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复变函数一、选择题1. 设函数且是区域D内的调和函数,则当在D内是（ C ）时, 在D内解析.A.可导函数B.调和函数C.共轭调和函数2、复积分的值为（ B ）3、是的奇点类型是（ D ）4、计算的结果是（ B ）5、下列函数在处处解析的是（ C ）6当x0, y时,argz=( C ).A. ; B. ; C ; D. .7argz1z2=( A ).Aargz1+argz2; B. argz1+argz2+2k(k是整数); C.argz1+argz2+2k1（k1是某个整数）; D.argz1+argz2+.8.下列集合是有界闭区域的是（ C ）A 0; B Rez0 .9.方程z=t+在平面上表示的是（ B ）.A直线y=x; B. 双曲线 y=; C椭圆周； D 圆周10.函数=在处（ A ）.A.连续B.可导C.解析11. =( A ).A 12.函数w=f(z)仅在点z0可微，则w=f(z)在点z0（ D ）A解析； B某邻域内处处解析； C.不解析。13.shz是 ( D )函数A以.为周期的； B以为周期的；C以为周期的； D非周期。14.设,则（ B ）.A.sin1ch1B.cos1sh1C.cos1ch115.若f(z)在D内解析，且在D内解析，则（ A ）。A.f(z)在D内为一常数； B.；C.f(z)在D内不是一个常量函数。 D.以上都不对.16.积分=（ B ）.A.B.C.17若v是u的共轭调和函数，则( D )的共轭调和函数。Au是v； B.-u是v； C.u是-v ; D.-v是u.18. ( B ).A1; B. 0; C. 1; D .i .19. 设un=an+bni, 若=0，由此（ C ）A.得出收敛； B. 得出发散；C. 不能判断的敛散性。20. 的收敛半径为（ A ）A 0； B 21.设复数,则的模和幅角的主值分别为（ A ）.A.B.C.22. sin2z+cos2z=1 ( D ).A.仅在实轴上成立； B. 在第一象限成立；C. 在上半复平面成立； D 在复平面上成立。23Cotz的零点和级（ C ）A 一级； B 二级；C 一级； D 一级。24.下列命题中, 正确的是（ C ）.A.零的幅角为零B.仅存在一个z使C. 25、是（ B ）区域.A.有界区域 B.单连通区域 C.多连通区域26、在复数域内,下列数中为实数的是（ A ）.A.B.C.27、函数=将区域Re(z)0，则z0是的 . 零点.54. 函数ez的周期为， . 55. 方程在单位圆内的零点个数为 0 .56. 设，则的孤立奇点有 .57. 函数的不解析点之集为 .58. 59、设函数=在处连续,则常数A=_.答案：160、若z=a为f(z)的m阶极点,为g(z)的n阶极点(mn),则z=a为f(z)g(z)的 阶极点,为的阶极点.61、设,则=,=.62、设则由所确定的 =, =.63、函数=在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为 .64、设函数=,则=.若=,则=65、当a= 时, 在区域x0内解析66、函数=tgz在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为 67、设,则答案： ，-三、解答题68、计算积分其中C原点到点1i的直线段。解：1+i的参数方程为x=t,y=t,0t1. =i=1/3(-1+i)69、 利用泰勒定理,将函数f(z)=e在点z=0展开成幂级数。解：因为：f=e,所以f（0）=1，f=1，f（0）=1且f（0）=1，于是e=70、将函数f(z)=在0+上展开成洛朗级数。解：f(z)=(1/z)sinz=1/z=(0|z|)易证：上级数收敛。71、 求函数f(z)=在指定点z=0的留数。设f(z)=，z=0是f(z)的孤立奇点。f(z)= (-2z- - ), (0|z|)所以，a=-4/15即：f(z)在指定点的留数为4/1572、设函数=在复平面可导,试确定常数并求.答案：由题意得利用，得，得， 则 73、试讨论定义于复平面内的函数的可导性.答案：由题意知，由于，可得由函数可导条件知，仅在处可导。74、计算,其中c是从原点沿x轴至,然后由沿直线x=1至的折线段.答案： 其中：所以75.求下列函数在奇点处的留数 .答案：的奇点为,且为其三阶极点.或 =有76.将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数答案： =77、已知试求使为解析函数且满足答案：由于 所以， 又由，即所以，（为常数）故， 将条件代入可得，因此，满足条件的函数78、试证是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求使为解析函数且满足.答案：由于， ， 即所以是调和函数 ，故有，（为常数）所以由于代入上式可求得，故满足条件的函数79求积分,其中c是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.答案：(令80求下列函数在奇点处的留数(10)答案：的奇点为,且 = =所以81将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数(10)答案： = = =83. 求函数的幂级数展开式.解 .84. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.解 令. 则. 又因为在正实轴去正实值，所以. 所以.85计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.单位圆的右半圆周为, . 所以.86. 求.解=0.87. 证明设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.证明 (必要性) 令,则. (为实常数). 令. 则. 即满足, 且连续, 故在内解析.(充分性) 令, 则 , 因为与在内解析, 所以, 且.比较等式两边得 . 从而在内均为常数,故在内为常数.88. 证明试用儒歇定理证明代数基本定理.即要证“任一 次方程 有且只有 个根”. 证明： 令, 取, 当在上时, 有 . .由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 有相同个数的根. 而 在 内有一个重根 . 因此次方程在 内有个根.89、解：在上解析，由积分公式，有 90、求解：设，有91、解： 92、设 求，使得为解析函数，且满足。其中（