自动控制原理（第2版） 第4章根轨迹法(1)

自动控制原理 大连民族学院机电信息工程学院 四章 根轨迹法 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 本章重点内容 根轨迹的基本概念 根轨迹绘制的基本规则 参量根轨迹的绘制 用根轨迹法分析闭环控制系统的性能 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 !系统特征根的图解方法 根轨迹： 当系统 某一参数 在 规定范围内变化 时，相应的系统 闭环特征方程根 在 成一条轨迹。 1、希望按性能要求置于合适的位置。 闭环极点（即闭环特征方程根） 闭环控制系统稳定 性、瞬态响应特性 2、系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解， 不方便。 根轨迹的概念 根轨迹法的基本概念 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 )1()()(s(R)s(C)s(2 广义根轨迹 :系统的任意一变化参数形成根轨迹。 狭义根轨迹 （通常情况）： 变化参数为 开环增益 K，且其变化取值范围为 0到 。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 闭环特征方程式为 02 征方程式的根是 1212121 ，由上式可见，特征根 的变化而变化。下表列出了当参变量 征根 K 0 0. 25 0. 5 1 s 1 0 0 - 0 j 0 0 j 0 0 j s 2 1 0 0 j 0 . 5 0 j 0 . 8 7 0 j 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 0s(D 2 4/1K 2/121 s 12 0时 4/10 K 两个负实根 相对靠近移动 离开负实轴，分别 s= 直线向上和向下移动。 一对共轭复根 1/2 0 121212,1 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 根轨迹与系统性能 1. 稳定性 当开环增益从零变到无穷时，右图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半 此例 1系统对所有的 定 的。 如果分析高阶系统的根轨迹图，那么根轨迹就有可能越过虚轴进入 时根轨迹与虚轴交点处的 是 临界开环增益。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 2. 稳态性能 由右图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属 而根轨迹上的 如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益，而是所谓根轨迹增益。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 3. 动态性能 由右图可见，当 时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程； 当 时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较 情况为快； 当 时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随 调节时间的变化不会显著。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 环零、极点与开环零、极点间的关系 前向通道传递函数 G(S)的一般表达式 221 2 2 2 1221 2 2 21()( 1 ) ( 1 )( ) *( 1 ) ( 1 )()s s sG s s T s T 前向通道根轨迹增益 212212*()1 ( ) ( )s H s大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 * * * K开环系统根轨迹增益 111 1 1 1* ( ) ( )()( ) ( ) * ( ) ( )f hG i j i ji j i jK s z s p s p K s z s z iz 反馈通道零点 前向通道极点 反馈通道极点 m=f + l ) n= q + h) 11()( ) *()s 反馈通道根轨迹增益 m=f + l ) n= q + h) 1111()()( ) ( ) *()()s H s 开环传递函数 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 111 1 1 1* ( ) ( )()( ) ( ) * ( ) ( )f hG i j i ji j i jK s z s p s p K s z s z 3）闭环系统根轨迹增益 =开环系统前向通道的根轨迹增益。 1）闭环系统的零点 =前向通道的零点 +反馈通道的极点； 2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关； ！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。 单位反馈系统 （ 1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益； （ 2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。 * * * K大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 轨迹方程 根轨迹是系统闭环极点的集合 闭环系统的特征方程： 如果已知有 1 ( ) ( ) 0G s H s11()* 1()根 轨 迹 方 程 ：大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 幅角条件和幅值条件 （ nm） 11()*1()11*1幅值条件 1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关； 11( ) ( ) ( 2 1 )z s p k 幅角条件（ k=0,1,2, ） 1）幅角条件只与开环零、极点有关 幅角条件是确定 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 由上述两式可见，幅值条件与 相角条件与 此，把满足相角条件的值代入到幅值条件中，一定能求得一个与之相对应的 就是说，相角条件是确定 分必要条件 。 换言之 ,凡是满足相角条件的点必然也同时满足幅值条件 ,反之 ,满足幅值条件的点未必都能满足相角条件 . 综上所述， 根轨迹就是平面上满足相角条件点的集合。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是： 先找出 把它们连成曲线； 然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的值。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 模值条件与相 角条件的应用 = 1 *= 180o 模求角例题 已知根轨迹如图所示求增益 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 4利用幅值条件和相角条件绘制如图所示系统的根轨迹。 解： (1) 本例的开环传递函数为 )1()(和 1，没有开环零点。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 (2)用相角条件绘制根轨迹 本例的相角条件为 a r g a r g ( 1 ) ( 2 1 ) 0 , 1 , 2 ,s s k k ，根据上式，用试探法寻求 1) 在正实轴上任取一试验点图 4-4(a)所示，由于 ，因而该点不满足根轨迹的相角条件。由此可知，在正实轴上不存在系统的根轨迹。 11a r g 0 a r g ( 1 ) 0 ，大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 。因而该点不满足相角条件，即 1点左侧的实轴上不存在该系统的根轨迹。 。因而该点满足相角条件。由此可知，(0, 1)间的实轴是该系统的根轨迹。 2)在 (0, 1)间的实轴上任取一试验点 图 4-4(b)所示，由于 ， 2a r g s 0)1ar g ( 2 1点左侧实轴上任取一试验点 图 4-4(c)所示，由于 3a r g s )1a r g ( 3自动控制原理 4) 在 图 4-4(d)所示，令 ， 。如果点 应满足相角条件，即 。 14ar g s 24 )1ar g ( 0 )k 21 ，显然，只有当 时，才能满足此条件。由此可知，坐标原点与 1之间的实轴的垂直平分线上的点均能满足相角条件，因而该垂直平分线也是系统根轨迹的一部分