高三物理建模典型习题

课课题题 培养学生用培养学生用 物理建模物理建模 提高解题效率提高解题效率 的建模典型习题集的建模典型习题集 高三物理建模典型习题集高三物理建模典型习题集 一 物理模型概述物理模型概述 物理模型是一种理想化的物理形态 指物理对象也可以指物理过 程 或是运动形式等 它是物理知识的一种直观表现 利用抽象 理想化 简化 类 比等手法把研究对象的本质特征抽象出来 构成一个概念 实物 或运动过程的体系 即形成模型 中学物理中的物理模型主要有四种 对象模型 如质点 弹簧振子 点电荷 理想电表等 条件模型 如光滑面 绝热容器 匀强电场 匀强磁场等 过程模型 如自由落体运动 弹性碰撞 稳恒电流 等幅振荡等 结构模型 如原子的核式结构模型 氢原子模型等 分析论述计算题的过程就是构建物理模型的过程 我们通常解题时应 明确物理过程 在头脑中建立一幅清晰的物理图景 二 典型习题归纳二 典型习题归纳 1 等时圆 模型 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑 到达圆周最低点的时间相等 像这样的竖直圆我们简称为 等时圆 如图甲 推论 物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等 如图乙 甲 乙 典例 1 如图所示 位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于 M 点 与竖直墙相切于 A 点 竖直墙上另一点 B 与 M 的连线和水平面的夹角为 60 C 是圆轨道的圆心 已知在 同一时刻 a b 两球分别由 A B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到 M 点 c 球由 C 点自由下落到 M 点 则 A a 球最先到达 M 点 B b 球最先到达 M 点 C c 球最先到达 M 点 D c a b 三球依次先后到达 M 点 解析 设圆轨道半径为 R 据 等时圆 理论 ta 2 B 点在圆外 tb ta c 球 4R g R g 做自由落体运动 tc 所以 有 tc ta tb C D 正确 2R g 典例 2 如图所示 图 AB 是一个倾角为 的输送带 P 处为原料输入口 为避免粉尘飞扬 在 P 与 AB 输 送带间建立一管道 假设其光滑 使原料从 P 处以最短的时间到达输送带上 则管道 与竖直方向的夹角应为多大 解析 借助 等时圆 理论 可以过 P 点作圆 要求该圆与输送带 AB 相切 如图所示 C 为切点 O 为圆心 PO 为竖直方向的半径 显然 沿着 PC 弦建立管道 原料从 P 处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达 等时圆 的圆周上所用时间相等 因而 要使原料从 P 处到达输送带上所用时间最短 需沿着 PC 弦建立管道 由几何关系可得 PC 与竖直方向间的夹角等于 2 2 小船渡河模型 1 模型概述 在运动的合成与分解问题中 两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动 其中一 个速度大小和方向都不变 另一个速度大小不变方向在 180 范围内 不变的速度所在 直线的一侧 变化 我们对合运动或分运动的速度 时间 位移等问题进行研究 这样 的运动系统可看作 小船渡河模型 2 模型特点 船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动 三种速度 v1 船在静水中的速度 v2 水的流速 v 船的实际速度 三种情景 a 过河时间最短 船头正对河岸时 渡河时间最短 t短 d 为河宽 d v1 b 过河路径最短 v2 v1时 合速度垂直于河岸 航程最短 x短 d c 过河路径最短 v2 v1时 合速度不可能垂直于河岸 无法垂直渡河 确定方法如下 如图 414 所示 以 v2矢量末端为圆心 以 v1矢量的大小为半径画弧 从 v2矢量的始 端向圆弧作切线 则合速度沿此切线方向航程最短 由图可知 sin 最短航程 x短 d v1 v2 d sin v2 v1 典例 1 如图所示 1 条小船位于 200 m 宽的河正中 A 点处 从这里向下游 100 m 处有一危险区 当时 3 水流速度为 4 m s 为了使小船避开危险区沿直线到达对岸 小船在静水中 的速度至少是 A m s B m s 4 3 3 8 3 3 C 2 m s D 4 m s 解析 如图选取临界情况进行研究 假设小船刚好避开危险区沿直线到达对岸 B 点处 根据运 动的合成与分解可知 当船速的方向与 AB 垂直时 船速最小 tan 30 故 v船 v水sin 4 m s 2 m s 100 100 3 3 3 1 2 3 双星模型 1 模型概述 在天体运动中 将两颗彼此相距较近 且在相互之间万有引力作用下绕 两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星 2 模型特点 1 两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供 故 F1 F2 且方向相反 分别作用在 m1 m2两颗行星上 2 由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的 所以两颗行星的运行周期及角速度相 等 3 由于圆心在两颗行星的连线上 所以 r1 r2 L 典例 1 宇宙中两颗相距较近的天体称为 双星 它们以二者连线上的某一点为 圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起 1 试证明它们的轨道半径之比 线速度之比都等于质量的反比 2 设两者的质量分别为 m1和 m2 两者相距 L 试写出它们角速度的表达式 解析 1 证明 两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度 一定要相同 它们做匀速 圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供 所以两天体与它们的圆心总是在一条 直线上 设两者的圆心为 O 点 轨道半径分别为 R1和 R2 如图所示 对两天体 由万有引力定律 可分别列出 G m1 2R1 m1m2 L2 G m2 2R2 m1m2 L2 所以 所以 R1 R2 m2 m1 v1 v2 R1 R2 R1 R2 m2 m1 即它们的轨道半径 线速度之比都等于质量的反比 2 由 两式相加得 G 2 R1 R2 因为 R1 R2 L 所以 m1 m2 L2 G m1 m2 L3 典例 2 2010 重庆理综 16 月球与地球质量之比约为 1 80 有研究者认为月球和 地球可视为一个由两质点构成的双星系统 它们都围绕月地连线上某点 O 做匀速圆周 运动 据此观点 可知月球与地球绕 O 点运动的线速度大小之比约为 A 1 6 400 B 1 80 C 80 1 D 6 400 1 解析 双星系统中的向心力大小相等 角速度相同 据此可得 M m M 2r1 m 2r2 联立得 故 C 项正确 v2 v1 M m 80 1 4 机车的启动模型 1 模型概述 物体在牵引力 受功率和速度制约 作用下 从静止开始克服一定的阻力 最后达到最 大速度的整个加速过程 可看作 机车的启动 模型 2 模型特点 机车启动 模型可分为两种情况 恒定功率启动 机车先做加速度逐渐减小的加速运动 最后匀速 其 v t 图线如图 所示 恒定加速度启动 机车先做匀加速运动 再做加速度逐渐减小的变加速运动 最后 匀速 其 v t 图线如图所示 典例 2009 四川理综 如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机 在起重机将质 量 m 5 103 kg 的重物竖直吊起的过程中 重物由静止开始向上做匀加速直线运动 加速度 a 0 2 m s2 当起重机输出功率达到其允许的最大值时 保持该功率直到重物 做 vm 1 02 m s 的匀速运动 取 g 10 m s2 不计额外功 求 1 起重机允许输出的最大功率 2 重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第 2 秒末的输出功率 解析 1 设起重机允许输出的最大功率为 P0 重物达到最大速度时 拉力 F0的大小等 于重力 P0 F0vm F0 mg 代入数据 有 P0 5 1 104 W 2 匀加速运动结束时 起重机达到允许输出的最大功率 设此时重物受到的拉力为 F 速度为 v1 匀加速运动经历时间为 t1 有 P0 Fv1 F mg ma v1 at1 由 代入数据 得 t1 5 s 当时间为 t 2 s 时 重物处于匀加速运动阶段 设此时速度的大小为 v2 输出功率为 P 则 v2 at P Fv2 由 代入数据 得 P 2 04 104 W 5 传送带模型 1 模型概述 一个物体以速度 v0 v0 0 在另一个匀速运动的物体上开始运动的力学系统可看做 传 送带 模型 如图 a b c 所示 2 模型特点 物体在传送带上运动时 往往会牵涉到摩擦力的突变和相对运动问题 当物体与传送 带相对静止时 物体与传送带间可能存在静摩擦力也可能不存在摩擦力 当物体与传 送带相对滑动时 物体与传送带间有滑动摩擦力 这时物体与传送带间会有相对滑动 的位移 典例 1 水平传送带 AB 以 v 200 cm s 的速度匀速运动 如图 339 所示 A B 相 距 0 011 km 一物体 可视为质点 从 A 点由静止释放 物体与传送带间的动摩擦因数 0 2 则物体从 A 沿传送带运动到 B 所需的时间为多少 g 10 m s2 解析 统一单位 v 200 cm s 2 m s x 0 011 km 11 m 开始时 物体受的摩擦力为 Ff mg 由牛顿第二定律得物体的加速度 a g 0 2 10 m s2 2 m s2 Ff m 设经时间 t 物体速度达到 2 m s 由 v at 得 t1 s 1 s v a 2 2 此时间内的位移为 x1 at 2 12 m 1 mm 不计摩擦 系 统由静止开始运动过程中 A M m 各自的机械能分别守恒 B M 减少的机械能等于 m 增加的机械能 C M 减少的重力势能等于 m 增加的重力势能 D M 和 m 组成的系统机械能守恒 解析 M 下落过程中 绳的拉力对 M 做负功 M 的机械能减少 m 上升过程 绳的拉力 对 m 做正功 m 的机械能增加 A 错误 对 M m 组成的系统 机械能守恒 易得 B D 正 确 M 减少的重力势能并没有全部用于 m 重力势能的增加 还有一部分转变成 M m 的动能 所以 C 错误 2 轻连杆模型 这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度 线速度的关系等 典例 2 质量分别为 m 和 M 其中 M 2m 的两个小球 P 和 Q 中间用轻质杆固定 连接 在杆的中点 O 处有一个固定转轴 如图所示 现在把杆置于水平位置后自由释 放 在 Q 球顺时针摆动到最低位置的过程中 下列有关能量的说法正确的是 A Q 球的重力势能减少 动能增加 Q 球和地球组成的系统机械能守恒 B P 球的重力势能 动能都增加 P 球和地球组成的系统机械能不守恒 C P 球 Q 球和地球组成的系统机械能守恒 D P 球 Q 球和地球组成的系统机械能不守恒 解析 Q 球从水平位置下摆到最低点的过程中 受重力和杆的作用力 杆的作用力是 Q 球运动的阻力 重力是动力 对 Q 球做负功 P 球是在杆的作用下上升的 杆的作用力是 动力 重力是阻力 对 P 球做正功 所以 由功能关系可以判断 在 Q 球下摆过程中 P 球重力势能增加 动能增加 机械能增加 Q 球重力势能减少 机械能减少 由于 P 球和 Q 球整体只有重力做功 所以系统机械能守恒 本题的正确答案是 B C 答案 BC 3 轻弹簧模型 此类问题应注意物体与弹簧组成的系统机械能守恒 不同的过程中弹性势能的变化一 般是相同的 典例 3 如图所示为某同学设计的节能运输系统 斜面轨道的倾角为 37 木箱与 轨道之间的动摩擦因数 0 25 设计要求 木箱在轨道顶端时 自动卸货装置将质量 m 2 kg 的货物装入木箱 木箱载着货物沿轨道无初速滑下 当轻弹簧被压缩至最短 时 自动卸货装置立刻将货物卸下 然后木箱恰好被弹回到轨道顶端 接着再重复上 述过程 若 g 取 10 m s2 sin 37 0 6 cos 37 0 8