广东省东莞市2015年中考数学二模试卷含答案解析

第 1 页（共 25 页） 2015 年广东省东莞市中考数学二模试卷 一选择题：（本题共 10个小题，每小题 3分，共 30分） 1 2 的倒数是（ ） A 2 B 2 C D 2国家提倡 “低碳减排 ”，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为 213000000 度，若将数据 213000000 用科学记数法表示为（ ） A 213106 B 07 C 08 D 09 3气候宜人的省级度假胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为 17、 17、 20、 22、 24（单位： ），这组数据的中位数是（ ） A 24 B 22 C 20 D 17 4如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 5已知一 个正多边形一个外角是 72，则这个正多边形是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 6下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A B C D 2 7下列运算正确的是（ ） A a2a3=（ 4= a4a=（ x+y） 2=x2+第 2 页（共 25 页） 8函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A x 3 B x 3 C x 3 D x 3 9若关于 y 的一元二次方程 7y 7=0 有实根，则 k 的取值范围是（ ） A k B k 且 k0 C k D k 且 k0 10二次函数 y=bx+c（ a0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A函数有最小值 B对称轴是直线 x= C当 x ， y 随 x 的增大而减小 D当 1 x 2 时， y 0 二、填空题：（本题共 6个小题，每小题 4分，共 24分） 11化简：（ ） （ 1） = 12不等式组 的解集是 13如图是一副三角板叠放的示意图，则 = 第 3 页（共 25 页） 14已知 = ，则 = 15如图， C=4，以 直径作半圆，圆心为 O以点 C 为圆心， 半径作弧点 O 作 平行线交两弧于点 D、 E，则阴影部分的面积是 16第一个图形为矩形，依次连矩形各边的中点得到第二个图形（菱形），按照此方法继续下去已知第一个图形的面积为 3，则第 n 个图形的面积为 三、解答题（ 一）（本大题 3小题，每小题 6分，共 18分） 17计算： +| 4|+（ 1） 0（ ） 2 18某市为治理污水，需要铺设一条全长为 600 米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加 20%，结果提前 5 天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？ 19如图，点 D 在 上，且 A （ 1）作 平分线 点 E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （ 2）在（ 1）的条件下，判断直线 直线 位置关系（不要求证明） 第 4 页（共 25 页） 四、解答题（二）（本大题 3小题，每小题 7分，共 21分） 20如图，某船由西向东航行，在点 A 测得小岛 O 在北偏东 60，船航行了 10 海里后到达点 B，这时测得小岛 O 在北偏东 45，船继续航行到点 C 时，测得小岛 O 恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离 21甲、 乙两组数据（单位：厘米）如下表 甲组 173 172 174 172 174 乙组 173 174 172 173 173 （ 1）根据以上数据填表（参考公式： （ ） 2+（ ） 2+（ ） 2） 众数（单位：厘米） 平均数（单位：厘米） 方差（单位：厘米） 甲组 乙组 （ 2）那一组数据比较稳定？ 22在菱形 ，对角线 交于点 O， ， 过 D 点作 延长线于点 E （ 1）求 周长； （ 2）点 P 为线段 的点，连接 延长交 点 Q求证： Q 第 5 页（共 25 页） 五、解答题（三）（本大题 3小题，每小题 9分，共 27分） 23如图，在平面直角坐标系 ，函数 y= （ x 0）的图象与一次函数 y=k 的图象交点为A（ m， 2） （ 1）求一次函数的解析式； （ 2）写出反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围； （ 3）设一次函数 y=k 的图象与 y 轴交于点 B，若 P 是 x 轴上一点，且满足 面积是 4，求 P 的坐标 24已知抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴相交于 A、 B 两点，与 y 轴相交于点 C，且顶点为 D（ 1， 4） （ 1）求 b 和 c 的值； （ 2）如图 ，连接 抛物线的对称轴相交于点 E，点 P 是线段 一动点，作点 P 作 抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m； 用含 m 的代数式表示线段 长，并求当四边形 平行四边形时 m 的值； 设 面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，并求出 s 的最大值 25如图 1，已知 O 为正方形 中心，分别延长 点 F， 点 E，使 E= 结 点 O 逆时针旋转 角得到 F连结 （ 1）如图 2，探究 数量关系，并给予证明； （ 2）如图 3，当 =45， 时，求： 的度数； 长度 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 2015年广东省东莞市中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一选择题：（本题共 10个小题，每小题 3分，共 30分） 1 2 的倒数是（ ） A 2 B 2 C D 【考点】 倒数 【分析】 直接根据倒数的定义进行解答即可 【解答】 解： 2 =1， 2 的倒数是 故选 C 【点评】 本题考查的是倒数的定义，即乘积是 1 的两数互为倒数 2国家提倡 “低碳减排 ”，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为 213000000 度，若将数据 213000000 用科 学记数法表示为（ ） A 213106 B 07 C 08 D 09 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解：将 213000000 用科学记数法表示为 08 故选 C 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示 形式为 a10中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3气候宜人的省级度假胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为 17、 17、 20、 22、 24（单位： ），这组数据的中位数是（ ） 第 8 页（共 25 页） A 24 B 22 C 20 D 17 【考点】 中位数 【分析】 先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可 【解答】 解：把这组数据从小到大排列为： 17、 17、 20、 22、 24， 最中间的数是 20， 则这组数据的中位数是 20； 故选 C 【点评】 此题考查了中位数，中位数 是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键 4如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的概念：如果一个 图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析可以选出答案 【解答】 解： A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故 A 选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形故 B 选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形故 C 选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形故 D 选项错误 故选： C 【点评】 此题主要考查了中心对称图形与轴 对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180 度后与原图形重合 5已知一个正多边形一个外角是 72，则这个正多边形是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 第 9 页（共 25 页） 【考点】 多边形内角与外角 【分析】 正多边形的外角和是 360，这个正多边形的每个外角相等，因而用 360除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数 【解答】 解：这个正多边形的边数： 360 72=5 故选： B 【点评】 本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键 6下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A B C D 2 【考点】 最简二次根式 【分析】 根据最简二次根式是被开方数不含分母，不含能开得尽的因数或因式是最简二次根式，可得答案 【解答】 解： A、被开方数含分母，故 A 不是最简二次根式； B、含分母，故 B 不是最简二次根式，故 B 不是最简二次根式； C、是最简二次根式，故 C 正确； D、含能开方的因数，故 D 不是最简二次根式； 故选： C 【点评】 本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，不含能开得尽的因数或因式是最简二次根式 7下列运算正确的是（ ） A a2a3=（ 4= a4a=（ x+y） 2=x2+考点】 完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【专题】 计算题 【分析】 A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； B、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； C、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断； D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断 【解答】 解： A、 a2a3= A 错误； 第 10 页（共 25 页） B、（ 4= B 错误； C、 a4a= C 正确； D、（ x+y） 2=xy+ D 错误 故选： C 【点评】 此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的 关键 8函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A x 3 B x 3 C x 3 D x 3 【考点】 函数自变量的取值范围 【分析】 根据被开方数大于等于 0 列式进行计算即可得解 【解答】 解：根据题意得， x+30， 解得 x 3 故选 B 【点评】 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数 9若关于 y 的一元二次方程 7y 7=0 有实根，则 k 的取值范围是（ ） A k B k 且 k0 C k D k 且 k0 【考点】 根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】 根据一元二次方程的定义和 的意义可得 k0 且 0，即（ 7） 2 4k（ 7） 0，再解两个不等式，它们的公共部分即为 k 的取值范围 【解答】 解： 关于 y 的一元二次方程 7y 7=0 有实数根， k0 且 0，即（ 7） 2 4k（ 7） 0，解得 k ， k 的取值范围是 k 且 k0 故选 B 【点评】 本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根的判别式 =4 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义 第 11 页（共 25 页） 10二次函数 y=bx+c（ a0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是 （ ） A函数有最小值 B对称轴是直线 x= C当 x ， y 随 x 的增大而减小 D当 1 x 2 时， y 0 【考点】 二次函数的性质 【专题】 压轴题；数形结合 【分析】 根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断 A； 根据图形直接判断 B； 根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断 C； 根据图象，当 1 x 2 时，抛物线落在 x 轴 的下方，则 y 0，从而判断 D 【解答】 解： A、由抛物线的开口向上，可知 a 0，函数有最小值，正确，故 A 选项不符合题意； B、由图象可知，对称轴为 x= ，正确，故 B 选项不符合题意； C、因为 a 0，所以，当 x 时， y 随 x 的增大而减小，正确，故 C 选项不符合题意； D、由图象可知，当 1 x 2 时， y 0，错误，故 D 选项符合题意 故选： D 【点评】 本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形 结合思想解题 二、填空题：（本题共 6个小题，每小题 4分，共 24分） 11化简：（ ） （ 1） = a+3 【考点】 分式的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果 第 12 页（共 25 页） 【解答】 解：原式 = （ a+1）（ a 1） =2a+2 a+1=a+3 故答案为： a+3 【点评】 此题 考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 12不等式组 的解集是 x 6 【考点】 解一元一次不等式组 【分析】 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】 解： ， 由 得， x 3， 由 得， x 6， 故此不等式组的解集为： x 6 故答案为： x 6 【点评】 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 ”的原则 是解答此题的关键 13如图是一副三角板叠放的示意图，则 = 75 【考点】 三角形的外角性质 【分析】 首先根据三角板度数可得： 0， 1=45，再根据角的和差关系可得 2 的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案 【解答】 解： 0， 1=45， 2=90 45=45， =45+30=75， 故答案为： 75 第 13 页（共 25 页） 【点评】 此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 14已知 = ，则 = 【考点】 比例的性质 【分析】 根据比例设 x=3k， y=5k，然后带入比例式进行计算即可得解 【解答】 解： = ， 设 x=3k， y=5k， = = 故答案为： 【点评】 本题考查了比例的性质，利用 “设 k 法 ”求解更简便 15 如图， C=4，以 直径作半圆，圆心为 O以点 C 为圆心， 半径作弧点 O 作 平行线交两弧于点 D、 E，则阴影部分的面积是 2 【考点】 扇形面积的计算；三角形的面积 【专题】 压轴题 【分析】 如图，连接 中 S 阴影 =S 扇形 S 扇形 S 据已知条件易求得 C=，E=4 0， 所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可 【解答】 解：如图，连接 C=4，以 直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心， 半径作弧 0， C=， E=4 第 14 页（共 25 页） 又 0 在直角 ， ， ， 0， 0， S 阴影 =S 扇形 S 扇形 S 22 22 = 2 ， 故答案为： 2 【点评】 本题考查了扇形面积的计算不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算 16第一个图形为矩形，依次连矩形各边的中点得到第二个图形（菱形），按照此方法继续下去已知第一个图形的面积为 3，则第 n 个图形的面积为 （ ） 2n 2 【考点】 中点四边形 【专题】 规律型 【分析】 易得第二个矩形的面积为（ 3） 2，第三个矩形的面积为（ 3） 4，依此类推，第 n 个矩形的面积为（ 3） 2n 2 【解答】 解：已知第一个矩形的面积为 3 第二个矩形的面积为原来的（ 3） 22 2= 32； 第三个矩形的面积 是（ 3） 23 2= 32； 故第 n 个矩形的面积为：（ 3） 2n 2 故答案为：（ ） 2n 2 第 15 页（共 25 页） 【点评】 本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的 三、解答 题（一）（本大题 3小题，每小题 6分，共 18分） 17计算： +| 4|+（ 1） 0（ ） 2 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【专题】 计算题 【分析】 原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果 【解答】 解：原式 =3+4 +1 4 =4 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌 握运算法则是解本题的关键 18某市为治理污水，需要铺设一条全长为 600 米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加 20%，结果提前 5 天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？ 【考点】 分式方程的应用 【分析】 先设原计划每天铺设 x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（ 1+20%） x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间实际的工作时间 =5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答 【解答】 解：设原计划每天铺设 x 米管道，由题意得： =5， 解得： x=20， 经检验： x=20 是原方程的解 答：原计划每天铺设 20 米管道 【点评】 本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答必须严格按照这 5 步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等 19如图，点 D 在 上，且 A 第 16 页（共 25 页） （ 1）作 平分线 点 E（用尺规作图法，保留 作图痕迹，不要求写作法）； （ 2）在（ 1）的条件下，判断直线 直线 位置关系（不要求证明） 【考点】 作图 基本作图；平行线的判定 【专题】 作图题 【分析】 （ 1）根据角平分线基本作图的作法作图即可； （ 2）根据角平分线的性质可得 据三角形内角与外角的性质可得 A= 根据同位角相等两直线平行可得结论 【解答】 解：（ 1）如图所示： （ 2） 分 A， A= A= A= 【点评】 此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行 四、解答题（二）（本大题 3小题，每小题 7分，共 21分） 第 17 页（共 25 页） 20如图，某船由西向东航行，在点 A 测得小岛 O 在北偏东 60，船航行了 10 海里后到达点 B，这时测得小岛 O 在北偏东 45，船继续航行到点 C 时，测得小岛 O 恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离 【考点】 解直角三角形的应用 【专题】 探究型 【分析】 设 OC=x 海里，依题意得， C=x， ，再根据 0 即可得到关于 x 的一元一次方程，求出 x 的值即可 【 解答】 解：设 OC=x 海里，依题意得， C=x， 0，即（ ） x=10， x= =5（ +1）， 答：船与小岛的距离是 5（ +1）海里 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，根据题意得出关于 x 的 一元一次方程是解答此题的关键 21甲、乙两组数据（单位：厘米）如下表 甲组 173 172 174 172 174 乙组 173 174 172 173 173 （ 1）根据以上数据填表（参考公式： （ ） 2+（ ） 2+（ ） 2） 众数（单位：厘米） 平均数（单位：厘米） 方差（单位：厘米） 甲组 172 173 乙组 173 173 （ 2）那一组数据比较稳定？ 【考点】 方差；加权平均数；众数 第 18 页（共 25 页） 【分析】 （ 1）根据众数是出现次数最多的数，平均数是所有数的和除以数的个数，方差： （ x） 2+（ x） 2+（ x） 2进行计算即可； （ 2）方差小的数据稳定 【解答】 解：（ 1）填表如下： 众数（单位：厘米） 平均数（单位：厘米 ） 方差（单位：厘米） 甲组 172 173 组 173 173 2） 乙组数据比较稳定 【点评】 此题主要考查了方差、众数、平均数，关键是掌握方差的定义与意义：一般地设 n 个数据，平均数为 ，则方差 （ ） 2+（ ） 2+（ ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立 22在菱形 ，对角线 交于点 O， ， 过 D 点作 延长线于点 E （ 1）求 周长； （ 2）点 P 为线段 的点，连接 延长交 点 Q求证： Q 【考点】 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质 【专题】 计算 题；证明题 【分析】 （ 1）因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在 利用勾股定理求出 后利用平行四边形的判定及性质就可以求出 周长； （ 2）容易证明 利用它们对应边相等就可以了 【解答】 （ 1）解： 四边形 菱形， C=D=5， D， C=3 =4， ， 第 19 页（共 25 页） 四边形 平行四边形， D=， C=6， 周长是： C+E=8+10+6=24 （ 2）证明： 四边形 菱形， 在 ， Q 【点评】 本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决，也考查了全等三角形的判定及性质 五、解答题（三）（本大题 3小题，每小题 9分，共 27分） 23如图，在平面直角坐标系 ，函数 y= （ x 0）的图象与一次函数 y=k 的图象交点为A（ m， 2） （ 1）求一次函数的解析式； （ 2）写出反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围； （ 3）设一次函数 y=k 的图象与 y 轴交于点 B，若 P 是 x 轴上一点，且满足 面积是 4，求 P 的坐标 第 20 页（共 25 页） 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （ 1）将 A 点坐标代入 y= （ x 0），求出 m 的值为 2，再将（ 2， 2）代入 y=k，求出k 的值，即可得到一次函数的解析式； （ 2）根据图象即可求得； （ 3）将三角形以 x 轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加 【解答】 解：（ 1）将 A（ m， 2）代入 y= （ x 0）得， m=2， 则 A 点坐标为 A（ 2， 2）， 将 A（ 2， 2）代入 y=k 得， 2k k=2， 解得 k=2，则一次函数解析式为 y=2x 2； （ 2） A（ 2， 2）， 根据 图象可知：反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围 0 x 2； （ 3） 一次函数 y=2x 2 与 x 轴的交点为 C（ 1， 0），与 y 轴的交点为 B（ 0， 2）， S 22， 解得 则 P 点坐标为（ 3， 0），（ 1， 0） 第 21 页（共 25 页） 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并 熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键 24已知抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴相交于 A、 B 两点，与 y 轴相交于点 C，且顶点为 D（ 1， 4） （ 1）求 b 和 c 的值； （ 2）如图，连接 抛物线的对称轴相交于点 E，点 P 是线段 一动点，作点 P 作 抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m； 用含 m 的代数式表示线段 长，并求当四边形 平行四边形时 m 的值； 设 面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，并求出 s 的最大值 【考点】 二 次函数综合题 【分析】 （ 1）设出二次函数的顶点式，代入顶点坐标即可求得 b、 c 的值； （ 2） 长就是当 x=m 时，抛物线的值与直线 在一次函数的值的差可先根据 B， C 的坐标求出 在直线的解析式，然后将 m 分别代入直线 抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是 长 根据直线 解析式，可得出 E 点的坐标，根据抛物线的解析式可求出 D 点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出 长，然后让 E，即可求出此时 m 的值 可将三角形 成两部分来求： 一部分是三角形 底边，以 P 的横坐标为高即可得出三角形 面积 第 22 页（共 25 页） 一部分是三角形 底边，以 P、 B 两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形 然后根据三角形 面积 =三角形 面积 +三角形 面积，可求出关