计算方法 插值法-Lagrange插值.ppt

第1次Lagrange插值 NumericalAnalysis 本讲内容 插值法的基本概念拉格朗日 Lagrange 插值Lagrange插值的例子Lagrange插值的误差 插值法的基本概念 1引言问题的提出若函数f x 的解析式未知 而通过实验观测得到的一组数据 即在某个区间 a b 上给出一系列点的函数值yi f xi 第二章插值法 问题 怎样 近似 计算函数f x 在 a b 上的函数值呢 一般插值法的基本概念 2 1 设函数y f x 定义在区间 a b 上 是 a b 上取定的n 1个互异节点 且在这些点处的函数值为已知 即 若存在一个f x 的近似函数 满足 则称为f x 的一个插值函数 点xi为插值节点 称 2 1 式为插值条件 在其它点x处就用的值作为f x 的近似值 越简单越好 y f x x1 xn 插值函数 目的 使得近似等于f x 而误差函数 称为插值余项 区间 a b 称为插值区间 x0 b a x2 用的值作为f x 的近似值 不仅希望能较好地逼近f x 而且还希望它计算简单 评论 由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点 所以本章主要介绍利用代数多项式进行插值 即代数插值 定义 若存在一个次数不超过n次的多项式 使得满足 则称P x 为f x 的n次插值多项式 以上这种插值法通常称为代数插值法 其几何意义如下图所示 y f x x1 x2 xn y p x 为n次多项式 x0 y x xk 问题 这样的多项式是否存在 定理1n次代数插值问题的解是存在且唯一的 则求插值多项式P x 的问题就归结为求它的系数 由插值条件 可得 n 1个方程 n 1个未知数a0 a1 an 这是一个关于待定参数的n 1阶线性方程组 其系数矩阵行列式为 评论 以上使用线性方程组求解系数ak k 0 n 以便获得多项式的方法复杂 不常用 唯一性 不论用何种方法来构造 也不论用何种形式来表示n次插值多项式 只要满足插值条件 2 1 其结果都是相互恒等的 即n次插值多项式P x 是唯一的 Home Lagrange插值 2拉格朗日 Lagrange 插值 为了构造满足插值条件 的便于使用的插值多项式P x 先考察几种简单情形 然后再推广到一般形式 1 线性插值 现要求用线性函数近似地代替f x 称这样的线性函数P x 为f x 的线性插值函数 线性插值是代数插值的最简单形式 假设给定函数f x 在两个互异的点的值 选择参数a和b 使得 线性插值的几何意义 用通过两点 的直线近似地代替曲线y f x 如图所示 y f x x0 x1 P x ax b 为了便于推广 记 由解析几何知道 这条直线用点斜式表示为 改写为 线性插值基函数 或者写成 推导 线性插值基函数具有如下性质 即 于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合 例2 1已知 求 解 利用线性插值 化简 得 于是 2 抛物插值 要构造次数不超过二次的多项式 抛物插值又称二次插值 它也是常用的代数插值之一 设已知f x 在三个互异点x0 x1 x2的函数值y0 y1 y2 使满足二次插值条件 这就是二次插值问题 其几何意义是用经过3个点 用以近似计算 的抛物线 P x 的系数直接由插值条件决定 即满足代数方程组 因为 所以方程组有解唯一解 系数矩阵 可用于求2次插值多项式 仿照线性插值 现在试图用基函数的方法确定2次插值多项式 显然应该有以下的形式 由确定系数 从而导出 求二次式 使满足条件 类似地可以构造出插值多项式 于是确定了3个抛物插值的基函数 x0 x2 x1 x y 1 y l0 x y l1 x y l2 x 3个抛物插值的基函数 取已知数据作为线性组合系数 将基函数线性组合可得 容易看出 P x 满足条件 即 已知 2个插值点可求出一次插值多项式 而3个插值点可求出二次插值多项式 一般形式的拉格朗日插值多项式 即 代入上式 得 称为关于基点 的n次插值基函数 以n 1个n次基本插值多项式为基础 可直接写出满足插值条件 的n次代数插值多项式 是次数不超过n次的多项式 2 8 由于每个插值基函数 都是n次多项式 所以他们的线性组合 定义 称形如 2 8 式的插值多项式为n次拉格朗日插值多项式 并记为 记 得其导数在xk点的值为 于是 2 11 2 10 Home Lagrange插值的例子 例2 2已知y f x 的函数表求线性插值多项式 并计算x 1 5的值 解 由线性插值多项式公式得 例2 3已知x 1 4 9的平方根值 用抛物插值公式 求的值 解 函数表为 例2 4已知函数y f x 在节点上满足 解方程组 得a0 1 a1 3 a2 2 p x 1 3x 2x2 用待定系数法 求二次多项式p x a0 a1x a2x2使之满足p xi yi i 0 1 2 解 将各节点值依次代入所求多项式 得 例2 5求过点 0 1 1 2 2 3 的三点插值多项式 解 函数表为 问题 为什么得到了一个1次方程 由Lagrange插值公式 得 回答 因为插值表给出的3个点共线 例2 6已知f x 的观测数据 求Lagrange插值多项式 解 4个点可构造3次Lagrange插值多项式 基函数 Lagrange插值多项式为 验证了 例2 7已知f x 的观测数据 构造插值多项式 解 四个点可以构造三次插值多项式 将数据代入插值公式 有 这个例子说明p x 的项数不超过n 1项 但可以有缺项 拉格朗日插值算法实现 使用C语言实现使用Matlab实现 Home Lagrange插值的误差 x0 x1xixi 1xn 1xn y f x y p x a b 在插值区间 a b 上用插值多项式p x 近似代替f x 除了在插值节点xi上没有误差外 在其它点上有误差 若记R x f x p x 则R x 就是用p x 近似代替f x 时的截断误差 或称插值余项 插值多项式的误差 定理2设f x 在 a b 有n 1阶导数 x0 x1 xn为 a b 上n 1个互异节点 p x 为满足p xi f xi i 0 1 2 n 其中 的n次插值多项式 那么对于任何x a b 有插值余项 说明 若n 1阶导数不存在 则无法使用该公式估计误差 证明 由于P x 是f x 在xk k 0 1 n 上的插值多项式 故R x f x P x 在节点xk k 0 1 n 上值为0 即R xk 0 k 0 1 n 现在 将x看作是 a b 上的一个固定点 作函数g t f t P t K x t x0 t x1 t xn 根据f的假设 知g n t 在 a b 上连续 g n 1 t 在 a b 内存在 于是可以将R x 写为 R x K x x x0 x x1 x xn 其中 K x 是和x有关的待定函数 只须证明 K x f n 1 n 1 a b 根据插值条件和余项的定义 g t 有n 2个0点 x0 x1 xn x 于是 K x f n 1 n 1 a b 依赖于x 将其代入 式 得 根据罗尔定理 g t 在g t 的两个0点之间至少有一个0点 从而 g t 在 a b 中有n 1个0点 类似地 得到g t 在 a b 中有n个0点 连续使用罗尔定理 知g n 1 t 在 a b 中至少有1个0点 记为 g n 1 f n 1 n 1 K x 0 1 对于线性插值 误差公式 2 对于抛物插值 2次插值 误差公式 例2 8已知x0 100 x1 121 用线性插值近似计算的时候 估计在x 115时的截断误差 解 由插值余项公式知 得 例2 9已知x0 100 x1 121 x2 144 当用抛物插值求的时候 估计在x 115时的截断误差 解 说明 二次插值的误差小于一次插值 例2 10设f x x4 用余项定理写出节点 1 0 1 2的三次插值多项式 解 根据余项定理 评注 f x x4太特殊了 借助于f 4 x 4 才使得由余项定理解出p x 成为可能 使用Matlab画出p x 与f x 的曲线 例2 11讨论函数在 1 1 区间进行线性插值的效果 可以看出f x 的一阶导数和二阶导数在 1 1 上都属于震荡 无