数学专业英语(-第2版)2-6.ppt

NewWords Expressions alphabet字母表prime素数 质数displacement位移proportional成比例的domain定义域thereal valuedfunction实值函数edge棱 边springconstant弹性系数graph图 图形limit极限stretch拉伸volume体积 容积 卷 2 6函数的概念与函数思想Functionconceptandfunctionidea NewWords Expressions 二 P59 measurable可测的mapping映射 Variousfieldsofhumanhavetodowithrelationshipsthatexistbetweenonecollectionofobjectsandanother 6 AInformaldescriptionoffunctions 各行各业的人们都必须处理一类事物与另一类事物之间存在的关系 Graphs charts curves tables formulas andGalluppollsarefamiliartoeveryonewhoreadsthenewspapers 几乎每个人都熟悉图形 图表 曲线 公式和盖洛普民意测验 Thesearemerelydevicesfordescribingspecialrelationsinaquantitativefashion Mathematiciansrefertocertaintypesoftheserelationsasfunctions 这些只是以定量的方式描述特定关系的方法 数学家将这些关系中的某些类型视作函数 Inthissection wegiveaninformaldescriptionofthefunctionconcept AformaldefinitionisgiveninSection3 在本节中 我们给出一个非正式的描述函数的概念 在第3节给出一个正式的定义 EXAMPLE1 TheforceFnecessarytostretchasteelspringadistancexbeyonditsnaturallengthisproportionaltox Thatis F cx wherecisanumberindependentofxcalledthespringconstant 把一个钢制的弹簧拉伸到超过其自然长度的距离为x时所需要的力F与x成正比 即 F cx 这里c是不依赖与x的数 叫做弹性系数 Thisformula discoveredbyRobertHookeinthemid 17thcentury iscalledHooke slaw anditissaidtoexpresstheforceasafunctionofthedisplacement 这个公式是在17世纪中叶被胡克发现的 叫做胡克定律 它用来表示力关于位移的函数 EXAMPLE2 Thevolumeofacubeisafunctionofitsedge length Iftheedgeshavelengthx thevolumeVisgivenbytheformulaV x3 立方体的体积是它棱长的函数 如果棱长为x 那么体积的公式为 V x3 EXAMPLE3 Aprimeisanyintegern 1thatcannotbeexpressedintheformn ab whereaandbarepositiveintegers bothlessthann Thefirstfewprimesare2 3 5 7 11 13 17 19 素数是大于1且不能表示成n ab形式的整数 这里a和b都是小于n的正整数 开始的几个素数是2 3 5 7 11 13 17 19 Foragivenrealnumberx 0 itispossibletocountthenumberofprimeslessthanorequaltox Thisnumberissaidtobeafunctionofxeventhoughnosimplealgebraicformulaisknownforcomputingit withoutcounting whenxisknown 对于一个给定的实数x 0 数出小于或者等于x的素数的个数是有可能的 这个数称为x的函数 尽管还没有一个简单代数式可以由已知的x计算 不通过计数求 出它的值 Theword function wasintroducedintomathematicsbyLeibniz whousedthetermprimarilytorefertocertainkindsofmathematicalformulas 函数 这个词是由莱布尼茨引入到数学中的 他主要使用这个术语来指代某种数学公式 ItwaslaterrealizedthatLeibniz sideaoffunctionwasmuchtoolimitedinitsscope andthemeaningofthewordhassinceundergonemanystagesofgeneralization 后来人们才认识到 莱布尼茨的函数思想适用的范围太过局限了 这个术语的含义从那时起已经过了多次推广 Today themeaningoffunctionisessentiallythis Giventwosets sayXandY afunctionisacorrespondencewhichassociateswitheachelementofXoneandoneonlyelementofY 如今 从本质上讲 函数的定义如下 给定两个集合X和Y 函数是X中元素与Y中元素的一一对应 ThesetXiscalledthedomainofthefunction ThoseelementsofYassociatedwiththeelementsinXformasetcalledtherangeofthefunction ThismaybeallofY butitneednotbe 集合X叫做函数的定义域 与X中的元素相对应的Y中的元素的集合叫做函数的值域 值域可能是整个集合Y 也可能不是 LettersoftheEnglishandGreekalphabetsareoftenusedtodenotefunctions Theparticularlettersf g h F G H andarefrequentlyusedforthispurpose 英语字母和希腊字母表通常用于表示函数 为此 一些特定的字母如 f g h 频繁使用 Iffisagivenfunctionandifxisanobjectofitsdomain thenotationf x isusedtodesignatethatobjectintherangewhichisassociatedtoxbythefunctionf anditiscalledthevalueoffatxortheimageofxunderf Thesymbolf x isreadas fofx 如果f是一个给定的函数 x是它定义域中的一个点 符号f x 表示值域中按照f对应于x的点 它叫做f在x点的值或者x在f下的像 符号f x 读作 fofx Seldomhasasingleconceptplayedsoimportantaroleinmathematicsashastheconceptoffunction Itisdesirabletoknowhowtheconcepthasdeveloped 6 CTheconceptoffunction 在数学中 很少有个概念象函数的概念那样 起那么重要的作用的 因此 需要知道这个概念是如何发展起来的 Thisconcept likemanyothers originatesinphysics 这个概念像许多其他概念一样 起源于物理学 Thephysicalquantitiesweretheforerunnersofmathematicalvariables andrelationamongthemwascalledafunctionrelationinthelater16thcentury 物理量是数学变量的先驱 他们之间的关系在16世纪后期称为函数关系 Forexample theformulas 16t2forthenumberoffeetsabodyfallsinanynumberofsecondstisafunctionrelationbetweensandt itdescribesthewaysvarieswitht 例如 代表一物体在若干秒t中下落若干英尺s的公式s 16t2就是s和t之间的函数关系 它描述了s随t变化的公式 Thestudyofsuchrelationsledpeopleinthe18thcenturytothinkofafunctionrelationasnothingbutaformula 对这种关系的研究导致了18世纪的人们认为函数关系只不过是一个公式罢了 Notspecifiedbythisdefinitionisthemannerofsettingupthecorrespondence 至于如何建立这种对应关系 这个定义并未详细规定 Itmaybedonebyaformulaasthe18thcenturymathematicspresumedbutitcanequallywellbedonebyatabulationsuchasastatisticalchart orbysomeotherformofdescription 可以如18世纪的数学所假定的那样 用公式来建立 但同样也可以用统计表那样的表格或用某种其他的描述方式来建立 Atypicalexampleistheroomtemperature whichobviouslyisafunctionoftime Butthisfunctionadmitsofnoformularepresentation althoughitcanberecordedinatabularformortracedoutgraphicallybyanautomaticdevice 典型的例子是室温 这显然是一个时间的函数 但是这个函数不能用公式来表示 不过可以用表格的形式来记录或者用一种自动装置以图标形式来追踪 ThemoderndefinitionofafunctionyofxissimplyamappingfromaspaceXtoanotherspaceY AmappingisdefinedwheneverypointxofXhasadefiniteimagey apointofY 现代给x的一个函数y所下的定义只是从一个空间X到另一个空间Y的映射 当X空间的每一个点x有一个确定的像点y 即Y空间的一点 那么映射就确定了 Themappingconceptisclosetointuition andthereforedesirabletoserveasabasisofthefunctionconcept