数学人教版六年级下册鸽巢问题

教学内容 人教版小学数学六年级下册教材第68 69页 教材分析 鸽巢问题又称抽屉原理或鞋盒原理 它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一 从这个原理出发 可以得出许多有趣的结果 这部分教材通过几个直观的例子 借助实际 操作 向学生介绍了 鸽巢问题 学生在理解这一数学方法的基础上 对一些简单的实 际问题 模型化 会用 鸽巢问题 解决问题 促进逻辑推理能力的发展 学情分析 鸽巢问题 的理论本身并不复杂 对于学生来说是很容易的 但 鸽巢问题 的应 用却是千变万化的 尤其是 鸽巢问题 的逆用 学生对进行逆向思维的思考可能会感到 困难 也缺乏思考的方向 很难找到切入点 设计理念 在教学中 让学生经历将具体问题 数学化 的过程 初步形成模型思想 体会和理 解数学与外部世界的紧密联系 发展抽象能力 推理能力和应用能力 这是 标准 的重 要要求 也是本课的编排意图和价值取向 教学目标 1 知识与技能 通过操作 观察 比较 推理等活动 初步了解鸽巢原理 学会简 单的鸽巢原理分析方法 运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题 2 过程与方法 在鸽巢原理的探究过程中 使学生逐步理解和掌握鸽巢原理 经历 将具体问题数学化的过程 培养学生的模型思想 3 情感态度 通过对鸽巢原理的灵活运用 感受数学的魅力 体会数学的价值 提 高学生解决问题的能力和兴趣 教学重点 理解鸽巢原理 掌握先 平均分 再调整的方法 教学难点 理解 总有 至少 的意义 理解 至少数 商数 1 教学准备 多媒体课件 微视频 合作探究作业纸 教学过程 一 谈话引入 一 谈话引入 1 谈话 你们知道 料事如神 这个词是什么意思吗 今天老师也能做到 料事如 神 你们信不信 现在老师任意点13位同学 我就可以肯定 至少有2个同学的生日在同 一个月 你们信吗 2 验证 学生报出生月份 根据所报的月份 统计13人中生日在同一个月的学生人数 适时引导 至少2个同学 是什么意思 也就是2人或2人以上 反过来 生日在 同一个月的可能有2人 可能3人 4人 5人 也可以用一句话概括就是 至少至少有2人 3 设疑 你们想知道这是为什么吗 通过今天的学习 你就能解释这个现象了 下 面我们就来研究这类问题 我们先从简单的情况入手研究 二 合作探究二 合作探究 一 初步感知 一 初步感知 1 出示题目 有3支铅笔 2个笔筒 把实物摆放在讲桌上 把3支铅笔放进2个笔 筒 怎么放 有几种不同的放法 谁愿意上来试一试 2 学生上台实物演示 可能有两种情况 一个放3支 另一个不放 一个放2支 另一个放1支 教师根据学生回答在黑板上画图和数的分解两种方法表示两种结果 3 0 2 1 3 提出问题 不管怎么放 总有一个笔筒里至少有2支铅笔 这句话说得对吗 学生尝试回答 师引导 这句话里 总有一个笔筒 是什么意思 一定有 不确定 是哪个笔筒 最多的笔筒 这句话里 至少有2支 是什么意思 最少有2支 不少于2 支 包括2支及2支以上 4 得到结论 从刚才的实验中 我们可以看到3支铅笔放进2个笔筒 总有一个笔筒 至少放进2支笔 二 列举法 二 列举法 过渡 如果现在有4支铅笔放进3个笔筒 还会出现这样的结论吗 1 小组合作 1 画一画 借助 画图 或 数的分解 的方法把各种情况都表示出来 2 找一找 每种摆法中最多的一个笔筒放了几支 用笔标出 3 我们发现 总有一个笔筒至少放进了 支铅笔 2 学生汇报 展台展示 交流后明确 1 四种情况 4 0 0 3 1 0 2 1 1 2 2 0 2 每种摆法中最多的一个笔筒放进了 4支 3支 2支 3 总有一个笔筒至少放进了2支铅笔 3 小结 刚才我们通过 画图 数的分解 两种方法列举出所有情况验证了结 论 这种方法叫 列举法 我们能不能找到一种更为直接的方法 只摆一种情况 也能 得到这个结论 找到 至少数 呢 三 假设法 三 假设法 1 学生尝试回答 如果有困难 也可以直接投影书中有关 假设法 的截图 2 学生操作演示 教师图示 3 语言描述 把4支铅笔平均放在3个笔筒里 每个笔筒放1支 余下的1支 无论放 在哪个笔筒 那个笔筒就有2支笔 所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔 指名说 互 相说 4 引导发现 1 这种分法的实质就是先怎么分的 平均分 2 为什么要一开始就平均分 均匀地分 使每个笔筒的笔尽可能少一点 方便 找到 至少数 余下的1支 怎么放 放进哪个笔筒都行 3 怎样用算式表示这种方法 4 3 1支 1支 1 1 2支 算式中的两个 1 是什么意思 5 引伸拓展 1 5支笔放进4个笔筒 总有一个笔筒至少放进 支笔 2 26支笔放进25个笔筒 总有一个笔筒至少放进 支笔 3 100支笔放进99个笔筒 总有一个笔筒至少放进 支笔 学生列出算式 依据算式说理 6 发现规律 刚才的这种方法就是 假设法 它里面就蕴含了 平均分 我们 用有余数的除法算式把平均分的过程简明的表示出来了 现在会用简便方法求 至少数 吗 四 建立模型 四 建立模型 1 出示题目 5支笔放进3支笔筒 5 3 1支 2支 学生可能有两种意见 总有一个笔筒里至少有2支 至少3支 针对两种结果 各自说说自己的想法 2 小组讨论 突破难点 至少2只还是3只 3 学生说理 边摆边说 先平均分每个笔筒放进1支笔 余下2只再平均分放进2个不 同的笔筒里 所以至少2只 指名说 互相说 4 质疑 为什么第二次平均分 保证 至少 5 强化 如果把笔和笔筒的数量进一步增加呢 1 10支笔放进7个笔筒 至少几支放进同一个笔筒 10 7 1 支 3 支 1 1 2 支 2 14支笔放进4个笔筒 至少几支放进同一个笔筒 14 4 3 支 2 支 3 1 4 支 3 23支笔放进4个笔筒 至少几支放进同一个笔筒 23 4 5 支 3 支 5 1 6 支 6 对比算式 发现规律 先平均分 再用所得的 商 1 7 强调 和余数有没有关系 学生交流 明确 与余数无关 不管余多少 都要再平均分 所以就是加1 8 引申拓展 刚才我们研究了笔放入笔筒的问题 那如果换成鸽子飞进鸽笼你会解 答吗 把苹果放入抽屉 把书放入书架 高速路口同时有4辆车通过3个收费口 类似 的问题我们都可以用这种方法解答 三 鸽巢原理的由来三 鸽巢原理的由来 微视频 同学们从数学的角度分析了这些事情 同时根据数据特征 发现了这些规律 你们发现的这个规律和一位数学家发现的规律一模一样 只不过他是在150多年前发现的 你们知道他是谁吗 德国数学家 狄里克雷 后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律 就把这 个规律用他的名字命名 叫 狄里克雷原理 由于人们对鸽子飞回鸽巢这个引起思考的 故事记忆犹新 所以人们又把这个原理叫做 鸽巢原理 它还有另外一个名字叫 抽屉 原理 四 解决问题四 解决问题 1 老师上课时提出的生日问题 现在你能解释吗 2 随意找13位老师 他们中至少有2个人的属相相同 为什么 3 11只鸽子飞进了4个鸽笼 总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子 为什么 4 5个人坐4把椅子 总有一把椅子上至少坐2人 为什么 5 把15本书放进4个抽屉中 不管怎么放 总有一个抽屉至少有4本书 为什么 鸽巢问题教学设计 一 教学目标一 教学目标 一 知识与技能 一 知识与技能 通过数学活动让学生了解鸽巢原理 学会简单的鸽巢原理分析方法 通过数学活动让学生了解鸽巢原理 学会简单的鸽巢原理分析方法 二 过程与方法 二 过程与方法 结合具体的实际问题 通过实验 观察 分析 归纳等数学活动 让学生通过独立思考与结合具体的实际问题 通过实验 观察 分析 归纳等数学活动 让学生通过独立思考与 合作交流等活动提高解决实际问题的能力 合作交流等活动提高解决实际问题的能力 三 情感态度和价值观 三 情感态度和价值观 在主动参与数学活动的过程中 让学生切实体会到探索的乐趣 让学生切实体会到数学与在主动参与数学活动的过程中 让学生切实体会到探索的乐趣 让学生切实体会到数学与 生活的紧密结合 生活的紧密结合 二 教学重难点二 教学重难点 教学重点 理解鸽巢原理 掌握先教学重点 理解鸽巢原理 掌握先 平均分平均分 再调整的方法 再调整的方法 教学难点 理解教学难点 理解 总有总有 至少至少 的意义 理解的意义 理解 至少数至少数 商数 商数 1 1 三 教学准备三 教学准备 多媒体课件 多媒体课件 四 教学过程四 教学过程 一 游戏引入 一 游戏引入 抢凳子游戏抢凳子游戏 设计意图设计意图 激发学生学习的兴趣和求知欲望 从而提出需要研究的数学问题 激发学生学习的兴趣和求知欲望 从而提出需要研究的数学问题 二 探索新知 二 探索新知 1 1 教学例 教学例1 1 1 1 教师 把 教师 把3 3支铅笔放到支铅笔放到2 2个铅笔盒里 有哪些放法 请同桌二人为一组动手试一试 个铅笔盒里 有哪些放法 请同桌二人为一组动手试一试 教师 谁来说一说结果 教师 谁来说一说结果 预设 一个放预设 一个放3 3支 另一个不放 一个放支 另一个不放 一个放2 2支 另一个放支 另一个放1 1支 教师根据学生回答在黑板上支 教师根据学生回答在黑板上 画图表示两种结果 画图表示两种结果 教师 教师 不管怎么放 总有一个铅笔盒里至少有不管怎么放 总有一个铅笔盒里至少有2 2支铅笔支铅笔 这句话说得对吗 这句话说得对吗 教师 这句话里教师 这句话里 总有总有 是什么意思 是什么意思 预设 一定有 预设 一定有 教师 这句话里教师 这句话里 至少有至少有2 2支支 是什么意思 是什么意思 预设 最少有预设 最少有2 2支 不少于支 不少于2 2支 包括支 包括2 2支及支及2 2支以上 支以上 设计意图设计意图 把教材中例把教材中例1 1的的 笔筒笔筒 改为改为 铅笔盒铅笔盒 便于学生准备学具 且用画图和数 便于学生准备学具 且用画图和数 的分解来表示上述问题的结果 更直观 通过对的分解来表示上述问题的结果 更直观 通过对 总有总有 至少至少 的意思的单独说明 让的意思的单独说明 让 学生更深入地理解学生更深入地理解 不管怎么放 总有一个铅笔盒里至少有不管怎么放 总有一个铅笔盒里至少有2 2支铅笔支铅笔 这句话 这句话 2 2 教师 把 教师 把4 4支铅笔放到支铅笔放到3 3个铅笔盒里 有哪些放法 请个铅笔盒里 有哪些放法 请4 4人为一组动手试一试 人为一组动手试一试 教师 谁来说一说结果 教师 谁来说一说结果 学生 可以放 学生 可以放 4 4 0 0 0 0 3 3 1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 1 1 1 1 教师根据学生 教师根据学生 回答在黑板上画图表示四种结果 回答在黑板上画图表示四种结果 引导学生仿照上例得出引导学生仿照上例得出 不管怎么放 总有一个铅笔盒里至少有不管怎么放 总有一个铅笔盒里至少有2 2支铅笔支铅笔 假设法 反证法 假设法 反证法 教师 前面我们是通过动手操作得出这一结论的 想一想 能不能找到一种更为直接的方教师 前面我们是通过动手操作得出这一结论的 想一想 能不能找到一种更为直接的方 法得到这个结论呢 小组讨论一下 法得到这个结论呢 小组讨论一下 学生进行组内交流 再汇报 教师进行总结 学生进行组内交流 再汇报 教师进行总结 如果每个盒子里放如果每个盒子里放1 1支铅笔 最多放支铅笔 最多放3 3支 剩下的支 剩下的1 1支不管放进哪一个盒子里 总有一个盒子支不管放进哪一个盒子里 总有一个盒子 里至少有里至少有2 2支铅笔 首先通过平均分 余下支铅笔 首先通过平均分 余下1 1支 不管放在哪个盒子里 一定会出现支 不管放在哪个盒子里 一定会出现 总有总有 一个盒子里至少有一个盒子里至少有2 2支铅笔支铅笔 这就是平均分的方法 这就是平均分的方法 设计意图设计意图 从另一方面入手 逐步引入假设法来说理 从实际操作上升为理论水平 进从另一方面入手 逐步引入假设法来说理 从实际操作上升为理论水平 进 一步加深理解 一步加深理解 教师 把教师 把5支铅笔放到支铅笔放到4个铅笔盒里呢 个铅笔盒里呢 引导学生分析引导学生分析 如果每个盒子里放如果每个盒子里放1支铅笔 最多放支铅笔 最多放4支 剩下的支 剩下的1支不管放进哪一个盒子里支不管放进哪一个盒子里 总有一个盒子里至少有 总有一个盒子里至少有2支铅笔 首先通过平均分 余下支铅笔 首先通过平均分 余下1支 不管放在哪个盒子里 一支 不管放在哪个盒子里 一 定会出现定会出现 总有一个盒子里至少有总有一个盒子里至少有2支铅笔支铅笔 教师 把教师 把6支铅笔放到支铅笔放到5个铅笔盒里呢 把个铅笔盒里呢 把7支铅笔放到支铅笔放到6个铅笔盒里呢 个铅笔盒里呢 你发现了什么你发现了什么 引导学生得出引导学生得出 只要铅笔数比铅笔盒数多只要铅笔数比铅笔盒数多1 总有一个盒子里至少有 总有一个盒子里至少有2支铅笔支铅笔 教师 上面各个问题 我们都采用了什么方法 教师 上面各个问题 我们都采用了什么方法 引导学生通过观察比较得出引导学生通过观察比较得出 平均分平均分 的方法 的方法 设计意图设计意图 让学生自己通过观察比较得出让学生自己通过观察比较得出 平均分平均分 的方法 将解题经验上升为理论水平的方法 将解题经验上升为理论水平 进一步强化方法 理清思路 进一步强化方法 理清思路 3 教师 现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果 你能来说一说这个魔术的 教师 现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果 你能来说一说这个魔术的 道理吗 道理吗 引导学生分析引导学生分析 如果如果4人选中了人选中了4种不同的花色 剩下的种不同的花色 剩下的1人不管选那种花色 总会和其他人不管选那种花色 总会和其他4 人里的一人相同 总有一种花色 至少有人里的一人相同 总有一种花色 至少有2人选人选 设计意图设计意图 回到课开头提出的问题 揭示悬念 满足学生的好奇心 让学生认识到数学回到课开头提出的问题 揭示悬念 满足学生的好奇心 让学生认识到数学 的应用价值 的应用价值 4 练习教材第 练习教材第68页页 做一做做一做 第第1题 进一步练习题 进一步练习 平均分平均分 的方法 的方法 5只鸽子飞进了只鸽子飞进了3个鸽笼 总有一个鸽笼至少飞进了个鸽笼 总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子 为什么 只鸽子 为什么 2 教学例 教学例2 1 课件出示例 课件出示例2 把把7本书放进本书放进3个抽屉 不管怎么放 总有一个抽屉里至少放进个抽屉 不管怎么放 总有一个抽屉里至少放进3本书 为什么 本书 为什么 先小组讨论 再汇报 先小组讨论 再汇报 引导学生得出仿照例引导学生得出仿照例1 平均分平均分 的方法得出的方法得出 如果每个抽屉放如果每个抽屉放2本 剩下本 剩下1本不管放在哪个抽本不管放在哪个抽 屉里 都会变成屉里 都会变成3本 所以总有一个抽屉里至少放进本 所以总有一个抽屉里至少放进3本书 本书 2 教师 如果把 教师 如果把8本书放进本书放进3个抽屉 会出现怎样的结论呢 个抽屉 会出现怎样的结论呢 10本呢 本呢 11本呢 本呢 16本本 呢 呢 教师根据学生的回答板书 教师根据学生的回答板书 7 3