自动控制原理（第2版） 第2章控制系统的数学模型(4)

自动控制原理 有志者事竞成 大连民族学院机电信息工程学院 二章控制系统的数学模型 of 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 2 2 串 联 并 联 反 馈 2 R C 1 R C 2 R C R C R C 1 + R C 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 2 1 2 1 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 2 相邻综合点可互换位置、可合并 1 三种典型结构可直接用公式 3 相邻引出点可互换位置 、 可合并 注意事项： 1 不是典型结构 不可 直接用公式 2 引出点综合点相邻，不可互换位置 比 较点后移 引 出点前移乘 系 数 比 较点前移 引 出点后移乘 倒 数 沿箭头方向为 后 反箭头方向为 前 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 设控制系统的框图如图所示。研究系统输出量c(t)的运动规律，只考虑输入量 r(t)的作用是不完全的，往往还需要考虑干扰 d(t)的影响。参照该图，给出控制系统中几种常用传递函数的命名和求法。 自动控制系统的传递函数 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 1. 开环传递函数 (系统的反馈量 B(s)与参考输入 R(s)的比 ,称为闭环系统的开环传递函数，即 12()( ) ( ) ( ) ( )()s G s G s H 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 2. r(t)作用下系统的闭环传递函数 (令 D(s)=0， 系统的输出 与参考输入 之比 ， 称为在 作用下的闭环传递函数 。 )( )() ( ) ( )()( ) 1 ( ) ( ) ( )RC s G s G s G s G s H s 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 系统输出为 1212( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )G s G sC s s R s R sG s G s H s 可见，当系统中只有 r(t)作用时，系统的输出完全取决于 c(t)对 r(t)的闭环传递函数及 r(t)的形式。 如果 H(s) =1，则为单位反馈系统，它的闭环传递函数为 )()()( 21 )(1)()()(1)()()()(2121其中 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 3. d(t)作用下系统的闭环传递函数 (为研究干扰对系统的影响，需要求出 d(t)到 c(t)之间的传递函数。 令 。 与 的比， 称为扰动作用下的闭环 传递函数。 0)( ( )()()(1)()()(212大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 4. 系统的总输出 (当系统同时受到 作用时，由叠加原理(of 知，系统总的输出为它们单独作用于系统所引起的输入之和，即 )()( )()()(1)()()()()(1)()()()()()(2122121大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 5. 系统的误差传递函数 控制误差的大小直接反映了系统工作的精度。 (1) r(t)作用下的误差传递函数 )()()(11)()(21 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 (2) d(t)作用下系统的误差传递函数 由扰动作用产生的误差 与扰动 之比，称为扰动误差传递函数。 )()()(1)()()()(212(3) r(t)和 d(t)共同作用下系统的误差传递函数 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 信号流图和梅逊公式的应用 信号流图的术语和性质 梅逊增益公式 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 信号流图 (线性方程组中变量关系的另一种图示法。 信号流图和框图的主要不同之处在于用节点(表示为小圆圈，以替代信号以及分点、合点 )表示变量，而在节点间有向的支路上标注传递函数的增益，又称传输系数。 例如，一个线性系统的方程为 式中 是输入变量， 是输出变量， 是这两个变量间的增益 (图为上式的信号流图，输出量等于输入量与增益的乘积。 1122 1x 2x 号流图的术语和性质 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 下面以一个具体的例子，说明信号流图的绘制步骤。 设一线性系统由下列方程组描述 1x4453355444334422335524423321122 是输入变量， 是输出变量。绘制这一系统信号的流图步骤如下页图所示。 5自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 4453355444334422335524423321122自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 绘制信号流图步骤 5524423321122 2233 4443344 x1 x2 x3 x4 453355 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 信号流图的术语 (1) 节点 表示信号或变量，用符号“ ”表示。 传输 两个节点间的增益或传递函数。 支路 联结两个节点并标有信号流向的定向线段，支路的增益就是传输。 源点 只有输出支路，没有输入支路的节点，也叫输入节点。 阱点 只有输入支路，没有输出支路的节点，也叫输出节点 混和节点 既有输入支路也有输出支路的节点。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 通路 沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的通径。 如果通路与任一节点相交不多于一次，称为开通路。 如果通路的终点就是通路的起点，而与其它节点相交不多于一次，则称为闭通路或回路。 回路增益 回路中各支路传输的乘积。 不接触回路 若回路与回路之间没有任何公共节点，称为相互不接触回路。 前向通路 若从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。前向通路中各支路传输的乘积，称为 前向通路增益 。 信号流图的术语 (2) 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 2. 信号流图的主要性质 (1) 信号流图只适用于线性系统。 (2) 当系统由动态方程描述时，首先应通过 点间的支路表示一个节点上的信号对另一个节点上信号的传输关系；信号只能沿支路上的箭头指向传递。 (3) 节点把所有输入支路的信号叠加 (代数和 )，并把相加后的信号传送到所有的输出支路。 (4) 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理。但须明确，这种方法不能把混合节点改变成源点。 (5) 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的，可以绘成不同的信号流图。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 R(s) G1(s) 1 1 (s) Y(s) Y(s) F(s) G2(s) G3(s) R(s) F(s) Y(s) G1(s) G3(s) G2(s) H(s) E(s) 源点 源点 阱点 回路 例 1 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 常见控制系统的框图和相应的信号流图 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 梅逊增益公式 计算总增益的梅逊公式 ( 式中， 或称为总传输 )； 为信号的流图的特征式，它是信号流图所表示的方程组系数矩阵的行列式； 为从输入节点到输出节点前向通路的总条数； 为从输入节点到输出节点第 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 为信号流图中第 为任意两个互不接触回路的增益的乘积； 为任意三个互不接触回路的增益的乘积； 为第 把特征式 中除去与该通道相接触的回路增益项以后所得的余因式。 意：在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是 ，变化的只是其分子。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 1 R(s) 1 Y(s) 3 8 6 2 6 1 2 3 4P G G G G 2 5 6 7 8P G G G G2 4 1 2 2L G H 2 3 3L G H3 6 6L G H 4 7 7L G H大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 R(s) 1 Y(s) 3 8 6 2 6 接触回路 2 4 1 3 4 2 3 4,L L L L L 不 接 触 ； 与 也 不 接 触1 2 3 4 1 3 1 4 2 3 2 41 ( ) ( )L L L L L L L L L L L L 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 余因子 1 2 3 4 1 3 1 4 2 3 2 41 ( ) ( )L L L L L L L L L L L L R(s) 1 Y(s) 3 8 6 2 6 1 3 3 41 ( ) 2 1 21 ( ) 1 1 2 21 2 3 4 3 4 5 6 7 8 1 21 2 3 4 1 3 1 4 2 3 2 4()()( 1 ) ( 1 )1 ( ) ( ) G G L L G G G G L L L L L L L L L L L 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 2 a ) 多回路控制系统的框图 ( b ) 系统的信号流图 1211 2322 3213 32123212111a 3211 11 321232121321111)()(大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 G1(s) G4(s) H1(s) H2(s) G2(s) G3(s) R(s) C (s) 1211 2322 3213 414 245 24413212321211 121 2441321232121413211)( 2k 3211 412 前向通路有 2个， 5个回路， 因为各回路都互相接触，所以 特征式为 且 2条前向通路与所有回路都接触，所以 2个余子式为 故，代入 梅逊公式即得系统传递函数 课堂练习 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 一般来说，简单的系统可直接由框图进行运算，这样各变量间的关系既清楚，运算也不麻烦。 对于复杂的系统，显然按梅逊公式计算较为方便，但在应用该公式时，必须要考虑周到，即不能有遗漏或重复所需要计算的回路和前向通路，不然易得出错误的结果。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 2 H (s) Y(s) 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 2 H (s) Y(s) 1 2= - 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 2 H (s) Y(s) 2= 3= 4= - 2 -( 还有没有回路啦？ 你确定吗？ 你不更改了吗？ 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 2 H (s) Y(s) 连民族学院机电信息工程学院 自动控制