数学物理方法第四版(梁昆淼)期末总结ppt.ppt

教材 梁昆淼编写的 数学物理方法 第四版 内容 第一篇复变函数论 第二篇数学物理方程 数学物理方法 第一章复变函数 1 复数的定义 一 复数 模 辐角 主辐角 共轭复数 三角式 指数式 代数式 复数三种表示式之间的转换 2 复数的运算 加 减 乘 除 乘方 开方 1 加法和减法 2 乘法和除法 2 乘法和除法 两复数相除就是把模数相除 辐角相减 两复数相乘就是把模数相乘 辐角相加 3 复数的乘方和开方 复数的乘 除 乘方和开方运算 采用三角式或指数式往往比代数式来得方便 棣莫弗公式 二 六种初等复变函数 1 幂函数 4 双曲函数 5 根式函数 周期为2 i 6 对数函数 例1 已知 则 例2 复数ez的模为 辐角为 三 解析函数 2 解析函数性质 3 构建解析函数 给出一个二元调和函数作为解析函数的实部或虚部 通过C R条件求出该解析函数的虚部或实部 从而写出这个解析函数 算偏导 u或v的全微分 求积分 表成 例3 已知解析函数的实部 求虚部和这个解析函数 根据C R条件 解 例4 已知解析函数f z 的虚部 求实部和这个解析函数f z 解 提示 当给定的u或v中含有因子x2 y2 这种情况下采用极坐标处理比较方便 即令 将上面第二式对 积分 视作参数 有 其中为 的任意函数 将上式两边对 求导 第二章复变函数积分 一 复变函数积分的性质 P23 二 计算复变函数回路积分 1 单通区域柯西定理 P24 2 复通区域柯西定理 P25 3 重要公式应用 P28 4 柯西公式 高阶导数的柯西公式 当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积分 可利用柯西公式来计算 1 把被积函数写成的形式 f z 在积分区域上解析 为积分区域内一点 2 利用柯西公式来计算积分 例2 下列积分不为零的是 C 第三章幂级数展开 一 收敛半径 方法1 比值判别法 方法2 根值判别法 收敛圆 收敛域 例1 求幂级数的收敛圆 解 收敛圆 解 例2 幂级数的收敛域 收敛域 二 把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展成幂级数 根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展开的唯一性 一般可利用熟知的泰勒展开式 通过变量变换 结合级数的四则运算 逐项求导和积分 分解成最简分式等方法去展开 间接展开法 常见函数的泰勒展开式 解 解 奇点名称 可去奇点 极点 本性奇点 不含负幂项 含无限个负幂项 含有限个负幂项 的洛朗级数 极限性质 三 有限远孤立奇点分类及其类型判定 极限判定法来判定可去奇点 极点 本性奇点 几个名词的定义 孤立奇点 非孤立奇点 可去奇点 m阶极点 本性奇点 设函数f z 在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点b1 b2 bn外解析 在闭区域上除b1 b2 bn外连续 则f z 沿l正向积分之值等于f z 在l所围区域内各奇点的留数和的2 i倍 左边的积分是沿l的正向进行的 注意 右边的奇点是指l所围区域内的 并非是f z 所有的奇点 第四章留数定理 一 留数定理 P52 二 计算留数 各孤立奇点留数的计算公式 奇点类型 可去奇点 0 m阶极点 一阶极点 普遍公式 本性奇点 极点阶数判定 法一 把极点阶数估计得过高 n就是极点的阶数 把极点阶数估计得过低 n m n m n m 法二 零点和极点的关系 若z z0是f z 的m阶零点 则z z0必是的m阶极点 三 留数定理的应用 1 计算闭合回路积分 例1 解 其奇点为 z1 4 z2 2 z3 1 只有单极点z2 2 z3 1在积分回路内 类型一 类型二 2 计算三种类型实变函数定积分 类型三 解 且其留数为 只有单极点在圆内 解 所以 明显 只有在上半平面 且为f z 的一阶极点 因此 解 有两个二阶极点 其中在上半平面 P61例7 第五章傅里叶变换 一 傅里叶级数 1 周期函数 T 2l 的傅里叶展开 一般周期函数 5 1 3 5 1 5 P88 奇函数 5 1 8 5 1 9 P90 偶函数 5 1 10 5 1 11 P90 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数 傅里叶级数 2 定义在有限区间 0 l 上的函数的傅里叶展开 对函数f x 的边界 区间的端点x 0 x l 上的行为提出限制 即满足一定的边界条件 这常常就决定了如何延拓 1 边界条件为f 0 0 f l 0 应延拓成以2l为周期的奇函数 奇延拓 2 边界条件为 应延拓成以2l为周期的偶函数 偶延拓 3 边界条件为 4 边界条件为 又根据边界条件f l 0 应将函数f x 对区间 0 l 的端点x l作奇延拓 然后以4l为周期向整个实轴延拓 延拓以后的函数是以4l为周期的偶函数 根据边界条件应将函数f x 对区间 0 l 的端点x 0作偶延拓 复数形式的傅里叶积分 二 傅里叶积分 f x 非周期函数 x 可以写成对称的形式 三 函数 1 函数定义 2 函数性质 挑选性 3 函数的傅里叶积分 满足下面两个条件 的函数 x x0 称为 函数 1 2 定解问题 泛定方程 定解条件 初始条件 说明物理现象初始状态的条件 边界条件 说明边界上的约束情况的条件 波动方程 输运方程 稳定场方程 第七章数学物理定解问题 衔接条件 初始条件 给出某一初始时刻整个系统的已知状态 如 不需要初始条件 一般地说 初始条件的个数等于数理方程所含有的对时间最高阶偏导数的阶数 1 杆或弦两端固定 常见的边界条件 边界条件 给出系统的边界在各个时刻的已知状态 2 杆两端自由 3 杆的两端保持恒温T 4 两端绝热 5 两端有热流强度为f t 的热流流出 l f t f t 在x 0端 在x l端 同理得 两端有热流强度为f t 的热流流入 则 数学物理定解问题的适定性 1 解的存在性 看所归结出来的定解问题是否有解 2 解的唯一性 看是否只有一个解 3 解的稳定性 当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时 解是否相应地只有微小的变化量 定解问题解的存在性 唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性 解 弦仅在x0处受策动力作用 故其定解问题为 例1 长为l的均匀弦 两端x 0和x l固定 在点x0 0 x0 l 受谐变力F0sin t的作用而作微小振动 试写出其定解问题 解定解问题三步曲 1 写出正确的定解问题 2 边界条件齐次化 3 求解 傅氏级数法或分离变数法 第八章分离变数法 分离变数法 齐次的振动方程和输运方程 齐次的边界条件 傅里叶级数法 齐次或非齐次的振动方程和输运方程 齐次的边界条件 一 分离变数法解题步骤 1 对齐次方程和齐次边界条件分离变量 2 解关于空间因子的常微分方程的本征值问题 3 求其它常微分方程的解 与本征函数相乘 得到本征解 4 迭加所有本征解 由初始条件或非齐次边界条件确定迭加系数 而最后得到所求定解问题的解 例1 用分离变数法求定解问题 先以分离变数形式的试探解 解 代入泛定方程 1 和边界条件 2 得 1 2 3 本征值问题 本征值 本征函数 其通解为 相应的本征解 一般解是所有本征解的线性迭加 4 一般解是所有本征解的线性迭加 代入初始条件 4 例2 用分离变数法求定解问题 1 2 3 先以分离变数形式的试探解 解 代入泛定方程 1 和边界条件 2 得 本征值问题 本征值 本征函数 其通解为 相应的本征解 一般解是所有本征解的线性迭加 代入初始条件 所求的定解问题的解为 运用傅氏级数法求定解问题 要注意在不同齐次边界条件下 所求定解问题的解展开为不同形式的傅里叶级数 二 傅里叶级数法 三 熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化 引入辅助函数v x t 令u x t v x t w x t 使v x t 满足非齐次边界条件 可将函数u x t 满足的非齐次边界条件的定解问题变换为函数w x t 满足的齐次边界条件的定解问题 可设 可将w x t 的边界条件是齐次的 3 若是第一 二类非齐次边界条件 或 可设 可将w x t 的边界条件齐次化 2 若是第二类非齐次边界条件 例3 求定解问题 解 设 由于边界条件是第一类齐次边界条件 所以设 代入泛定方程 得 代入初始条件 所求的定解问题的解为 例4 求定解问题 解 设 令 代入上式 由于边界条件是第一类齐次边界条件 所以设 代入泛定方程 得 代入初始条件 定解问题的解为 1 掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质 1 l阶勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题 自然边界条件 本征值问题 本征值是l l 1 本征函数则是l阶勒让德多项式Pl x 第十章球函数 2 勒让德多项式的性质 1 正交性 不同阶的勒让德多项式在区间 1 1 上正交 2 勒让德多项式的模 3 勒让德多项式的全体构成完备组 如何将一个定义在x的区间 1 1 上的函数f x 展开成广义傅里叶级数 一般公式 展开系数 待定系数法 仅适用于f x 是关于x的次幂的多项式 3 勒让德多项式的母函数 母函数 以半径为R的球代替单位球 则 3 掌握关于极轴对称拉氏方程在球坐标系下的解 关于轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为 对球内轴对称问题 自然边界条件 取Bl 0 应排除 例1 解 边界条件与 无关 以球坐标的极轴为对称轴 此定解问题是轴对称情况下的球内问题 故 代入边界条件 P231例3 左边是广义的傅里叶级数 所以用待定系数法将右边