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盈亏问题 风子整理 教育目标 了解 赢 与 亏 的意义 及盈亏问题的特征 学习逻辑推理能力 探索解决盈亏问题的方法 体会数学问题在实际生活中的应用 教育重点 弄清楚 赢 与 亏 与赢亏之间的差的关系 教育难点 用线段图来思考盈亏之间的逻辑关系 概念 盈亏问题 顾名思义有剩余就叫盈 不够分就叫亏 不同的方法分配物品时 经常会产生这种盈亏现象 盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化 分类 直接计算型盈亏问题 条件转换型盈亏问题 关系互换型盈亏问题 第一课基础部分 例1 幼儿园老师给小朋友分糖果 每个小朋友分5颗糖果 就多出22颗糖果 每个小朋友分7颗糖果 就少18颗糖果 有多少个小朋友和多少颗糖果 5颗 人 分析 首先我们要弄清楚 变化的是什么 不变的是什么 这个问题变化的是每个人分到的糖 不变的是人数和糖的总数 22 18 下面我们来分糖 先每人5颗 结果多了18颗糖 如图 22 老师分好糖后 想把多于的糖也分给小朋友 决定每人又再分了7 5 2颗糖 这是老师发现有一部分小朋友没有分到第二次的两颗 于是又拿来一些 又分了18颗糖 很显然 第二次分了40颗糖 每人分2颗 所以 可以知道有几个小朋友 22 18 7 5 20 2 可以找几个小朋友实际试试 例2 一根绳子围着大树绕9圈剩4米 如果围着大数绕10圈又缺1米 那么绕8圈还剩多少米 分析 上面棕色线段表示正好可以绕大树9圈 蓝色线段表示绕完9圈后剩余的线段 后来想了想 估计还能绕 可是实际上差了一点 于是又拿来一根绳子 又用掉了1米 显然 第二次绕的一圈 实际用掉绳子长为 4 1 5米 所以 绳子总的长度为49米 绕8圈则剩下 49 8 5 9米 也可以这样计算绕8圈后剩下的绳子 9 8 4 1 4 9 例3 人民路小学三 四 五年级的同学乘汽车去春游 如果每车坐45人 有10人不能坐车 如果每车多坐5人 又多出一辆车 一共有多少辆汽车 有多少名同学去春游 45 10 分析 先按照每辆车坐45人 画出示意图 每格表示1辆车 车上有45人 最后多出10人 后来一辆车出了故障 不能去了 所以这辆车上的小朋友也不能坐车了 这时 不能坐车的小朋友有 45 10 55人 老师看了下其它车 每车还有5个空位 正好把这些没上车的小朋友装下 这时带小朋友去春游的车有 55 5 11辆 总的车的数量 不要把没装人的那辆忘记 11 1 12 学生的总数量是11辆车每车装了50人 11 45 5 550人 例4 动物园为猴山的猴买来桃 这些桃如果每只猴分5个 还剩32个 如果其中10只小猴每只分4个 其余的猴每只分8个 就恰好分完 问 猴山有猴多少只 共买来多少个桃 分析 这里猴子的数量是不变的 按没猴5只桃子 最后剩32只 10 32 后来觉得大小猴子应该有区别 10只小猴子给4个就够了 于是各收回来一个 这样多出来的桃子有32 10 42个了 多出来的桃子给大猴子 使每只大猴子有8个桃子 也就是第二次每只大猴子又得到了3个桃子 所以 大猴子有 32 10 8 5 14只 所以 猴子数量为 14 10 24只桃子的数量为 5 24 32 152个 例5 学校组织同学乘车去科技馆参观 原计划每车坐30人 还剩下1人 后来又临时增加了100人 汽车却比原来少一辆 这样每辆车要坐36人 还剩5个人 原计划乘坐几辆车 原计划去多少人 分析 这题我们不再画图 而是采用逻辑推理的过程来分析 首先 两次车上的同学数量比较 后一次比前一次多100 1 5 96人 车辆比原来少了一辆 则少的这辆车上的人 也被分配到了其它的车上 所以第二次被分配的人应该是 96 30 126人 第二次分配的方式是在每辆车上再乘6个人 即126按6人分组 能分几组 而每组对应一辆车 126 6 21 不要粗心 问题是原计划乘坐的车辆数 21 1 22辆原计划去的人为 22 30 1 661人 例6 果树专业队上山植果树 所需栽的苹果树苗是梨树苗的2倍 如果梨树苗每人栽3棵 还余2棵 苹果树苗每人栽7棵 则少6颗 问 果树专业队上山植树的有多少人 要栽多少颗苹果树和梨树 分析 这个题目需要关注的是苹果树苗与梨树苗不是等值的 而是存在2倍关系 所以余下的2棵梨树苗应该折算成2 2 4棵苹果树苗 在比较每人的树苗时 也要考虑倍数关系 因为人员是确定值 7 3 2 1 所以相比较梨树苗 每人要多种一颗苹果树 而相对于梨树苗数量 苹果树苗缺口是6 2 2 10 所以 果树专业队上山植树的人 6 2 2 7 3 2 10人要栽的苹果树苗有 10 7 6 64棵要栽的梨树苗有 10 3 2 32棵 第二讲提高篇 1 直接计算型 盈亏问题 关系式 人数或单位数 赢数 亏数 两次分配之差 一般情况下 两次分配的结果 一次分配后有多 即 赢 一次分配后不足 即 亏 如基础部分所讲的案例 都是属于这一类 用下面线段来表示 蓝菊相交点为分配平衡点 蓝线为多余部分 虚线为不足部分 由于单位内的数量不等 经过单位数的累积 导致蓝菊线的出现原因 赢数 亏数 1 直接计算型 盈盈问题 关系式 人数或单位数 赢数 赢数 两次分配之差 有时 两次分配的结果 都出现盈余的情况 实质上 这与盈亏问题没有原则性的区别 盈亏问题中 两者之间的差距部分进行了再分配 而盈盈问题也同样是赢数1与赢数2之间的差距部分进行再分配 赢数1 赢数2 1 直接计算型 盈盈问题 例 老猴子给小猴子分桃 每只小猴分10个桃 就多出9个桃 每只小猴分11个桃则多出2个桃 那么一共有多少只小猴子 老猴子一共有多少只桃子 分析 老侯子两种方式分桃 单位数相差1个 而两次多出来的桃子数相差7个 这是由于每只小猴子多分了1个桃子 导致了剩余的桃子家少了7个 所以 小猴子有 9 2 11 10 7只桃子总数为 7 10 9 79个 1 直接计算型 亏亏问题 关系式 人数或单位数 亏数 亏数 两次分配之差 有时 两次分配的结果 都出现不足的情况 我们称为亏亏问题 实质上 这也与盈亏问题没有原则性的区别 盈亏问题中 两者之间的差距部分进行了再分配 而亏亏问题也同样是亏数1与亏数2之间的差距部分进行再分配 1 直接计算型 亏亏问题 例 学校新进了一批书 将它们分给几位老师 如果每人发10本 还差9本 每人发9本 还差2本 请问有多少老师 多少本书 分析 老师的人数是不变的 所以第一次与第二次相比 不够的数减少了7本 这是由于每个人少发了一本导致的结果 所以 老师的人数为 9 2 10 9 7人书的数量为 7 10 9 61本 2 条件转换型 赢亏问题 例 军队分配宿舍 如果每间住3人 则多出20人 如果每间住6人 余下2人可以每人各住一个房间 现在每间住10人 可以空出多少个房间 分析 所谓条件转换型 即把题目中给定的条件转换为直接可用的条件 本题 每间住6人 余下2人可以每人住一个房间 说明少了10个人 所以 房间数为 2 6 2 20 6 3 10间总人数为 3 10 20 50人那么 每间住10 所需房间为 50 10 5间空房间为 10 5 5间 3 关系互换型 赢亏问题 例 幼儿园将一筐苹果分给小朋友 如果分给大班的小朋友每人3个则余10个苹果 如果分给小班的小朋友每人6个则缺2个苹果 已知大班比小班多5个小朋友 问这筐苹果共有多少个 分析 直接计算的盈亏问题所参与的对象是同一个 而关系互换型中 前后两次参与的对象并不是同一个 但它们之间存在着转换关系 题目中 分别分给了大班和小班 而大班和小班的人数是存在数量上的关系的 即题目条件 分给大班每人3个余10个 可转化为 分给小班每人5个余5 3 10 25 两者存在可比效应 所以 盈亏总数为 25 2 27小班小朋友为 27 6 3 9苹果数量为 9 6 2 52 例 三年级给学生发糖果 如果每个学生发5个还剩32个 如果其中10个学生每人4个 其余每人8个 就恰好发完 那么学生有几人 糖果有多少个 分析 首先分析 两个方案发糖的参与对象是不变的 但条件有所变化 因此要做条件转移 可以把第二个方案转为为 每个学生发8颗 则少40个糖果 这样 两次的盈亏值为 32 40 72学生数为 72 8 5 24人糖果数量为 24 5 32 152个 小白兔和小灰兔各有若干只 如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中 小白兔还多4只 小灰兔恰好放完 如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中 小白兔放完 小灰兔还多12只 问小白兔和小灰兔共有多少只 5 2 3 n m 4 12 分析 按题目给出的信息 画出上图 根据图示 我们得到一个问题 原来小灰兔正好装下 后来为什么多出12只 因为小灰兔总数没变 那只有一个可能 笼子减少了 减少的笼子数量是 12 3 4只 为什么 那么第二个问题出现了 为什么小白兔都能有笼子住呢 因为减少笼子中的和原来没地方住的小白兔被安排