高考创新题的解法(续)-2

高考创新题的解法 续 高考创新题的解法 续 以此类推 f n f n 1 于是累加得 f n 1 2 n n 1 2 6 1 2 n n 222 1 1 2 12 2 nn 所以答案应填 10 1 2 6 n nn 1 2 6 n nn 点评点评 将数列的通项公式 数列的求和融合到 2006 年 4 月 24 至 5 月 1 日举行的世乒赛这一实际情景当中 重点考察累加法求通项公式和常规 数列的求和 此外观察分析数据的能力也是本题考查的一个重要方面 当然要顺利解出此题 个人的空间想象能力也是一个非常重要的方面 要求 考生在头脑中能清晰建立起 堆成正三棱锥 这一空间模型 并要注意相邻两堆个数变化的根本原因 2 2 若 0 1 a1 1 a n n n a a a 1 2 1 21n 1 求证 nn aa 1 2 令 写出 的值 观察并归纳出这个数列的通项公式 2 1 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a n a 3 证明 存在不等于零的常数 p 使是等比数列 并求出公比 q 的值 n n a pa 讲解讲解 1 采用反证法 若 即 解得 从而与题设 nn aa 1n n n a a a 1 2 1 0 n a10 11 aaa nn2 a 相矛盾 0 1 a1 1 a 故成立 nn aa 1 2 2 1 1 a 3 2 2 a 5 4 3 a 9 8 4 a 17 16 5 a 12 2 1 1 n n n a 3 因为 又 所以 n n n n a pap a pa 2 2 1 1 q a pa a pa n n n n 1 1 02122 qpaqp n 因为上式是关于变量的恒等式 故可解得 n a 2 1 q1 p 3 观察 sin220 cos250 sin20 cos50 sin215 cos245 sin15 cos45 4 3 4 3 写出一个与以上两式规律相同的一个等式 答案 sin2 cos2 30 sin cos 30 4 3 四 类比型四 类比型 类比在数学解题中有着十分重要的作用 类比推理可用如下图式描述 根据 A类对象 模型 具有a b c d属性 B类对象 原型 具有a b c 属性 其中a b c 分别与a b c 相同或相似 推论 B 类对象也具有与 d 相同或相似的属性 d 这种题目的特点是给出一个数学情境或一个数学命题 要求解题者发散思维去联想 类比 推广 转化 找出类似的命题 推广的命题 深入的命题 常用的类比有 1 平面与空间的类比平面与空间的类比 1 2002 年上海春季高考 如下图 若从点 O 所作的两条射线 OM ON 上分别有点与点 则三角形面积之比 12 MM 12 N N 若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射线 OP OQ 和 OR 上 分别有点 点和点 则类似 11 22 11 22 OM N OM N S OMON SOMON 12 PP 12 QQ 12 RR 的结论为 1 1 1 222 111 222 O PQ R O P Q R V OPOQOR VOPOQOR 把立体几何知识与相关的平面几何知识类比 是实现知识迁移的有效方法 也利于化难为易 启迪思维 如 关于勾股定理 可有几个类比 勾股定理 在直角边长为 a b 斜边长为 c 的直角三角形中 有 abc 222 类比 1 长 宽 高分别为 p q r 对角线长为 d 的长方体中 有 pqrd 2222 类比 2 长方体交于某一顶点的三个长方形面的对角线长分别为 p q r 长方体对角线长为 d 则有 pqrd 2222 2 类比 3 四面体交于一个顶点 O 的三条棱两两互相垂直 与 O 相邻的三个面的面积分别为 A B C 与 O 相对的面的面积为 D 则有 ABCD 2222 我们知道正三角形内任一点 P 到各边距离之和为常数 分别从三条边相等与三个角相等类比 在各边相同的凸多边形内任一点 P 到各边距 离之和为常数 和 在各角相等的凸多边形内任一点 P 到各边距离之和为常数 可以证明这两个命题都是正确的 利用面积法证明 在平面几何里 有勾股定理 设 ABC 的两边 AB AC 互相垂直 则 AB2 AC2 BC2 拓展到空间 类比平面几何的勾股定理 研究三棱锥 的侧面面积与底面面积间的关系 可以得出的正确结论是 设三棱锥 A BCD 的三个侧面 ABC ACD ADB 两两相互垂直 则 2222 BCDADBACDABC SSSS 提醒 关于空间问题与平面问题的类比 通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比 多面体 多边形 面 边 体 积 面 积 二面角 平面角 面 积 线段长 2 同类之间类比 椭圆与双曲线类比 同类之间类比 椭圆与双曲线类比 2 若数列 an 是等差数列 数列 bn 满足 bn 则 bn 也为等差数列 类比上述性质 相应地 若数列 cn 是等比数 12 n aaa nN n 列 且 cn 0 数列 dn 满足 dn 则数列 dn 也为等比数列 答案 答案 dn n n N 12 n n c cc 3 2000 年上海市高考试题 在等差数列 an 中 若 a10 0 则有等式 a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n N 成立 类比上述性质 相应地 在等比数列 bn 中 若 b9 1 则有等式 成立 4 有对称中心的曲线叫做有心曲线 显然圆 椭圆 双曲线都是有心曲线 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径 为研究方便 不妨设直 径所在直线的斜率存在 定理定理 过圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线 则两条连线的斜率之积为定值 1 0 222 rryx 写出该定理在椭圆中的推广 并加以证明 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 写出该定理在双曲线中的推广 你能从上述结论得到有心圆锥曲线 包括椭圆 双曲线 圆 的一般性 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 结论吗 请写出你的结论 解 设直径的两个端点分别为 A B 由椭圆的对称性可得 A B 关于中心 O 0 0 对称 所以 A B 点的坐标分别为 A B 11 yx 11 yx P 上椭圆上任意一点 显然 yx1 2 2 2 2 b y a x 11 yyxx 因为 A B P 三点都在椭圆上 所以有 222 1 22 1 2 2 2 1 2 2 1 1bayaxb b y a x 而 222222 2 2 2 2 1bayaxb b y a x 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 xx yy kk xx yy k xx yy k PBPAPBPA 由 得 222222 11 0 bxxayy 222 1 222 1 yyb xxa 所以该定理在椭圆中的推广为 过椭圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线 则两条连线的 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 斜率之积为定值 2 2 a b 该定理在双曲线中的推广为 过双曲线上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线 则两条连线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的斜率之积为定值 2 2 a b 该定理在有心圆锥曲线中的推广应为 过有心圆锥曲线上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线 则 0 1 22 ABByAx 两条连线的斜率之积为定值 A B 同类之间的类比在圆锥曲线中 常常以姐妹题形式出现 这样对学生思维和素质的考查具有很好的功能 而且题型新颖 避免了传统的考法的 单调 3 与已知数学方法类比与已知数学方法类比 5 设 利用推导等差数列前 n 项和的方法 倒序相加法 求的值 22 1 x xf 65045fffff 为 解 本题类比数学方法 即利用倒序相加法 通过合情猜想即可解决 由 2 1 22 1 22 1 1 1 xx xfxf 又 设65045fffffS 又54056 fffffS 2 12 65122 ffS 23 S 4 与已知概念类比与已知概念类比 6 2004 年北京 定义 等和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的和都为同一常数 那么这个数列叫做等和数列 这个常数叫 做该数列的公和 已知数列 a 等和数列 且 公和为 5 那么的值为 这个数列前 n 项和的计算公式为 n 2 1 a 18 a n S 分析 此题类比等差数列定义给出 等和数列 定义 解决此类问题要认真理解所给出的定义 结合所学知识寻求正确解决方法 解 a 是等和数列 公和为 5 n 2 1 a 则 知 n N 3 2 a2 3 a3 4 a3 2 n a2 12 n a 3 数列 a 形如 2 3 2 3 2 3 18 a n 为奇数 为偶数 nn nn Sn 2 1 2 5 2 5 评注 这是一道新情境题型 关键要吃透定义 对于 n 为奇数时 2 1 2 5 21 2 5 2 1 nnSS nn 五 五 存在性型存在性型 存在性探索型命题是指在一定的条件下 判断某种数学对象是否存在 进行演绎推理 若推出矛盾 则假设不成立 若推出结果 则假设成立 即指定的数学对象存在 一般来说 是否存在型问题 实质上是探索结论的开放性问题 相对于其他的开放性问题来说 由于这类问题的结论较少 只有存在 不存 在两个结论 有些时候须讨论 因此 思考途径较为单一 难度易于控制 受到各类考试的命题者的青睐 解答这一类问题 往往从承认结论 变结论为条件出发 然后通过特例归纳 或由演绎推理证明其合理性 探索过程要充分挖掘已知条件 注意条件的完备性 不要忽略任何可能的因素 1 已知数列中 且对于任意自然数 总有 是否存在实数 使得对于任意自然 n a1 1 an 2 1 n n n a a aba n n baa 3 2 数恒成立 证明你的结论 n 讲解讲解 是一个一般性的结论 为了探求是否存在 我们可从特殊的 n 出发 求出的值 再检验是否满足一般的 n n baa 3 2 ba ba 条件 由 代入 可解得 1 1 a 1 2 1 1 2 a a a n n baa 3 2 1 5 9 5 a b 代入检验 可知当时 一方面由得 另一方面 由得 矛盾 4n 2 1 n n n a a a 4 1 5 a n n baa 3 2 4 116 545 a 所以 这样的实数不存在 ba 点评点评 探索 常常遵循 从一般到特殊 再从特殊到一般 的思维方法 先从具体 特定的实例入手 从中探测出问题的结论 再经过严格 的论证 2 已知函数 是自然数 是奇函数 有最大值 且 2 1 bxc yf x ax 0 a cR ab f x 1 2 2 1 5 f 试求函数的解析式 f x 是否存在直线 与的图象只交于 P Q 两点 并且使得 P Q 两点的中点为 1 0 点 若存在 求出直线 的方程 若不l yf x l 存在 说明理由 讲解讲解 由为奇函数易知 f x0c 又因为是自然数 所以 当时 0 当时 所以 的最大值必在时取得 0 ab 0 x f x0 x 0f x f x 1 2 0 x 当时 等号当且仅当时取得 0 x 2 11 2 bxbb f x axaxxa 1 axx 所以 1 22 b a 又 所以 结合是自然数 可得 2 1 5 f 2 15 b a 0 ab 1ab 所以 2 1 x f x x 对于 是否存在型 的问题 一般探索的方法为 假设存在 导出矛盾 或者从部分部分结论出发 导出其存在的必要条件 再验证是否 充分 根据上述思路 我们可以假设存在满足条件的直线 则 Q 的坐标可为 P 且这两点都在函数lP 00 xy 00 2 Qxy 的图像上 即 2 1 x f x x 0 0 2 0 0 02 0 1 2 21 x y x x y x 消去 得 解得 0 y 2 00 210 xx 0 12x 所以 或 22 12 12 44 PQ 22 12 12 44 PQ 所以 直线 的方程为 l014 yx 的存在性还须通过充分性的检验 l 把直线 的方程与函数联立 不难求得 共有三组解 l 2 1 x yf x x 12121 1 22 2 44 xxx y yy 因此 直线 与的图象共有三个交点 与 只交于两点 矛盾 所以 满足条件的直线 不存在 l yf x l 在得到这样的解答之后 我们不妨回头再看一看 在上述过程中 函数的性质 如奇偶性 并没有得到充分的应用 若能充分运用这 f x 个已知条件 则可以得到其他不同的探索过程 解解 2 设 则由为奇函数可知 P 关于原点的对称点也在的图像上 2211 yxQyxP xf 11 yxP xf 又 所以 且 故问题等价于 2 0 2121 xxyy2 QP轴xQP 是否存在直线 使得与有两个距离为 2 的交点 bym m xfy 将代入 解之得 令 解得 bym 1 2 x x y b b x 2 411 2 2 1 2 21 xx 4 2 b21 2 1 x 所以 此时直线的方程为 4 2 21 4 2 21QP 014 yx 充分性的检验过程同上 以上两种解法都是从求出直线的方程入手 如果我们将着眼点放在 只交于两点 则可以得到下面简洁的解法 解解 3 当直线 的斜率不存在时 此时 与函数的图像只交于一点 不满足题设 所以 可设直线的方程为 l 1l x l f xPQ bkxy 与联立 消去得 1 2 x x yy 0 1 23 bxkbxkx 由 P Q 关于点 1 0 对称 可得 点 1 0 在直线上 所以 PQkb 对于上述方程 若 则方程只有一解 不符合题意 0k 若 则方程 的实根个数可能为 1 个或 3 个 不可能有两个 即过点 1 0 的直线 与的图象不可能只有两个交点 0k l yf x 所以 这样的直线不存在 点评点评 敏锐的观察 丰富的想象 是进行有效探索的法宝 3 设等比数列的公比为 前 项和为 是否存在常数 使数列 也成等比数列 若存在 求出常数 若不存在 请 明 理 由 n aqn n Sc cSn c 讲解讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手 逐步深化解题进程的 设存在常数 使数列 成等比数列 c cSn 2 12 cScScS nnn 21 1 2 2 2 nnn n nn SSScSSS i 当 时 代入上式得1 q 1 naSn 即 0 2 1 1 2 1 22 1 2 1 nnnacananna 2 1 a 但 于是不存在常数 使成等比数列 0 1 ac cSn ii 当 时 代 入 上 式 得 1 q q qa S n n 1 1 1 1 1 1 1 1212 2 2 1 q a cq q qca q q qa nn 综 上 可 知 存 在 常 数 使成等比数列 1 1 q a c cSn 等比数列 n 项求和公式中公比的分类 极易忘记公比的 情 形 可 不 要 忽 视 啊 1 q 4 4 已知数列在直线 x y 1 0 上 1 11 NnaaPaa nnn 且点中 1 求数列 an 的通项公式 2 若函数求函数 f n 的最小值 2 1111 321 nNn anananan nf n 且 3 设表示数列 bn 的前 n 项和 试问 是否存在关于 n 的整式 g n 使得对于 n n n S a b 1 1 1321 ngSSSSS nn 一切不小于 2 的自然数 n 恒成立 若存在 写出 g n 的解析式 并加以证明 若不存在 说明理由 讲讲解解 从 规 律 中 发 现 从 发 现 中 探 索 1 01 1 nn aa 1 01 01 01 01 11 1 32 21 nnaanaa aa aa aa nn nn 得以上各式相加 2 nnn nf 2 1 2 1 1 1 22 1 12 1 2 1 3 1 2 1 1 nnnnn nf 0 1 1 22 1 22 1 1 1 22 1 12 1 1 nnnnnn nfnf 是单调递增的nf 3 12 7 2 fnf的最小值是故 n s n b nn 1 2 1 1 1 1 1 2 1 111 nnnnn ssnnsn n ss即 1 2 1 221 nnn ssnsn 12 112 sss 1 1211 nssssns nn 故存在关于n的整式使等式对于一切不小 2 的 2 1 121 nngnnsnnssss nnn nng 自然数n恒成立 事实上 数列 an 是等差数列 你知道吗 六 解题策略开放型六 解题策略开放型 1 2006 上海 上海 三个同学对问题 关于 x 的不等式 x2 25 x3 5x2 ax 在 1 12 上恒成立 求实数 a 的取值范围 提出各自的解题思路 甲说 只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值 乙说 把不等式变形为左边含变量 x 的函数 右边仅含常数 求函数的最值 丙说 把不等式两边看成关于 x 的函数 作出函数图像 参考上述解题思路 你认为他们所讨论的问题的正确结论 即 a 的取值范围是 思路分析思路分析 采用乙说的思路 x 1 12 原题等价于 x x2 5x a 在 1 12 上恒成立 25 x 下面求函数 y x x2 5x 的最小值 25 x x 10 当且仅当 x 5 1 12 时 取最小值 10 25 x 且 x2 5x 0 当且仅当 x 5 时 取最