2000年全国高中数学联赛试题及解答[1]

2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚 1 2000 年全国高中数学联合竞赛试卷年全国高中数学联合竞赛试卷 10 月 15 日上午 8 00 9 40 一 选择题 本题满分 36 分 每小题 6 分 1 设全集是实数 若 A x 0 B x 10 10 x 则 A RB 是 x 2 x2 2 A 2 B 1 C x x 2 D 2 设 sin 0 cos 0 且 sin cos 则 的取值范围是 3 3 3 A 2k 2k k Z B k Z 6 3 2k 3 6 2k 3 3 C 2k 2k k Z D 2k 2k 2k 2k k Z 5 6 4 3 5 6 3 已知点 A 为双曲线 x2 y2 1 的左顶点 点 B 和点 C 在双曲线的右分支上 ABC 是等边三角形 则 ABC 的面积是 A B C 3 D 6 3 3 3 3 233 4 给定正数 p q a b c 其中 p q 若 p a q 是等比数列 p b c q 是等差数列 则一元 二次方程 bx2 2ax c 0 A 无实根 B 有两个相等实根 C 有两个同号相异实根 D 有两个异号实根 5 平面上整点 纵 横坐标都是整数的点 到直线 y x 的距离中的最小值是 5 3 4 5 A B C D 34 170 34 85 1 20 1 30 6 设 cos isin 则以 3 7 9为根的方程是 5 5 A x4 x3 x2 x 1 0 B x4 x3 x2 x 1 0 C x4 x3 x2 x 1 0 D x4 x3 x2 x 1 0 二 填空题 本题满分 54 分 每小题 9 分 1 arcsin sin2000 2 设 an是 3 n的展开式中 x 项的系数 n 2 3 4 则 x lim n 32 a2 33 a3 3n an 3 等比数列 a log23 a log43 a log83 的公比是 4 在椭圆 1 a b 0 中 记左焦点为 F 右顶点为 A 短轴上方的端点为 B 若该椭圆的离心 x2 a2 y2 b2 率是 则 ABF 5 1 2 5 一个球与正四面体的六条棱都相切 若正四面体的棱长为 a 则这个球的体积是 6 如果 1 a b c d 都属于 1 2 3 4 2 a b b c c d d a 3 a 是 a b c d 中的最小值 那么 可以组成的不同的四位数的个数是 abcd 三 解答题 本题满分 60 分 每小题 20 分 1 设 Sn 1 2 3 n n N 求 f n 的最大值 Sn n 32 Sn 1 2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚 2 2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚 3 2 若函数 f x x2 在区间 a b 上的最小值为 2a 最大值为 2b 求 a b 1 2 13 2 3 已知 C0 x2 y2 1 和 C1 1 a b 0 试问 当且仅当 a b 满足什么条件时 对 C1上任 x2 a2 y2 a2 意一点 P 均存在以 P 为顶点 与 C0外切 与 C1内接的平行四边形 并证明你的结论 2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚 4 2000 年全国高中数学联赛二试题 10 月 15 日上午 10 00 12 00 一 本题满分 50 分 如图 在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E F 满足 BAE CAF 作 FM AB FN AC M N 是垂足 延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D 证明 四边形 AMDN 与三角 形 ABC 的面积相等 二 本题满分 50 分 设数列 a n 和 b n 满足 a0 1 a1 4 a2 49 且 n 0 1 2 an 1 7an 6bn 3 bn 1 8an 7bn 4 证明 a n n 0 1 2 是完全平方数 三 本题满分 50 分 有 n 个人 已知他们中的任意两人至多通电话一次 他们中的任意 n 2 个人之间通电话的次数相等 都是 3 k次 其中 k 是自然数 求 n 的所有可能值 A B C D EF M N 2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚 5 2000 年全国高中数学联合竞赛试题解答 第一试 一 选择题 本题满分 36 分 每小题 6 分 1 设全集是实数 若 A x 0 B x 10 10 x 则 A RB 是 x 2 x2 2 A 2 B 1 C x x 2 D 解 A 2 B 2 1 故选 D 2 设 sin 0 cos 0 且 sin cos 则 的取值范围是 3 3 3 A 2k 2k k Z B k Z 6 3 2k 3 6 2k 3 3 C 2k 2k k Z D 2k 2k 2k 2k k Z 5 6 4 3 5 6 解 满足 sin 0 cos 0 的 的范围是 2k 2k 于是 的取值范围是 2 3 2k 3 6 2k 3 3 满足 sin cos 的 的取值范围为 2k 2k 故所求范围是 2k 2k 2k 2k 3 3 3 4 5 4 4 3 5 6 k Z 选 D 3 已知点 A 为双曲线 x2 y2 1 的左顶点 点 B 和点 C 在双曲线的右分支上 ABC 是等边三角形 则 ABC 的面积是 A B C 3 D 6 3 3 3 3 233 解 A 1 0 AB 方程 y x 1 代入双曲线方程 解得 B 2 3 33 S 3 选 C 3 4 给定正数 p q a b c 其中 p q 若 p a q 是等比数列 p b c q 是等差数列 则一元二次方程 bx2 2ax c 0 A 无实根 B 有两个相等实根 C 有两个同号相异实根 D 有两个异号实根 解 a2 pq b c p q b c 2p q 3 p 2q 3 a2 bc pq 2p q p 2q p q 2 0 选 A 1 4 1 9 2 9 5 平面上整点 纵 横坐标都是整数的点 到直线 y x 的距离中的最小值是 5 3 4 5 A B C D 34 170 34 85 1 20 1 30 解 直线即 25x 15y 12 0 平面上点 x y 到直线的距离 25x 15y 12 5 34 5 5x 3y 2 2 5 34 5x 3y 2 为整数 故 5 5x 3y 2 2 2 且当 x y 1 时即可取到 2 选 B 6 设 cos isin 则以 3 7 9为根的方程是 5 5 A x4 x3 x2 x 1 0 B x4 x3 x2 x 1 0 C x4 x3 x2 x 1 0 D x4 x3 x2 x 1 0 解 5 1 0 故 3 7 9 都是方程 x5 1 0 的根 x5 1 x 1 x4 x3 x2 x 1 0 选 B 二 填空题 本题满分 54 分 每小题 9 分 A C B y xO 2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚 6 1 arcsin sin2000 解 2000 180 12 160 故填 20 或 9 2 设 an是 3 n的展开式中 x 项的系数 n 2 3 4 则 x lim n 32 a2 33 a3 3n an 解 an 3n 2C 故填 18 2 n 3k ak 2 32 3k 2n n 1 18 n n 1 3 等比数列 a log23 a log43 a log83 的公比是 解 q 填 a log43 a log23 a log83 a log43 a log43 a log83 a log23 a log43 log43 log83 log23 log43 1 3 1 3 4 在椭圆 1 a b 0 中 记左焦点为 F 右顶点为 A 短轴上方的端点为 B 若该椭圆的离心 x2 a2 y2 b2 率是 则 ABF 5 1 2 解 c a AF a BF a AB 2 AO 2 OB 2 a2 5 1 2 5 1 2 5 3 2 故有 AF 2 AB 2 BF 2 即 ABF 90 填 90 或由 b2 a2 c2 a2 ac 得解 5 1 2 5 一个球与正四面体的六条棱都相切 若正四面体的棱长为 a 则这个 球的体积是 解 取球心 O 与任一棱的距离即为所求 如图 AE BE a 3 2 AG a AO a BG a AB AO BG OH 6 3 6 4 3 3 OH a V r3 a3 填 a3 AO BG AB 2 4 4 3 2 24 2 24 6 如果 1 a b c d 都属于 1 2 3 4 2 a b b c c d d a 3 a 是 a b c d 中的最小值 那么 可以组成的不同的四位数的个数是 abcd 解 a c 可以相等 b d 也可以相等 当 a c 相等 b d 也相等时 有C 6 种 2 4 当 a c 相等 b d 不相等时 有A A 8 种 2 3 2 2 当 a c 不相等 b d 相等时 有C C C 8 种 1 3 1 2 1 2 当 a c 不相等 b d 也不相等时 有A 6 种 共 28 种 填 28 3 3 三 解答题 本题满分 60 分 每小题 20 分 1 设 Sn 1 2 3 n n N 求 f n 的最大值 Sn n 32 Sn 1 解 Sn n n 1 f n n 8 时取得最大值 1 2 n n 1 n 32 n 1 n 2 1 50 2 若函数 f x x2 在区间 a b 上的最小值为 2a 最大值为 2b 求 a b 1 2 13 2 FA B Ox y G A D C B E O H 2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚 7 解 若 a b 0 则最大值为 f b b2 2b 最小值为 f a a2 2a 即 a b 是方程 1 2 13 2 1 2 13 2 x2 4x 13 0 的两个根 而此方程两根异号 故不可能 若 a 0 b 当 x 0 时 f x 取最大值 故 2b 得 b 13 2 13 4 当 x a 或 x b 时 f x 取最小值 f a a2 2a 时 a 2 但 a b 从而 f a 是最小值 f b b2 2a 0 与 a 0 矛盾 故舍 17 1 2 13 2 39 32 0 a b 此时 最大值为 f a 2b 最小值为 f b 2a b2 2a a2 2b 相减得 a b 4 解得 a 1 b 3 1 2 13 2 1 2 13 2 a b 1 3 或 2 17 13 4 3 已知 C0 x2 y2 1 和 C1 1 a b 0 试问 当且仅当 a b 满足什么条件时 对 C1上任 x2 a2 y2 a2 意一点 P 均存在以 P 为顶点 与 C0外切 与 C1内接的平行四边形 并证明你的结论 解 设 PQRS 是与 C0外切且与 C1内接的平行四边形 易知圆 的外切平行四边形是菱形 即 PQRS 是菱形 于是 OP OQ 设 P r1cos r1sin Q r2cos 90 r2sin 90 则在直角 三角形 POQ 中有 r12 r22 r12r22 利用 POQ 的面积 即 1 1 r2 1 1 r2 2 但 1 即 r2 1cos2 a2 r2 2sin2 b2 1 r2 1 cos2 a2 sin2 b2 同理 相加得 1 1 r2 2 sin2 a2 cos2 b2 1 a2 1 b2 反之 若 1 成立 则对于椭圆上任一点 P r1cos r1sin 取椭圆上点 Q r2cos 90 1 a2 1 b2 r2sin 90 则 于是 1 此时 PQ 与 C0相切 即存在满 1 r2 1 cos2 a2 sin2 b2 1 r2 2 sin2 a2 cos2 b2 1 r2 1 1 r2 2 1 a2 1 b2 足条件的平行四边形 故证 第二试 一 本题满分 50 分 如图 在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E F 满足 BAE CAF 作 FM AB FN AC M N 是垂足 延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D 证明 四边形 AMDN 与三角 形 ABC 的面积相等 证明 连 MN 则由 FM AM FN AN 知 A M F N 四点共圆 且 该圆的直径为 AF 又 AMN AFN 但 FAN MAD 故 MAD AMN FAN AFN 90 MN AD 且由正弦定理知 MN AFsinA SAMDN AD MN AD AFsinA 1 2 1 2 连 BD 由 ADB ACF DAB CAF 得 ABD AFC AD AB AC AF 即 AD AF AB AC R P Q S y xO A B C D E M N F 2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚 8 SAMDN AD AFsinA AB ACsinA SABC 1 2 1 2 二 本题满分 50 分 设数列 a n 和 b n 满足 a0 1 a1 4 a2 49 且 n 0 1 2 an 1 7an 6bn 3 bn 1 8an 7bn 4 证明 a n n 0 1 2 是完全平方数 证明 7 7an 1 49an 42bn 21 6 6bn 1 48an 42bn 24 两式相减得 6bn 1 7an 1 an 3 即 6bn 7an an 1 3 代入 an 1 14an an 1 6 故 an 1 14 an an 1 1 2 1 2 1 2 其特征方程为 x2 14x 1 0 特征方程的解为 x 7 4 3 故 an 7 4 n 7 4 n 现 a0 1 a1 4 a2 49 解得 33 1 2