高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)

考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 1 页 共 65 页 高等数学高等数学 2 2 试题答案以及复习要点汇总试题答案以及复习要点汇总 一 选择题选择题 每每题题 3 分分 共共 15 分分 1 设具有一阶连续偏导数 若 则 f x y 23 f x xx 224 2 x fx xxx A 2 y fx x A B C D 3 xx 24 22xx 25 xx 2 22xx 解 选 A 两边对 求导 23 f x xx x 将 代入得 222 23 xy fx xfx xxx 224 2 x fx xxx 故 2422 22 3 y xxxfx xx 23 y fx xxx 2 已知为某二元函数的全微分 则a和b的 dyyxxbydxxyaxy 2223 3sin1cos 值分别为 C A 2 和 2 B 3 和 3 C 2 和 2 D 3 和 3 解 选 C xyaxy y P xyxby x Q cos236cos 22 2 2 ab 3 设 为曲面 z 2 x2 y2 在 xoy 平面上方的部分 则 D zdSI 2 2 0 22 2 0 412 r rdrrrdA 2 0 22 2 0 412rdrrrdB 2 0 2 2 0 2rdrrdC 2 0 22 2 0 412rdrrrdD 解 选 D 2 0 22 2 0 412rdrrrdI 4 设有直线 曲面在点 1 1 1 处的切平面 410 30 xyz L xy 222 zxyz 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 2 页 共 65 页 则直线与平面的位置关系是 C L A B C D 与斜交 L L L L 解 选 C 的方向向量 曲面L 1 1 4 4 4 2 1 1 0 ijk s 在点 1 1 1 处的切平面的法向量 222 0F x y zxyzz 由于 因此 1 1 1 2 2 1 FFF n xyz ns L 5 设 则下面结论正确的是 B 12 22 yxyyxyxf A 点 是 的驻点且为极大值点 2 1 2 1 f x y B 点 是极小值点 2 1 2 1 C 点 0 0 是 的驻点但不是极值点 f x y D 点 0 0 是极大值点 解 选 B 二二 填空填空题题 每每题题 3 分分 共共 15 分分 1 设 则 ln xyz zz xy xy 解 或 ln 1 xy z 1 2 函数 则 22 yxy eu du 解 du dyyxxydxe yxy22 32 22 3 曲线在点 2 4 5 处的切线方程 4 4 22 yx z y 解 切线方程 1 5 0 4 1 2 zyx 4 设 L 是圆周 x2 y2 a2 a 0 负向一周 则曲线积分 L dyyxydxyxx 3223 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 3 页 共 65 页 解 曲线积分 L dyyxydxyxx 3223 2 4 a 5 交换二次积分的次序 2 21 0 y y dxyxfdy 解 2 21 0 y y dxyxfdy 22 2 0 2 10 1 0 xx dyyxfdxdyyxfdx 三三 求解下列各求解下列各题题 每 每题题 8 分 共分 共 16 分 分 1 设 f具有二阶连续偏导数 求及 sin 22 yxyefz x y z yx z 2 解 解 2 21 2cosyffye y z x 分 21 2sinxffye x z x 2 分 222112111 2 2cos22cossincosyfyefxyfyefyefye yx z xxxx 2 分 222112 2 111 4cos2sin2cossincosxyfyexfyfyeyyeffye xxxx 2 分 221211 2 1 4sincos2cossincosxyffyyyxefyyefye xxx 2 设函数 具有一阶连续偏导数 是由方程 所确 F x y zz x y 0 x y F z z 定的隐函数 试求表达式 zz xy xy 解法一 方程 两端对求导 0 x y F z z x 同理可求 6 1 12 22 12 0 xx x zxzyzzF FFz zzxFyF 2 12 y zF z xFyF 分 2 分 zz xyz xy 解法二 令 则 x y u x y zF z z 12 11 xy uFuF zz 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 4 页 共 65 页 12 2 1 z uxF yF z 3 分 于是 3 分 1 12 x x z uzF z uxFyF 2 12 y y z u zF z uxFyF 2 分 zz xyz xy 四 四 计计算下列各算下列各题题 每 每题题 8 分 共分 共 32 分 分 1 计算积分 yxyx dxdyyxI 22 解 极坐标 令 则cos sinxryr 3 分 cossin 0 2 4 3 4 cos sindrrdI 2 分 d 4 4 3 4 cos sin 3 1 3 分 2 2sin2sin1 3 1 2 4 3 4 d 2 计算三重积分 其中为曲面及所围成的闭 zdv 22 2yxz 22 yxz 区域 解 联立的两曲面方程 得交线 1 22 yx 1 z 投影柱面 在面的投影域为 1 22 yx xoy1 22 yxDxy 0 z 用柱面坐标 2 分 2 20 10 22 rzrr 2 分 zdv dzrdrdz 2 2 21 0 2 0 r r zdzrdrd 2 分 42 1 0 2 2 1 2rrrdr 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 5 页 共 65 页 2 分 12 7 2 1 0 53 drrrr 3 计算曲线积分 其中 L 是由点 A a 0 到 L xx dyyedxyye8cos8sin 点 O 0 0 的上半圆周 0 0 22 ayaxyx 解解 设 由格林公式得到 8cos 8sin yexQyyexP xx 88coscos yeye y P x Q xx 4 分 2 88cos8sinadxdydxdy y P x Q yedxyye DDOAL xx 4 分 OADOAOAL dxdy y P x Q I 2 08adxdy D 4 计算 其中曲面 为球面上的 dSzyx 2222 azyx 0 ahhz 部分 解 曲面 的方程为z 其在xoy坐标面上的投影区域为 22 yxa D 2222 hayx 3 分 22 1 yx zz 22 yxa a D d yxa a yxayx 22 22 dSzyx D ad 3 分 D d yxa yxa 222 由积分区域和被积函数的对称性得 0 且 D d yxa yxa 222 D haaa d 22 所以 2 分 dSzyx 22 haa 五 五 8 分 分 求幂级数 的和函数 并求数项级数 的和 1 1 n n nx n 2 1 1 1 2 n n n n 解 2 分 2 111 11 nnn nnn n xnxx nn 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 6 页 共 65 页 1 11 1 nn nn xnxx n 2 分 1 0 11 x nn nn xxxdx 0 11 1 11 x xdx xx 2 分 2 ln 1 11 1 x xx x 取 得 2 分 1 2 x 2 1 1 1 2ln2 2 n n n n 六 六 8 分 分 求解微分方程 21 23xeyyy x 解 对应齐次微分方程的特征方程为 2 分 023 2 rr 故特征根 从而齐次微分方程的通解为 2 1 21 rr 2 分 xx eCeCy 2 21 令非齐次方程特解为 BAxxey x 代入方程解得 于是特解为1 BA 2 分 1 xxey x 则原方程通解为 2 分 1 2 21 xxeeCeCyyy xxx 七 七 6 分 分 某企业生产甲 乙两种产品 其销售单价分别为 10 万元 件 9 万元 件 若生产件甲产品和件乙产品的总成本为xy 万元 又已知两种产品的总产量为 100 22 400230 01 33 Cxyxxyy 件 试建立这一问题的数学模型 并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最 大利润 解 因为企业获得的总利润应为总收入与总成本之差 因此这一G109Rxy C 问题的数学模型应描述如下 3 分 22 max109400230 01 33 100 Gxyxyxxyy stxy 这是有条件极值问题 利用 Lagrange 乘数法 令 22 109400230 01 33 100 L x yxyxyxxyyxy 求对各个变量的偏导数 并令它们都等于 0 得L 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 7 页 共 65 页 3 分 1020 060 010 930 060 010 100 x y Lxy Lyx Lxy 解上述方程组得到唯一驻点 依题意知所求最大利润一定存在 故当产品 70 30 甲产量为 70 件 产品乙产量为 30 件时企业获得最大利润 一 选择题选择题 每每题题 3 分分 共共 15 分分 1 函数在原点 0 0 处间断 是因为 0 0 0 22 22 22 yx yx yx xy yxf A 函数在原点无定义 B 函数在原点无极限 yxf yxf C 在原点极限存在 但该点无定义 D 在原点极限存在 但不等于它的函数值 选 B 2 曲面在点 2 1 0 处的切平面方程是 3 xyze z A B 042 yx042 zyx C D 042 yx052 yx 选 C 3 旋转抛物面在部分的曲面面积为 2 1 22 yx z 21 zS A B dxdyyx yx 2 22 22 1dxdyyx yx 2 22 22 1 C D dxdyyx yx 4 22 22 1 dxdyyx yx 4 22 22 1 选 B 4 若幂级数的收敛半径是 2 则的收敛半径为 1 2 n n n xa 1n n nx a A B 21 C D 24 选 D 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 8 页 共 65 页 5 若连续函数满足 则等于 xf2ln 2 2 0 dt t fxf x xf A B 2ln 2x e2ln x e C D 2ln x e2ln 2 x e 选 A 二二 填空填空题题 每每题题 3 分分 共共 15 分分 1 设 其中为可微函数 则 x ufyz ufyxu 22 y z x x z y 2 设可微 其中 vufz y x vxyu dzdy v f y x u f xdx v f yu f y 1 2 3 曲线在点 2 4 5 处的切线与轴所夹锐角 22 4 4 xy z y x 4 4 交换二次积分的次序 2 0 2 2 y y dxyxfdy 4 0 2 x x dyyxfdx 5 若为的外侧 且是其外法线向量的方向余弦 则 2222 Rzyx cos cos cos RdS zyx zyx 4 coscoscos 222 注 RR R dV R zdxdyydzdxxdydz R dS zyx zyx V 4 3 4 3 1 3 11 coscoscos 3 222 222 三三 求解下列各求解下列各题题 每 每题题 8 分 共分 共 16 分 分 1 设 其中具有二阶连续偏导数 求 yxyfz f 222 22 zzz xx yy 解 2 分 211 ff x y z f y x z 2 分 11 2 2 2 fy x z 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 9 页 共 65 页 2 分 12111 2 ff xyf yx z 2 分 221211 2 22211211 2 2 2ff xfxff xff xx y z 2 设求和 已知 1 0 xvyuyvxu x u x v 0 22 yx 解 将所给方程两边对求导并移项 得x 4 分 v x v x x u y u x v y x u x 由已知 可得0 22 yx 2 分 22 yx yvxu xy yx xv yu x u 2 分 22 yx xvyu xy yx vy ux x v 四 四 计计算下列各算下列各题题 每 每题题 8 分 共分 共 32 分 分 1 计算二重积分 其中 D dxdyyx 2 D 0 222 aayx 解 利用极坐标变换 3 分 rdrdrrdxdyyx DD 2 2 sincos 3 分 ddrr a 0 2 0 3 cossin21 2 分 4 2 1 a 2 计算三重积分其中 为球面所围成的闭区域 dvzyx 222 zzyx 222 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 10 页 共 65 页 解 应用球面坐标计算 即为 则zzyx 222 coscos 2 rrr 3 分 drrrdddvzyx sin cos 0 2 2 0 2 0 222 3 分 2 0 2 0 4 cossin 4 1 dd 2 分 10 cos2 5 1 4 1 2 0 5 3 计算 其中L为圆周 直线及轴在第一象 L yx dse 22 0 222 aayxxy x 限内所围成的扇形的整个边界 解 所求积分的曲线可分为三段 线段 OA 弧 AB 线段 OB 线段 OA 2 分 0 yax 011 2 x y1 0 22 a a x OA yx edxedse 弧 AB taytaxsin cos 4 0 tayx tt 22 所以 2 分 4 4 0 22 aa AB yx aeadtedse 线段 OB xy 2 0 a x 21 2 x y 所以 2 分 12 2 0 2 22 a a x OB yx edxedse 综上 2 分 L yx dse 22 2 4 2 a ea 4 4 计算曲面积分 其中 是柱面被平面及 ydzdxxdydzzdxdy1 22 yx0 z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧 3 z 解 由于曲面 在坐标面上的投影区域为 0 所以 2xoy xy D 0zdxdy 分 曲面 在坐标面上的投影区域为 yoz yz D30 10 zy xdydz 2 分 yz D dydzy21 1 0 2 3 0 1dyydz 4 3 同理 曲面 在坐标面上的投影区域为 0 x 1 0 z 3 xoy xz D 2 分 ydxdz xz D dxdzx21 1 0 2 3 0 1dxxdz 4 3 O y B A x x z 3 z 0 z o y x 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 11 页 共 65 页 故 2 2 分 ydzdxxdydzzdxdy 4 3 2 3 五 五 8 分 分 求幂级数 的和函数 并求数项级数 的和 1 12 12 n n n x 11 x 1 1 21 2n n n 解 在 1 1 上 令 3 分 xs 35 35 xx x 1 12 12 n n n x 2 1 22 1 12 1 12 1 1 1212 x x n x n x xs n n n n n n 上式两边积分得 3 xs 1 12 12 n n n x x dx x 0 2 1 1 11ln 11 21 x x x 分 2 分 1 1 21 2n n n 2 1 2 1 2 12 1 1 112 s n n n 21111 lnln21 2 2212 六 六 8 8 分 分 求微分方程满足初始条件的特02sin xyy1 1 xx yy 解 解 对应齐次微分方程的特征方程为 0 2 rr 故特征根 从而齐次微分方程的通解为 2 分 0 1 r1 2 r 2 分 x eccy 21 因 不是特征根 故可令非齐次方程特解为 i 2 xBxAy2sin2cos 代入方程解得 于是原方程通解为 10 1 A 5 1 B 2 分 xxeccy x 2sin 5 1 2cos 10 1 21 代入初始条件得 ec 5 3 2 2 3 1 c 所以满足初始条件的特解为 2 分 xxeey x 2sin 5 1 2cos 10 1 5 3 2 3 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 12 页 共 65 页 七 七 6 分 分 证明 其中是正向一周 L y xdydxe 2 2 Lxyx84 22 解 因曲线为封闭曲线 满足 Green 公式条件 从而直接应用 Green 公式有 PQ 原式 2 分 DD y dxdyyedxdy y P x Q 21 2 1 分 DD y dxdyyedxdy 2 2 2 分 021 1 分 2 高等数学试卷 1 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 13 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 14 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 15 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 16 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 17 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 18 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 19 页 共 65 页 高等数学 2 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 20 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 21 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 22 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 23 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 24 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 25 页 共 65 页 高等数学试卷 3 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 26 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 27 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 28 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 29 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 30 页 共 65 页 高等数学试卷 4 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 31 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 32 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 33 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 34 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 35 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 36 页 共 65 页 高等数学试卷 5 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 37 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 38 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 39 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 40 页 共 65 页 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 41 页 共 65 页 高等数学 下 试卷一 一 一 填空题填空题 每空 3 分 共 15 分 1 函数 11 z xyxy 的定义域为 2 已知函数 arctan y z x 则 z x 3 交换积分次序 2 22 0 y y dyf x y dx 4 已知L是连接 0 1 1 0 两点的直线段 则 L xy ds 5 已知微分方程 230yyy 则其通解为 二 选择题二 选择题 每空 3 分 共 15 分 1 设直线L为 3210 21030 xyz xyz 平面 为4 220 xyz 则 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 42 页 共 65 页 A L平行于 B L在 上 C L垂直于 D L与 斜交 2 设是由方程 222 2xyzxyz 确定 则在点 1 0 1 处的dz A dx dy B 2dxdy C 22dxdy D 2dxdy 3 已知 是由曲面 222 425 zxy 及平面 5z 所围成的闭区域 将 22 xydv 在柱面坐标系下化成三次积分为 A 225 3 000 dr drdz B 245 3 000 dr drdz C 225 3 5 00 2r dr drdz D 225 2 000 dr drdz 4 已知幂级数 则其收敛半径 A 2 B 1 C 1 2 D 2 5 微分方程 3232 x yyyxe 的特解y 的形式为y A B x axb xe C x axbce D x axbcxe 三 计算题三 计算题 每题 8 分 共 48 分 1 求过直线 1 L 123 101 xyz 且平行于直线2 L 21 211 xyz 的平面方程 2 已知 22 zf xyx y 求 z x z y 3 设 22 4 Dx y xy 利用极坐标求 2 D x dxdy 4 求函数 22 2 x f x yexyy 的极值 5 计算曲线积分 2 23sin y L xyx dxxedy 其中L为摆线 sin 1 cos xtt yt 从点 0 0 O 到 2 A 的一段弧 6 求微分方程 x xyyxe 满足 1 1 x y 的特解 四 解答题解答题 共 22 分 1 利用高斯公式计算 2 2xzdydzyzdzdxz dxdy A 其中 由圆锥面 22 zxy 与上 得分 阅卷人 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 43 页 共 65 页 半球面 22 2zxy 所围成的立体表面的外侧 10 2 1 判别级数 1 1 1 1 3 n n n n 的敛散性 若收敛 判别是绝对收敛还是条件收敛 6 2 在 1 1 x 求幂级数 1 n n nx 的和函数 6 高等数学 下 试卷二 一 填空题一 填空题 每空 3 分 共 15 分 1 函数 2 22 4 ln 1 xy z xy 的定义域为 2 已知函数 xy ze 则在 2 1 处的全微分dz 3 交换积分次序 ln 10 ex dxf x y dy 4 已知L是抛物线 2 yx 上点 0 0 O 与点 1 1 B 之间的一段弧 则L yds 5 已知微分方程 20yyy 则其通解为 二 选择题二 选择题 每空 3 分 共 15 分 1 设直线L为 30 0 xyz xyz 平面 为 10 xyz 则L与 的夹角为 A 0 B 2 C 3 D 4 2 设是由方程 33 3zxyza 确定 则 z x A 2 yz xyz B 2 yz zxy C 2 xz xyz D 2 xy zxy 3 微分方程 2 56 x yyyxe 的特解y 的形式为y A 2 x axb e B 2 x axb xe C 2 x axbce D 2 x axbcxe 4 已知 是由球面 2222 xyza 所围成的闭区域 将 dv 在球面坐标系下化成 三次积分为 A 2 2 2 000 sin a ddr dr B 2 2 000 a ddrdr 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 44 页 共 65 页 C 2 000 a ddrdr D 2 2 000 sin a ddr dr 5 已知幂级数 1 21 2 n n n n x 则其收敛半径 A 2 B 1 C 1 2 D 2 三 计算题三 计算题 每题 8 分 共 48 分 5 求过 0 2 4 A 且与两平面 1 21xz 和 2 32yz 平行的直线方程 6 已知 sin cos x y zfxy e 求 z x z y 7 设 22 1 0 Dx y xyyx 利用极坐标计算 arctan D y dxdy x 8 求函数 22 56106f x yxyxy 的极值 9 利用格林公式计算 sin2 cos2 xx L eyy dxeydy 其中 L为沿上半圆周 222 0 xayay 从 2 0 Aa 到 0 0 O 的弧段 6 求微分方程 3 2 1 1 y yx x 的通解 四 解答题解答题 共 22 分 1 1 6 判别级数 1 1 1 2 sin 3 nn n n 的敛散性 若收敛 判别是绝对收敛还是条件收 敛 2 4 在区间 1 1 内求幂级数 1 n n x n 的和函数 2 12 利用高斯公式计算 2xdydzydzdxzdxdy 为抛物面 22 zxy 01 z 的下侧 高等数学 下 模拟试卷三 一 一 填空题填空题 每空 3 分 共 15 分 1 函数 arcsin 3 yx 的定义域为 2 2 2 2 lim 332 n n nn 得分 阅卷人 得分 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 45 页 共 65 页 3 已知 2 ln 1 yx 在 1x 处的微分dy 4 定积分 1 20062 1 sin xxx dx 5 求由方程 57 230yyxx 所确定的隐函数的导数 dy dx 二 选择题二 选择题 每空 3 分 共 15 分 1 2x 是函数 2 2 1 32 x y xx 的 间断点 A 可去 B 跳跃 C 无穷 D 振荡 2 积分 1 20 1 x dx x A B C 0 D 1 3 函数 1 x yex 在 0 内的单调性是 A 单调增加 B 单调减少 C 单调增加且单调减少 D 可能增加 可能减少 4 1sin x tdt 的一阶导数为 A sin x B sin x C cosx D cosx 5 向量 1 1 ak 与 2 2 1 b 相互垂直则k A 3 B 1 C 4 D 2 三 计算题 3 小题 每题 6 分 共 18 分 1 求极限 1 23 lim 21 x x x x 2 求极限 3 0 sin lim x xx x 3 已知 lncos x ye 求 dy dx 四 计算题 4 小题 每题 6 分 共 24 分 1 已知 2 2 1 t x yt 求 2 2 d y dx 2 计算积分 2 cosxxdx 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 46 页 共 65 页 3 计算积分 1 0 arctan xdx 4 计算积分 2 2 0 2x dx 五 觧答题 3 小题 共 28 分 1 8 求函数 42 341yxx 的凹凸区间及拐点 2 8 设 1 1 0 1 1 0 1 x x x f x x e 求 2 0 1 f xdx 3 1 求由 2 yx 及 2 yx 所围图形的面积 6 2 求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积 6 高等数学 下 模拟试卷四 一 一 填空题填空题 每空 3 分 共 15 分 1 函数 2 1 1yx x 的定义域为 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 47 页 共 65 页 2 0 0 ax edx a 3 已知 sin 21 yx 在 0 5x 处的微分dy 4 定积分 1 2 1 sin 1 x dx x 5 函数 43 341yxx 的凸区间是 二 选择题二 选择题 每空 3 分 共 15 分 1 1x 是函数 2 1 1 x y x 的 间断点 A 可去 B 跳跃 C 无穷 D 振荡 2 若 0 0 0 0 0 1 lim x f ax aff x A 1 B a C 1 D a 3 在 0 2 内函数 sinyxx 是 A 单调增加 B 单调减少 C 单调增加且单调减少 D 可能增加 可能减少 4 已知向量 4 3 4 a 与向量 2 2 1 b 则a b 为 A 6 B 6 C 1 D 3 5 已知函数 f x 可导 且 0 f x 为极值 f x ye 则 0 x x dy dx A 0 f x e B 0 fx C 0 D 0 f x 三 计算题 3 小题 每题 6 分 共 18 分 1 求极限 1 0 lim 1 k x x kx 2 求极限 1 2 cos 2 0 sin lim sin x x t dt xx 3 已知 1 lnsin x ye 求 dy dx 四 计算题 每题 6 分 共 24 分 1 设 10 y exy 所确定的隐函数 yf x 的导数 0 x dy dx 2 计算积分 arcsin xdx 3 计算积分 35 0 sinsinxxdx 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 48 页 共 65 页 4 计算积分 3 220 0 3 a x dx a ax 五 觧答题 3 小题 共 28 分 1 8 已知 2 2 2 3 1 3 1 at x t at y t 求在 2t 处的切线方程和法线方程 2 8 求证当 0ab 时 1lnln1ab aabb 3 1 求由 3 yx 及 0 2yx 所围图形的面积 6 2 求所围图形绕 y 轴旋转一周所得的体积 6 高等数学 下 模拟试卷五 一 一 填空题填空题 每空 3 分 共 21 分 1 函数 y yx z ln 的定义域为 2 已知函数 22 yx ez 则 dz 3 已知 xy ez 则 0 1 x z 4 设 L 为 1 22 yx 上点 0 1 到 0 1 的上半弧段 则 ds L 2 5 交换积分顺序 xe dyyxfdx ln 01 6 级数 1 1 n n n 是绝对收敛还是条件收敛 7 微分方程 xysin 的通解为 二 选择题二 选择题 每空 3 分 共 15 分 1 函数 yxfz 在点 00 y x 的全微分存在是 yxf 在该点连续的 条件 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 49 页 共 65 页 A 充分非必要 B 必要非充分 C 充分必要 D 既非充分 也非必要 2 平面 012 1 zyx 与 022 2 zyx 的夹角为 A 6 B 4 C 2 D 3 3 幂级数 1 5 n n n x 的收敛域为 A 6 4 B 6 4 C 6 4 D 6 4 4 设 21 xyxy 是微分方程 0 yxqyxpy 的两特解且 2 1 xy xy 常数 则下列 是其通解 21 c c 为任意常数 A 211 xyxycy B 221 xycxyy C 21 xyxyy D 2211 xycxycy 5 zdv 在直角坐标系下化为三次积分为 其中 为 3 0 3 0 xxyy 0 3zz 所围的闭区域 A 033 300 dxdyzdz B 333 000 dxdyzdz C 303 030 dxdyzdz D 330 003 dxdyzdz 三 计算下列各题 共三 计算下列各题 共21分 每题分 每题7分 分 1 已知 0ln xyez z 求 y z x z 2 求过点 2 0 1 且平行直线32 2 1 1zyx 的直线方程 3 利用极坐标计算 D dyx 22 其中 D 为由 4 22 yx 0 y 及 xy 所围的在第 一象限的区域 四 求解下列各题 共四 求解下列各题 共20分 第分 第1题题8分 第分 第2题题12分 分 1 利用格林公式计算曲线积分 dyyxxydxey x L sin52 22 其中 L 为圆域D 4 22 yx 的边界曲线 取逆时针方向 2 判别下列级数的敛散性 1 1 1 1 1 n n n 2 1 2 3n n n 五 求解下列各题 共五 求解下列各题 共23分 第分 第1 2题各题各8分 第分 第3题题7分 分 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 50 页 共 65 页 1 求函数 133 2 1 23 yxyxyxf 的极值 2 求方程 x ey dx dy 满足 2 0 x y 的特解 3 求方程 282 x yyye 的通解 高等数学 下 模拟试卷六 一 填空题一 填空题 每题3分 共 21 分 1 函数 arccos zyx 的定义域为 2 已知函数 ln zxy 则 2 1 z x 3 已知 22 sinzxy 则 dz 4 设 L 为 1yx 上点 1 0 到 1 0 的直线段 则 2 L ds 5 将 2 11 22 00 x dxf xydy 化为极坐标系下的二重积分 6 级数 1 2 1 n n n 是绝对收敛还是条件收敛 7 微分方程 2yx 的通解为 二 选择题选择题 每题 3 分 共 15 分 1 函数 yxfz 的偏导数在点 00 y x 连续是其全微分存在的 条件 A 必要非充分 B 充分 C 充分必要 D 既非充分 也非必要 2 直线 22 110 xyz l 与平面 23xyz 的夹角为 A 6 B 3 C 2 D 4 3 幂级数 2 13 n n n x n 的收敛域为 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 51 页 共 65 页 A 3 3 B 3 3 C 3 3 D 3 3 4 设 yx 是微分方程 xfyxqyxpy 的特解 y x 是方程 yp x y q x y 0 的通解 则下列 是方程 xfyxqyxpy 的通解 A y x B y xyx C yx D yxy x 5 2 z dv 在柱面坐标系下化为三次积分为 其中 为 2222 xyzR 的上半 球体 A 2 2 000 RR drdrz dz B 2 2 000 Rr drdrz dz C 22 2 2 000 RRr ddrz dz D 22 2 2 000 RRr drdrz dz 三 计算下列各题 共三 计算下列各题 共18分 每题分 每题6分 分 1 已知 3 35zxyz 求 y z x z 2 求过点 1 0 2 且平行于平面2 35xyz 的平面方程 3 计算 22 D xydxdy 其中 D 为y x 0y 及 1x 所围的闭区域 四 求解下列各题 共四 求解下列各题 共25分 第分 第1题题 7 7 分分 第第2题题8分 第分 第3题题10分 分 1 计算曲线积分 2 sin L xy dxxy dy 其中 L 为圆周 2 2xxy 上点 0 0 到 1 1 的一段弧 2 利用高斯公式计算曲面积分 xdydzydzdxzdxdy A 其中 是由 22 0 3 1zzxy 所围区域的整个表面的外侧 3 判别下列级数的敛散性 1 2 1 1 ln n n n n n n 3 sin4 2 1 五 求解下列各题 共五 求解下列各题 共21分分 每题每题7分 分 1 求函数 12 3 1 63 232 yyxxyxf 的极值 2 求方程 x dy ye dx 满足 0 1 x y 的特解 3 求方程 yyy65 1 x xe 的通解 高等数学 下 模拟试卷七 一 一 填空题填空题 每空 3 分 共 24 分 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 52 页 共 65 页 1 二元函数 2222 1 25 z xyxy 的定义域为 2 一阶差分方程 1 21 35 tt yy 的通解为 3 y zx 的全微分 dz 4 0ydxxdy 的通解为 5 设x y zarctan 则 z x 6 微分方程 250yyy 的通解为 7 若区域 4 22 yxyxD 则 D dxdy2 8 级数 0 1 2n n 的和 s 二 选择题 择题 每题 3 分 共 15 分 1 yxf 在点 ba 处两个偏导数存在是 yxf 在点 ba 处连续的 条件 A 充分而非必要 B 必要而非充分 C 充分必要 D 既非充分也非必要 2 累次积分 1 00 x dxf x y dy 改变积分次序为 A 11 00 dyf x y dx B 1 00 x dyf x y dx C 2 1 00 y dyf x y dx D 2 11 0 y dyf x y dx 3 下列函数中 是微分方程 3 56 x yyyxe 的特解形式 a b 为常数 A x ebaxy 3 B x ebaxxy 3 C x ebaxxy 32 D x aey 3 4 下列级数中 收敛的级数是 A 112 1 nn B 12 1 n n n C 1 3 2 n n n D 1 1 n n n 5 设 222 4xyzz 则 z x A x z B 2 x z C 2 x z D x z 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 53 页 共 65 页 三 求解下列各题三 求解下列各题 每题 7 分 共 21 分 1 设 2 ln 34 x zuvuvxy y 而 求 y z x z 2 判断级数 1 3 2 n n n n 的收敛性 3 计算 22 xy D edxdy 其中 D 为 22 1xy 所围 区域 四 计算下列各题四 计算下列各题 每题 10 分 共 40 分 1 求微分方程 1 lnyyx x 的通解 2 计算二重积分 D Ixy dxdy 其中D是由直线 1yx x 及x轴围成的平面区域 3 求函数 32 6125f x yyxxy 的极值 4 求幂级数 2 1 4 n n n x n 的收敛域 高等数学 下 模拟试卷一参考答案 一 填空题一 填空题 每空 3 分 共 15 分 1 0 0 x yxyxy 2 22 y xy 3 4 1 0 2 x x dxf x y dy 4 2 5 3 12 xx yC eC e 二 选择题 二 选择题 每空 3 分 共 15 分 1 C2 D3 C4A5 D 三 计算题三 计算题 每题 8 分 共 48 分 1 解 12 1 2 3 1 0 1 2 1 1 Ass 2 12 1013 211 ijk nssijk 6 平面方程为 320 xyz 8 2 解 令 22 uxyvx y 2 2 12 2 zzuzv fyfxy xuxvx 6 得分 阅卷人 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 54 页 共 65 页 2 12 2 zzuzv fxyfx yuyvy 8 3 解 0202Dr 3 22 23223 00 coscos DD x dxdyrdrddr dr 4 8 4 解 22 2 2241 0 22 0 x x x y fx yexyy fx yey 得驻点 1 1 2 4 2222 4484 44 2 xxx xxxyyy Afx yexyyBfx yeyCfx ye 6 22 20 40AeACBe 极小值为 11 1 22 fe 8 5 解 2 23sin y PxyxQxe 有 2 PQ x yx 曲线积分与路径无关 2 积分路线选择 1 0 Lyx 从0 2 Lxy 从0 2 4 12 2 23sin y LLL xyx dxxedyPdxQdyPdxQdy 2 222 00 3sin 27 y xdxedye 8 6 解 11 xx yyePQe xx 2 通解为 11 dxdx P x dxP x dx x xx yeQ x edxCee edxC 4 11 1 xx exdxCxeC xx 6 代入 1 1 x y 得 1C 特解为 1 1 1 x yxe x 8 四 解答题解答题 1 解 2 2 22 xzdydzyzdzdxz dxdyzzz dvzdv A 4 3 cossinrdrd d 6 方法一 原式 22 3 4 000 cossin 2 ddr dr 10 方法二 原式 2 2121 2 000 2 1 2 r r drdrzdzrrdr 10 考试日期 2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学 2 期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 55 页 共 65 页 2 解 1 令 1 1 1 3 n n