由此得方程无实根 2 1 2 p 4 2 4 1 p0 052 22 pzz 19 1 该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 其中 n a 5 1 128 1 qa 蓝天家教网 伴你快乐成长 则在 2010 年应该投入的电力型公交车为 辆 14585 1128 66 17 qaa 2 记 依据题意 得 于是 辆 即 nn aaaS 21 3 1 10000 n n S S 5000 5 11 5 11 128 n n S 32 657 5 1 n 则有因此 所以 到 2011 年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车 5 7 n8 n 总量的 3 1 20 1 证 MNCCPMNCCPNCCPMCCBBCC 111111 平面 2 解 在斜三棱柱中 有 其 111 CBAABC cos2 1111 111111 222 AACCBBCC AACCBBCCAABB SSSSS 中为 平面与平面所组成的二面角 BBCC 11 AACC 11 上述的二面角为 在中 1 PMNCC平面 MNP PMN cos2 222 MNPMNPNMNPNPM MNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPM cos 2 11 111 222222 由于 1 111 1 1 1 1 1 BBPMSCCMNSCCPNS AABBAACCBBCC 有 cos2 1111 111111 222 AACCBBCC AACCBBCCAABB SSSSS 21 1 由题意 又 所以 00gf 1 a0 a1 a 2 12 1 2 xxxxgxf 当时 它在上单调递增 1 x xxxgxf3 2 1 当时 它在上单调递增 1 x 2 2 xxxgxf 1 2 1 3 设 考查数列的变化规律 ngnf n c 10 5 4 n c 解不等式 由 上式化为1 1 n n c c 0 n c1 5 4 10 32 n 解得 因得 于是 而7 3 2 3 8 0lg2 1 nNn 4 n 4321 cccc 654 ccc 所以 4 5 4 10 5 4 10 5 4 10 25344 gfngnf 22 1 直线方程为 设点 由及 得AB3 xy yxB 18 2 1 3 22 yx xy 0 x0 y 点的坐标为 4 x1 yB 1 4 2 由得 设 则 得 1 3 2 2 2 y xy a x 0106 1 2 1 2 xx a 2211 yxFyxE4 2 2 1 6 21 a a xx 2 a 3 解法一 设线段上任意一点坐标为 ABQ 3 xxQ 22 3 xxtPQ 记 2 3 2 2 3 22 2 2 3 t t xxxtxf 41 t 当时 即时 41 2 3 t 51 t 2 3 2 3 min t t fPQ 当 即时 在上单调递减 4 2 3 t 5 t xf 4 1 1 4 4 2 min tfPQ 当 即时 在上单调递增 1 2 3 t 1 t xf 4 1 4 1 1 2 min tfPQ A B x y A B 1O1 2 35 蓝天家教网 伴你快乐成长 综上所述 51 4 51 14 1 2 2 3 2 tt t tt th t