2010年各地高考数学试题分类汇编—-—三角函数

1 20102010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 三角函数三角函数 2010 上海文数 上海文数 18 若 ABC的三个内角满足sin sin sin5 11 13ABC 则 ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 解 解 由sin sin sin5 11 13ABC 及正弦定理得 a b c 5 11 13 由余弦定理得0 1152 13115 cos 222 c 所以角 C 为钝角 2010 浙江理数 浙江理数 9 设函数 4sin 21 f xxx 则在下列区间中函数 f x不存在零点的是 A 4 2 B 2 0 C 0 2 D 2 4 解 解 将 xf的零点转化为函数 xxhxxg 与12sin4的交点 数形结合可知答案选 A 2010 浙江理数 浙江理数 4 设0 2 x 则 2 sin1xx 是 sin1xx 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解 解 因为 0 x 2 所以 sinx 1 故 xsin2x xsinx 结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同 可知 答案选 B 2010 全国卷全国卷 2 理数 理数 7 为了得到函数sin 2 3 yx 的图像 只需把函数sin 2 6 yx 的图像 A 向左平移 4 个长度单位 B 向右平移 4 个长度单位 C 向左平移 2 个长度单位 D 向右平移 2 个长度单位 解 解 sin 2 6 yx sin2 12 x sin 2 3 yx sin2 6 x 所以将sin 2 6 yx 的 图像向右平移 4 个长度单位得到sin 2 3 yx 的图像 故选 B 2010 陕西文数 陕西文数 3 函数 f x 2sinxcosx 是 A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 解 解 f x 2sinxcosx sin2x 周期为 的奇函数 答案 C 2010 辽宁文数 辽宁文数 6 设0 函数sin 2 3 yx 的图像向右平移 4 3 个单位后与原图像重合 则 的最小值是 A 2 3 B 4 3 C 3 2 D 3 解 解 选 C 由已知 周期 243 32 T 2 2010 辽宁理数 辽宁理数 5 设 0 函数 y sin x 3 2 的图像向右平移 3 4 个单位后与原图像重合 则 的最小值是 A 2 3 B 4 3 C 3 2 D 3 解 解 将 y sin x 3 2 的图像向右平移 3 4 个单位后为 4 sin 2 33 yx 4 sin 2 33 x 所以有 4 3 2k 即 3 2 k 又因为0 所以 k 1 故 3 2 k 3 2 所以选 C 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 3 已知 2 sin 3 则cos 2 x A 5 3 B 1 9 C 1 9 D 5 3 解 解 本题考查了二倍角公式及诱导公式 SINA 2 3 2 1 cos 2 cos2 1 2sin 9 2010 江西理数 江西理数 7 E F 是等腰直角 ABC 斜边 AB 上的三等分点 则tanECF A 16 27 B 2 3 C 3 3 D 3 4 解 解 约定 AB 6 AC BC 3 2 由余弦定理 CE CF 10 再由余弦定理 得 4 cos 5 ECF 解得 3 tan 4 ECF 解法二 约定 AB 6 AC BC 3 2 F 1 0 E 1 0 C 0 3 利用向量的夹角公式得 4 cos 5 ECF 解得 3 tan 4 ECF 2010 山东文数 山东文数 10 观察 2 2xx 4 3 4xx cos sinxx 由归纳推理可得 若定义在 R上的函数 f x 满足 fxf x 记 g x 为 f x 的导函数 则 gx A f x B f x C g x D g x 解 解 D 2010 北京文数 北京文数 7 某班设计了一个八边形的班徽 如图 它由腰长为 1 顶角为 的四个等腰三 角形 及其底边构成的正方形所组成 该八边形的面积为 A 2sin2cos2 B sin3cos3 C 3sin3cos1 D 2sincos1 解 解 A 3 2010 四川理数 四川理数 6 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再把所得各点 的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 A sin 2 10 yx B sin 2 5 yx C 1 sin 210 yx D 1 sin 220 yx 解 解 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 所得函数图象的解析式为 y sin x 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 1 sin 210 yx 2010 天津文数 天津文数 8 5 yAsinxxR 66 右图是函数 在区间 上的图象 为了 得到这个函数的图象 只要将ysinxxR 的图象上所有的点 A 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 B 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 C 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 D 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 解 解 由图像可知函数的周期为 振幅为 1 所以函数的表达式可以是 y sin 2x 代入 6 0 可得 的一个值为 3 故图像中函数的一个表达式是 y sin 2x 3 即 y sin2 x 6 所以只 需将 y sinx x R 的图像上所有的点向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 2010 天津理数 天津理数 7 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 22 3abbc sin2 3sinCB 则 A A 0 30 B 0 60 C 0 120 D 0 150 解解 由由正弦定理得 2 3 2 3 22 cb cb RR 4 所以 cosA 2222 c a3 22 bbcc bcbc 32 33 22 bcbc bc 所以 A 300 2010 福建文数 福建文数 2 计算1 2sin22 5 的结果等于 A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 解解 原式 2 cos45 2 故选 B 2010 全国卷全国卷 1 文数 文数 1 cos300 A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 解解 1 cos300cos 36060cos60 2 2010 湖北理数 湖北理数 3 在ABC 中 a 15 b 10 A 60 则cosB A 2 2 3 B 2 2 3 C 6 3 D 6 3 解 解 根据正弦定理 sinsin ab AB 可得 1510 sin60sinB 解得 3 sin 3 B 又因为ba 则BA 故 B 为锐角 所以 2 6 cos1sin 3 BB 故 D 正确 2010 福建理数 福建理数 1 cos13 计算si n43cos43 si n13的值等于 A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 解 解 原式 1 sin 43 13 sin30 2 故选 A 二二 填空题填空题 2010 浙江理数 浙江理数 11 函数 2 sin 2 2 2sin 4 f xxx 的最小正周期是 解 解 2 4 2sin 2 2 xxf故最小正周期为 2010 全国卷全国卷 2 理数 理数 13 已知a是第二象限的角 4 tan 2 3 a 则tana 解 解 由 4 tan 2 3 a 得 4 tan2 3 a 又 2 2tan4 tan2 1tan3 a 1 tantan2 2 或 又a是第二象限的角 所以 1 tan 2 5 2010 北京文数 北京文数 10 在ABC 中 若1b 3c 2 3 c 则 a 解 解 1 2010 北京理数 北京理数 10 在 ABC 中 若 b 1 c 3 2 3 C 则 a 解 解 1 2010 广东理数 广东理数 11 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 若 a 1 b 3 A C 2B 则 sinC 解 解 由 A C 2B 及 A B C 180 知 B 60 由正弦定理知 13 sinsin60A 即 1 sin 2 A 由 ab 知 60AB 则 30A 180180306090CAB sinsin901C 2010 福建文数 福建文数 16 观察下列等式 cos2a 2 2 cos a 1 cos4a 8 4 cos a 8 2 cos a 1 cos6a 32 6 cos a 48 4 cos a 18 2 cos a 1 cos8a 128 8 cos a 256 6 cos a 160 4 cos a 32 2 cos a 1 cos10a m 10 cos a 1280 8 cos a 1120 6 cos a n 4 cos a p 2 cos a 1 可以推测 m n p 解 解 因为 1 22 3 82 5 322 7 1282 所以 9 2512m 观察可得400n 50p 所以 m n p 962 2010 全国卷全国卷 1 文数 文数 14 已知 为第二象限的角 3 sin 5 a 则tan2 解 解 因为 为第二象限的角 又 3 sin 5 所以 4 cos 5 sin3 tan cos4 所 2 2tan24 tan 2 1tan7 2010 福建理数 福建理数 14 已知函数f x 3sin x 0 6 和g x 2cos 2x 1 的图象的对称轴完全 相同 若x 0 2 则f x 的取值范围是 解 解 由题意知 2 因为x 0 2 所以 5 2x 666 由三角函数图象知 f x 的最小 值为 3 3sin 62 最大值为3sin 3 2 所以f x 的取值范围是 3 3 2 2010 江苏卷 江苏卷 10 定义在区间 2 0 上的函数 y 6cosx 的图像与 y 5tanx 的图像的交点为 P 过点 6 P 作 PP1 x 轴于点 P1 直线 PP1与 y sinx 的图像交于点 P2 则线段 P1P2的长为 解 解 线段 P1P2的长即为 sinx 的值 且其中的 x 满足 6cosx 5tanx 解得 sinx 2 3 线段 P1P2的长为 2 3 2010 江苏卷 江苏卷 13 在锐角三角形 ABC A B C 的对边分别为 a b c 6cos ba C ab 则 tantan tantan CC AB 解 解 已知条件和所求结论对于角 A B 和边 a b 具有轮换性 当 A B 或 a b 时满足题意 此时有 1 cos 3 C 2 1 cos1 tan 21 cos2 CC C 2 tan 22 C 1 tantan2 tan 2 AB C tantan tantan CC AB 4 三三 解答题解答题 2010 上海文数 上海文数 19 已知0 2 x 化简 2 lg costan1 2sin lg 2cos lg 1 sin2 22 x xxxx 解 解 原式 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 2010 浙江理数 浙江理数 18 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 cos2 4 C I 求 sinC 的值 当 a 2 2sinA sinC 时 求 b 及 c 的长 解 解 因为 cos2C 1 2sin2C 1 4 及 0 C 所以 sinC 10 4 当 a 2 2sinA sinC 时 由正弦定理 ac sinAsinC 得 c 4 由 cos2C 2cos2C 1 1 4 及 0 C 得 cosC 6 4 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得 b2 6b 12 0 解得 b 6或 26 所以 b 6 b 6 c 4 或 c 4 2010 陕西文陕西文 17 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的 长 解解 在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 cos 222 2 ADDCAC AD DC A 10036 1961 2 10 62 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 sinsin ABAD ADBB 7 AB 3 10 sin10sin60 2 5 6 sinsin452 2 ADADB B A 2010 辽宁文数 辽宁文数 17 在ABC 中 abc 分别为内角ABC 的对边 且2 sin 2 sin 2 sinaAbcBcbC 求A的大小 若sinsin1BC 试判断ABC 的形状 解 解 由已知 根据正弦定理得cbcbcba 2 2 2 2 即bccba 222 由余弦定理 得Abccbacos2 222 故 120 2 1 cosAA 由 得 sinsinsinsinsin 222 CBCBA 又1sinsin CB 得 2 1 sinsin CB 因为 90 0 900CB 故BC 所以ABC 是等腰的钝角三角形 2010 辽宁理数 辽宁理数 17 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 且 2 sin 2 sin 2 sin aAacBcbC 求 A 的大小 求sinsinBC 的最大值 解 解 由已知 根据正弦定理得 2 2 2 2 abc bcb c 即 222 abcbc 由余弦定理 得 222 2cosabcbcA 故 1 cos 2 A A 120 由 得 00 31 sinsinsinsin 60 cossinsin 60 22 BCBBBBB 故当 B 30 时 sinB sinC 取得最大值 1 2010 江西理数 江西理数 17 已知函数 2 1 cotsinsinsin 44 f xxxmxx 1 当 m 0 时 求 f x 在区间 3 84 上的取值范围 2 当tan 2a 时 3 5 f a 求 m 的值 解 解 1 当 m 0 时 22 cos1 cos2sin2 1 sinsinsin cos sin2 xxx f xxxxx x 1 2sin 2 1 24 x 由已知 3 84 x 得 2 2 1 42 x 从而得 f x的值域为 12 0 2 8 2 2 cos 1 sinsin sin sin44 x f xxmxx x 化简得 11 sin2 1 cos2 22 f xxmx 当tan2 得 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 aaa a aaa 3 cos2 5 a 代入上式 m 2 2010 安徽文数 安徽文数 16 ABC 的面积是 30 内角 A B C所对边长分别为 a b c 12 cos 13 A 求AB AC A 若1cb 求a的值 解 解 由 12 cos 13 A 得 2 125 sin1 1313 A 又 1 sin30 2 bcA 156bc 12 cos156144 13 AB ACbcA 222 2cosabcbcA 2 12 2 1 cos 12 156 1 25 13 cbbcA 5a 2010 北京文数 北京文数 15 已知函数 2 2cos2sinf xxx 求 3 f 的值 求 f x的最大值和最小值 解 解 2 2 2cossin 333 f 31 1 44 22 2 2cos1 1 cos f xxx 2 3cos1 xxR cos1 1x 当cos1x 时 f x取最大值 2 当cos0 x 时 f x去最小值 1 2010 北京理数 北京理数 15 已知函数 x f 2 2cos2sin4cosxxx 求 3 f 的值 求 x f的最大值和最小值 解 解 I 2 239 2cossin4cos1 333344 f II 22 2 2cos1 1 cos 4cosf xxxx 2 3cos4cos1xx 2 27 3 cos 33 x xR 因为cosx 1 1 当cos1x 时 f x取最大值 6 当 2 cos 3 x 时 f x取最小值 7 3 2010 四川理数 四川理数 19 证明两角和的余弦公式C cos coscossinsin 由C 推导两角和的正弦公式S sin sincoscossin 已知 ABC 的面积 1 3 2 SABAC 且 3 5 cosB 求 cosC 解 解 1 如图 在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O 并作出角 与 使角 的始边为 Ox 交 O 于点 P1 终边交 O 于 P2 角 的始边为 OP2 9 终边交 O 于 P3 角 的始边为 OP1 终边交 O 于 P4 则 P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P4 cos sin 由 P1P3 P2P4及两点间的距离公式 得 cos 1 2 sin2 cos cos 2 sin sin 展开并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 由 易得 cos 2 sin sin 2 cos sin cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin sin cos cos sin 2 由题意 设 ABC 的角 B C 的对边分别为 b c 则 S 1 2 bcsinA 1 2 ABAC bccosA 3 0 A 0 2 cosA 3sinA 又 sin2A cos2A 1 sinA 10 10 cosA 3 10 10 由题意 cosB 3 5 得 sinB 4 5 cos A B cosAcosB sinAsinB 10 10 故 cosC cos A B cos A B 10 10 2010 天津文数 天津文数 17 在 ABC 中 cos cos ACB ABC 证明 B C 若cos A 1 3 求 sin4B 3 的值 证 证 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 sinB sinC cosB cosC 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因为BC 从而 B C 0 所以 B C 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 1 3 又 0 2B ACOCOC ACAC 故且对于线段上任意点P有O PO C 而小艇的最高航行速度只 能达到 30 海里 小时 故轮船与小艇不可能在 A C 包含 C 的任意位置相遇 设COD 0 90 10 3tanRt CODCD 则在中 OD 10 3 cos 由于从出发到相遇 轮船与小艇所需要的时间分别为 10 10 3tan 30 t 和 10 3 cos t v 所以 10 10 3tan 30 10 3 cosv 解 得 15 33 30 sin 30 sin 30 2 vv 又故 从而 30 90 30tan 由于时 取得最小值 且最小值为 3 3 于是当30 时 10 10 3tan 30 t 取得最小值 且最小值为 2 3 此时 在OAB 中 20OAOBAB 故可设计 11 航行方案如下 航行方向为北偏东30 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇 2010 江苏卷 江苏卷 17 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆 BC 的 高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据 此算出 H 的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d 单位 m 使 与 之 差较大 可以提高测量精确度 若电视塔的实际高度为 125m 试问 d 为多少时 最大 解 解 1 tan tan HH AD AD 同理 tan H AB tan h BD AD AB DB 故得 tantantan HHh 解得 tan4 1 24 124 tantan1 24 1 20 h H 因此 算出 的电视塔的高度 H 是 124m 2 由题设知dAB 得tan tan HHhHh dADDBd 2 tantan tan 1tantan 1 HHh hdh dd HHhH Hh dH Hh d ddd 2 H Hh dH Hh d 当且仅当 125 12155 5dH Hh