数学经典易错题会诊与高考试题预测3

1 经典易错题会诊与经典易错题会诊与 20122012 届高考试题届高考试题 预测预测 三三 考点考点 3 3 函数函数 2 2 二次函数的图象和性质的应用 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 函数的应用 二次函数闭区间上的最值的问题 三个 二次 的综合问题 含参数的对数函数与不等式的综合问题 经典易错经典易错 会诊会诊 命题角度 1 二次函数的图象和性质的应用二次函数的图象和性质的应用 1 典型例题 已知向量 a x2 x 1 b 1 x t 若函数 f x ab 在区间 1 1 上 是增函数 求 t 的取值范围 考场错解考场错解 依定义 f x x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t 则 f x 3x2 2x t 若 f x 在 1 1 上是增函数 则在 1 1 上恒有 f 0 t 3x2 2x 在区间 1 1 上 恒成立 设 g x 3x2 2x 3 x 3 1 2 3 1 当 x 3 1 时 g x min 3 1 t 3 1 即 t 的取值范围是 3 1 专家把脉专家把脉 上面解答由 t 3x2 2x 在区间 1 1 上恒成立得 t 大于或等于 3x2 2x 的 最小值是错误的 因为若 t g x min只能说存在一个 x 的值能使 t 3x2 2x 成立 但不 能保证 x 在 1 1 上的每一个值都能使 t 3x2 2x 成立 因而 t 应大于或等于 g x 在 1 1 上的最大值 对症下药对症下药 解法 1 依定义 f x x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t 则 f x 3x2 2x t 1 1 上是增函数 则 f x 3x2 2x t 0 在 1 1 上恒成立 即 t 3x2 2x 在 1 1 上恒成立 设 g x 3x2 2x 3 x 3 1 2 3 1 对称轴为 x 3 1 g x 0 即 f x 在 1 1 上是增函数 故 t 的取值范围是 5 2 2 典型例题 已知函数 f x ax 2 3 x2的最大值不大于 6 1 又当 x 2 1 4 1 时 f x 8 1 1 求 a 的值 2 设 0 a1 2 1 an 1 f an n N 证明 an 1 1 n 考场错解考场错解 第 1 问 f x ax 2 3 x2 2 3 x 3 1 a 2 6 2 a 6 2 a 6 1 即 a2 1 1 a 1 又当 x 2 1 4 1 时 f x 8 1 即 f x 8 1 在 2 1 4 1 上恒成立 8 1 f x 在 2 1 4 1 上的 最小值为 f 4 1 f 4 1 8 1 即a a 8 1 32 3 4 8 7 综合 知 8 7 a 1 专家把脉专家把脉 上面解答错在 f x 在 2 1 4 1 的最小值的计算上 由 得 1 a 1 3 a 3 1 3 1 对称轴 x 3 a 离端点 2 1 较远 因此 f x 的最小值应是 f 2 1 而不是 f 4 1 对症下药对症下药 1 由于 f x ax 2 3 x2 2 3 x 2 a 2 6 2 a f x 的最大值为 6 2 a 6 2 a 6 1 即 a2 1 1 a 1 又 x 2 1 4 1 时 f x 8 1 即 f x 8 1 在 2 1 4 1 上恒成立 8 1 f x min 由 得 1 a 1 3 1 a 3 1 f x 在 2 1 4 1 上的最小值为 f 2 1 2 a 8 3 2 a 8 3 解得 a 1 由 得 a 1 2 i 当 n 1 时 0 a1 2 1 不等式 0 an0 x 0 3 2 所以 0 a2 f a1 6 1 3 1 故 n 2 时 不等式也成立 3 假设 n k k 2 时 不等式 0 ak 1 1 k 成立 因为 f x x 2 3 x2的对称轴 x 3 1 知 f x 在 0 3 1 上为增函数 所以 0 ak 1 1 k 3 1 得 0 f ak f 1 1 k 于是有 0 ak 1 2x 的解集为 1 3 1 若方程 f x 6a 0 有两个相等的根 求 f x 的解 2 若 f x 的最大值为正数 求 a 的取值范围 考场错解考场错解 1 设 f x ax2 bx c a 0 f x 2x ax2 b 2 x c 0 的解集 为 1 3 1 3 是方程 ax2 b 2 x c 0 的两根 3 24 331 431 2 ac ab c a a b f x ax2 2 4a x 3a 由方程 f x 6a 0 得 ax2 2 4a x 9a 0 方程 有两个相等的根 2 4a 2 4a 9a 0 即 5a2 4a 1 0 解得 a 1 或 a 5 1 f x 的解析式为 f x x2 6x 9 或 f x 5 1 x2 5 6 x 5 3 2 由 f x ax2 2 4a x 3a a x a a21 2 a aa14 2 可得 f x 的最大值为 a aa14 2 令 a aa14 2 0 a a 2 3 a 2 3 0 解得 0 2 3或 2 3 a 0 故当 f x 的最大值为正数时 实数 a 的取值范围是 2 3 2 3 0 专家把脉专家把脉 上面解答由 f x 2x 0 的解集为 1 3 忽视了隐含条件 a 0 所以 1 应舍去 a 1 另外第 2 问若没有 a 0 这个条件 也不能说 f x 的最大值是 a aa14 2 从而很不容易求得 a 的范围 对症下药对症下药 1 f x 2x 0 的解集为 1 3 f x 2 a x 1 x 3 且 a 0 因而 4 f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 由方程 f x 6a 0 得 ax2 2 4a x 9a 0 因为方程 有两个相等的根 2 4a 2 4a 9a 0 即 5a2 4a 1 0 解得 a 1 或 a 5 1 由于 a 0 舍去 a 1 将 a 5 1 代入 得 f x 的解析式为 f x 5 1 x2 5 6 x 5 3 2 由 f x ax2 2 1 2a x 3a a x 2 21a 2 a aa14 2 及 a 0 可得 f x 的最大值为 a aa14 2 由 0 0 14 2 a a aa 解得 a 2 3或 2 3 af 0 f 2 B f 2 f 2 0 C f 0 f 2 f 2 D f 2 f 0 f 2 答案 B 解析 由 f 1 x f x 得 f x 的对称轴 x 2 1 b 1 f 2 2 c f 2 6 c f 0 c f 2 f 2 f 0 2 若函数 y x2 2x 3 在闭区间 0 m 上有最大值为 3 最小值为 2 则 m 的取值范围是 答案 1 2 解析 y x 1 2 2 是以直线 x 1 为对称轴开口向上 其最小值为 2 的抛物 线 又 f 0 3 结合图象易得 2 m 1 m 的取值范围是 1 2 3 设函数 f x ax2 bx 1 1 b R 1 若 f 1 0 则对任意实数均有 f x 0 成立 求 f x 的表达式 答案 解析 1 f 1 0 a b 1 0 b a 1 又 对任意实数均有 f x 0 成立 5 2 1 04 1 0 04 0 22 b a aa a ab a f x x2 2x 1 2 在 1 的条件下 当 x 2 2 时 g x xf x kx 是单调递增 求实数 k 的 取值范围 答案 g x xf x kx x x2 2x 1 kx x3 2x2 1 k x g x 3x2 4x 1 k 0 在 2 2 上恒成立 g x 在 2 2 上的最小值 g x 3 1 0 3 2 k 4 已知二次函数 f x lga x2 2x 4lga 的最大值为 3 求 a 的值 答案 解析 原函数式可化为 f x lgaa aa xlg4 lg 1 lg 1 2 由已知 f x 有最大值 3 lga 0 并且 3 lg4 lg 1 a a 整理得 4 lga 2 3lga 1 0 解得 lga 1 lga 10 10004 10 4 1 lg 0 lg 4 1 4 1 aaa故取 命题角度 2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用指数函数与对数函数的图象和性质的应用 1 典型例题 函数 y e lnx x 1 的图像大致是 考场错解考场错解 选 A 或 B 或 C 专家把脉专家把脉 选 A 主要是化简函数 y e lnx x 1 不注意分 x 1 和 x 1 两种情况 讨论 选 B 主要是化简时错误地认为当 x 1 时 e lnx x 1 x 1 选 C 主要时当 x 1 时化简错误 对症下药对症下药 D f x e lnx x 1 1 1 1 1 1 x x x x 作出其图像即可 2 典型例题 在 y 2x y log2x y x2 y cos2x 这四个函数中 当 0 x1 x2 2 21 xfxf 恒成立的函数的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 考场错解考场错解 C 专家把脉专家把脉 对四个函数图像不熟悉导致错误 由题设条件知 F x 在 0 1 上是凸函 数 认为 y log2x 和 y cos2x 在 0 1 上是凸函数 其实 y cos2x 在 0 4 是凸函数 在 4 1 是凹函数 6 对症下药对症下药 B 根据条件 当 0 x1 x2 2 21 xfxf 恒成立知 f x 在 0 1 上是凸函数 因此只有 y log2x 适合 y 2x和 y x2在 0 1 上是函数 y cos2x 在 0 4 是凸函数 但在 4 1 是凹函数 故选 B 3 典型例题 若函数 f x loga 2x2 x a 0 且 a 1 在区间 0 2 1 内恒有 f x 0 则 f x 的单调递增区间为 A 4 1 B 4 1 C 0 D 2 1 考场错解考场错解 选 A 或 C 专家把脉专家把脉 选 A 求 f x 的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误 选 C 求复 合函数的单调区间时没有注意内 外层函数均递减时 原函数才是增函数 事实上 0 是 f x 的递减区间 对症下药对症下药 D f x loga 2x2 x a 0 且 a 1 在区间 0 2 1 内恒有 f x 0 若 a 1 则由 f x 0 x 2 1 或 x 1 与题设矛盾 0 a 0 x 0 或 x0 1 求函数 y f x 的反函数 y f 1 x 及 f x 的导数 f x 2 假设对任意 x ln 3a ln 4a 不等式 m f 1 x lnf x lna f x ln ex a ae e x x 2 由 m f 1 x ln f x 0 得 ln ae e x x ln ex a m ln ex a ln ae e x x 在 ln 3a ln 4a 上恒成立 设 h x ln ex a ln ae e x x S x ln ae e x x ln ex a 即 m h x mni 且 m S x max S x h x ln ex a ln 1 x e a 在 ln 3a ln 4a 上是增函数 h x min ln 2a ln 3 4 ln 3 8 a S x max ln 3a ln 4 5 ln 5 12 a 7 ln 5 12 a mlna f x ae e x x 2 解法 1 由 m f 1 x ln f x 0 得 ln ae e x x ln ex a m ln ex a ln 即 对于 x ln 3a ln 4a 恒有 ae aee x xx em x x e ae 22 设 t ex u t at att v t t at 22 于是不等式 化为 u t em v t t 3a 4a 当 t10 u t v t 在 3a 4a 上是增函数 因此 当 t 3a 4a 时 u t 的最大值为 u 4a 5 12 a v t 的最小值为 v 3a 3 8 a 而不等式 成立 当且仅当 u 4a em v 3a 即 5 12 a em 3 8 a 于是 得 ln 5 12 a m ln 5 8 a 解法 2 由 m f 1 x ln f x 0 得 ln ex a ln ex a x m ln ex a ln ex a x 设 x ln ex a ln ex a x r x ln ex a ln ex a x 于是原不等式对于 x ln 3a ln 4a 恒成立等价于 x m r x 由 x ae e ae e x x x x 1 ae e ae e xr x x x x 1 注意到 0 ex a ex0 r x 0 从而可知 x 与 r x 均在 ln 3a h 4a 上单调递增 因此不等式 成立 当且仅当 ln 4a m r ln 3a 即 ln 5 12 a m ln 3 8 a 专家会诊专家会诊 论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时 首先要弄清复合函数的构成 然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决 注意不可忽视定义域 忽视指数和对数的 底数对它们的图像和性质起的作用 考场思维训练考场思维训练 8 1 已知函数 f x e2 1 ex e2 x x 1 其中 e 为自然对数的底数 则 A f 1 2 1 f 1 2 3 B f 1 2 1 f 1 2 3 C f 1 2 3 f 1 2 D f 1 2 3 f 1 2 答案 D 解析 f x 2 2 3 1 1 1 0 1 2 1 111 2 Dffxf xfettex e e e e x x x 选上是减函数在 性相同在各自的定义域上单调由于反函数的两个函数上是减函数且在则上是减函数则令 2 已知 f x ax loga x 1 在 0 1 上的最大值与最小值之和为 a 则 a 的值为 A 4 1 B 2 1 C 2 D 4 答案 B 解析 f x ax loga x 1 是单调递增 减 函数 y ax与 y loga x 1 单 调性相同 且在 0 1 的最值分别在端点处取得 最值之和 f 0 f 1 ao loga1 log22 2 loga2 1 0 a 2 1 选 B 3 对于 0 a 1 给出下列四个不等式 loga 1 a loga 1 a 1 loga 1 a loga 1 a 1 a1 a a a 1 1 其中成立的是 A 与 B 与 C 与 D 与 答案 D 解析 1 1 log 1 log log 1 11 1 1 10 1 11 a a aa xx a aa a aayy a a a aa 均为减函数与而 选 D 4已知函数 f x loga a 1 2 x 1 在区间 1 2 上恒为正 求实数 a 的取值范围 答案 在区间 1 2 上使 f x 0 恒成立 解析 1 当 a 1 时 只要 1 1 2 1 x a 即 2 1 02 1 2 1 0 2 1 a a xx a 与 1 矛盾 9 2 当 0 a 1 时 设 g x 1 2 1 x a 只要 0 g x 1 a 2 1 时 g x 1f x 0 不能使 f x 恒为正 当 0 a 2 1 时 2 1 01 2 1 1 0 1 02 1 矛盾与解得只要是增函数 aa g g xg a 当 3 2 2 1 3 2 2 1 1 1 0 2 0 2 1 1 2 1 aa g g xg a a综上所述解得只要是减函数时 命题角度 3 函数的应用函数的应用 1 典型例题 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为 L1 5 06x 0 15x2 和 L2 2x 其中 x 为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售 15 辆车 则能获得的最大利润为 A 45 606 B 45 6 C 46 8 D 46 806 考场错解考场错解 D 设甲地销售 x 轴 则乙地销售 15 x 辆 总利润 L L1 L2 5 06x 0 15x2 2 15 x 0 15x2 3 06x 30 O 15 x 5 51 2 46 806 当 x 5 51 时 获得最大利润 46 806 万元 故选 D 专家把脉专家把脉 上面解答中 x 5 51 不为整数 在实际问题中是不可能的 因此 x 应根据 抛物线取与 x 5 51 接近的整数才符合题意 对症下药对症下药 B 设甲地销售 x 辆 则乙地销售 15 x 辆 则总利润 L L1 L2 5 06x 0 15x2 2 15 x 0 15x2 3 06x 30 0 15 x 10 2 2 46 806 根据二次函数图像和 x N 当 x 10 时 获得最大利润 L 0 15 102 3 06 10 30 45 6 万元 选 B 2 甲方是一农场 乙方是一工厂 由于乙方生产须占用甲方的资源 因此甲方有权向 乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入 在乙方不赔付甲方的情况下 乙方的年利润 x 元 与年产量 t 吨 满足函数关系 x 2000t 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 S 元 以下称 S 为赔付价格 1 将乙方的年利润 W 元 表示为年产量 t 吨 的函数 并求出乙方获得最大利润的年 产量 2 甲方每年受乙方生产影响的经济损失余额 y 0 002t2 在乙方按照获得最大利润的 产量进行生产的前提下 甲方要在索赔中获得最大净收入 应向乙方要求的赔付价格 S 是 多少 考场错解考场错解 1 因为赔付价格为 S 元 吨 所以乙方的实际利润为 W 2000t 10 St 2000 St S 2000 t S 2 2 2000 tt 10003S 当且仅当t 2000 t 即 t 106 吨 时 W 取得最大值 2 设甲方净收入为 v 元 则 v St 0 002t2 将 t 106代入上式 v 106S 1012 0 002 106 S 2 103 v 在 0 上是增函数 即 S 越大 v 越大 故甲方要在索赔中获得最大净收入 应向乙方要求的赔付价格 S 是任意大的数字 专家把脉专家把脉 上面解答主要在第 1 问求 w 的最值时 变形出了错误 即由 w 2000t St St 2000 t 正确的变形为 w 2000t St St S 2000 t 这一步出错导致后面 结果都是错误的 对症下药对症下药 1 解法 1 因为赔付价格为 S 元 吨 所以乙方的实际年利润为 W 2000 St W 2000t St St S 2000 t S 2 2000 2 t S t S 1000 2当且仅当t S 2000 t即 t S 1000 2时 W 取得最大值 乙方取得最大年利润的年产量 t S 1000 2吨 解法 2 因为赔付价格为 S 元 吨 所以乙方的实际年利润为 W 2000t St W 2000t St S t S 1000 2 S 2 1000 当 t S 1000 2时 w 取得最大值 乙方取得最大年利润的年产量 t S 1000 2 吨 解法 3 因为赔付价格为 S 元 吨 所以乙方的实际年利润为 w 2000t St 由 w t 1000 S t tS 1000 令 w 0 得 t t0 S 1000 2 当 t0 当 t t0时 w 0 所以 t t0时 w 取得最大值 因此乙方取得最大年利润的年产量 t0 S 1000 2吨 1 设甲方净收入为 v 元 则 v St 0 002t2 将 t S 1000 2代入上式 得到甲方净收入 v 与赔付价格 S 之间的函数关系式 11 v S 2 1000 4 3 10002 S 又 v 5 32 5 3 2 3 8000 1000100081000 S S SS 令 v 0 得 S 20 当 S0 当 S 20 时 v 0 S 20 时 v 取得最大值 因此甲方向乙方要求赔付价格 S 20 元 吨 时 获得最大净收入 3 典型例题 某段城铁线路上依次有 A B C 三站 AB 5km BC 3km 在列车运行时刻 表上 规定列车 8 时整从 A 站发车 8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟 8 时 12 分到达 C 站 在实际运行时 假设列车从 A 站正点发车 在 B 站停留 1 分钟 并在行驶时以同一速度 vkm h 匀速行驶 列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列 车在该站的运行误差 1 分别写出列车在 B C 两站的运行误差 2 若要求列车在 B C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟 求 v 的取值范围 考场错解考场错解 1 列车在 B C 两站的运行误差 单位 分钟 分别是 v 5 7 和 v 8 11 2 由于列车在 B C 两站的误差之和不超过 2 分钟 所以 v 5 7 v 8 11 2 当 0 v 7 5 时 式变形为 v 5 y v 8 11 2 解得 20 13 v 7 5 当 7 5 v 11 8 时 式变形为 7 v 5 v 8 11 2 解得 7 5 v 11 8 当 v 11 8 时 式变形为 7 v 5 11 v 8 2 解得 11 8 v 16 13 综上所述 v 的取值范围 20 13 16 13 专家把脉专家把脉 上述解答错在单位不统一 应将速度 v km h 化为 v 60km 分 由于 一开始出现错误 导致后面结果全是错误的 对症下药对症下药 1 列车在 B C 两站的运行误差 单位 分钟 分别是 v 300 7 和 v 480 11 2 由于列车在 B C 两站的误差之和不超过 2 分钟 v 300 7 v 480 11 2 当 0 v 7 300 时 式变形为 v 300 7 v 480 11 2 12 解得 39 v 7 300 当 7 300 v 11 480 式变形为 7 v 300 v 480 11 2 解得 7 300 11 480 时 式变形为 7 v 300 11 v 480 2 解得 11 480 v 4 195 综上所述 v 的取值范围是 39 4 195 4 典型例题 某人在一山坡 P 处观看对面山崖顶上 的一座铁塔 如图所示 塔及所在的山崖可视为图中的竖 直线 OC 塔高 BC 80 米 山高 OB 220 米 OA 200 米 图中所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上 l 与水 平地面的夹角为 tan 2 1 试问 此人距山崖的水 平距离多远时 观看塔的视角 BPC 最大 不计此人的身高 考场错解考场错解 如图所示 建立平面直角坐标系 则 A 200 0 B 0 220 C 0 300 直线 l 的方程为 y x 200 tan 即 y 2 200 x 设此人距山崖的水平距离为 x 则 P x 2 200 x x 200 由经过两点的直线的斜率 公式 kPC x x 300 2 200 2 800 x x kPB x x 2 640 由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得 tan BPC 640160288 64 2 640 2 800 1 2 160 1 2 xx x x x x x x kk kk PCPB PCPB 设 u 200 640160288 64 2 x xx x ux2 288u 64 x 160 640u 0 u 0 x R 288u 64 2 4 160 640u2 0 解得 u 2 当 u 2 时 x 320 即此人距山崖 320 米时 观看铁塔的视 角 BPC 最大 13 专家把脉专家把脉 上述解答过程中利用 x R 由判别式法求 u 的最大值是错误的 因为 x 200 即由判别式求得 u 的最大值 还必须检验方程 的根在 200 内 对症下药对症下药 如图所示 建立平面直角坐标系 则 A 200 0 B 0 220 C 0 300 直线 l 的方程为 y x 200 tan 即 y 2 200 x 设此人距山崖的水平距离为 x 则 P x 2 200 x x 200 由经过两点的直线的斜率 公式 kPC x x x x 2 800 300 2 200 kPB x x x x 2 640 220 2 200 由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得 tan BPC x x x x x kk kk PCPB PCPB 2 640 2 800 1 2 1 200 288 640160 64 640160288 64 2 x x x xx x 要使 tan BPC 达到最大 只须 x 288 640160 x 达到最小 由均值不等式 x 288 640160 x 2288640160 当且仅当 x x 640160 时上式取得等号 故当 x 320 时 tan BPC 最大 由此实际问题知 0 BPC5 时 f x 12 0 25x 12 1 255 时 12 0 25x 0 5 x 48 综合得 0 1 x 48 即生产量在 10 件到 4800 件不亏本 专家会诊专家会诊 与函数有关的应用题经常涉及到物价 路程 产值 环保 税收 市场信息等实际问 题 也可涉及角度 面积 体积 造价的最优化问题 解答这类问题的关键是建立相关函 数的解析式 然后应用函数知识加以解决 在求得数学模型的解后应回到实际问题中去 看 是否符合实际问题 考场思维训练考场思维训练 1 把长为 12cm 的细铁丝截成两段 各自围成一个正三角形 那么这两个正三角形面 15 积之和的最小值是 A 3 2 3 cm2 B 4cm2 C 32cm2 D 23cm2 答案 D 解析 S 3236 18 3 6 36 6 18 3 7212 36 32 60sin 3 12 2 1 60sin 3 2 1 min 22 2 2 Sxxxx xx 时 2 将一张 2mx6m 的硬钢板按图纸的要求进行操作 沿线裁去阴影部分 把剩余部分按 要求焊接成一个有盖的长方体水箱 其中 与 与 分别是 全等的矩形 且 设水箱的高为 xm 容积为 ym3 1 求 y 关于 x 的函数关系式 答案 依题意 长方体水箱长 22 3 2 26 xmmxmx x 高为宽为 故水箱容积 y 3 x 2 2x x 又 0 1 0022 03 x xx x y 关于 x 的函数关系式为 y 2x 1 x 3 x 0 x0 当 1 3 74 时 xy 3 74 0取最大值时当yx 因此把水箱的高设计成m 3 74 时 水箱装的水最多 3 典型例题 某租赁公司拥有汽车 100 辆 当每辆车的月租金为 3000 元时 可全部 租出 当每辆车的月租金每增加 50 元时 未租出的车将会增加一辆 租出的车每辆每月需 要维护费 150 元 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元 1 当每辆车的月租金定为 3600 元时 能租出多少辆车 答案 当每辆车的月租金定为 3600 元时 未租出车辆数为 12 50 30003600 所以 这时租出了 88 辆车 2 当每辆车的月租金定为多少元时 租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少 16 答案 设每辆车的月租金定为 x 元 则租赁公司的月收益为 f x 307050 4050 50 1 21000162 50 50 50 3000 150 50 3000 100 2 2 xx xx x x xf 所以 当 x 4050 时 f x 最大 最大值为 f 4050 307050 即当每辆车的月租金定为 4050 元时 租赁公司的月收益最大 最大月收益为 307050 4 某车间有工人 30 人 现有生产任务 加工 A 型零件 100 个 B 型零件 50 个 在单 位时间内 每个工人若加工 A 型零件能完成 10 个 若加工 B 型零件能完成 7 个 问这 30 名工人应如何分组 才能使任务完成得最快 答案 解 设加工 A 型零件的一组工人数为 x 则加工 B 型零件的另一组工人数为 30 x 由题意加工 100 个 A 型零件所需的时间为 p x 10 100 x 加工 50 个 B 型零件所需的时间为 30 7 50 x xq 令 p x q x 2 1 17 307 50 10 100 x xx 解得 当 x xpxq 时 2 1 当 0 xq x 当 0 xq x 3018 30 7 50 171 10 x x x x xy 考虑到人数必须是整数 分别考虑 p 17 和 q 18 p 17 595 0 127 50 18 588 0 1710 100 q 即 p 17 0 之间表示的是一条河流 河流的一侧河 17 岸 x 轴 是一条公路 公路上的公交车站 P x 0 随时都有公交车来往 家住 A 0 a 的某 学生在位于公路上 B 2a 0 处的学校就读 每天早晨学生都要从家出发 可以先乘船渡河 到达公路上公交车站 再乘公交车去学校 或者直接乘船渡河到达公路上 B 2a 0 处的学 校 已知船速为 v0 v0 0 车速为 2v0 水流速度忽略不计 设该学生从家出发 先乘船渡河到达公路上的站 P x 0 再乘公交车去学校 请 用 x 来表示他所用的时间 t 答案 设该学生从家出发 先乘船渡河到达公路上的车站 P x 0 再乘公交车去学校 则 他所用的时间 t f x 20 2 2 22 ax u xa u xa o o 若 2 a x a 请问该学生选择哪种上学方式更加节约时间 并说明理由 取 2 1 414 5 2 236 答案 若该学生选择先乘船渡河到达公路上的车站 p x 0 再乘公交车去学校 则他所用 的时间为 4 3 2 2 2 2 2 2 0 2222 oooo u a u a a u aa u xa u xa xft 直接乘船渡河到达公路上 B 2a 0 处的学校所用的时间 5 2 22 oo u a u aa aft 因为 oo u a u a 5 4 3 2 所以该学生选择先乘船再坐公交车上学更加节约时间 答 该同这选择先乘船再坐公交车上学更加节约时间 探究开放题预测探究开放题预测 预测角度 1 二次函数闭区间上的最值的问题二次函数闭区间上的最值的问题 1 已知函数 f x ax2 2a 1 x 1 在 2 3 2 上的最大值为 3 求实数 a 的值 解题思路解题思路 根据 f x 的最大值可能产生在抛物线段的端点或顶点处 分别令 f 2 3 3 f 2 3 和 f 2 21 a a 3 再一一检验后决定取舍 a 的值 解答解答 f x a x a a 2 12 2 1 a a 4 12 2 1 令 f a a 2 12 f x max 3 3 1 2 1 2 1 3 4 12 1 2 2 xxfa a a 有 2 1 2 2 3 2舍去 a 18 2 令 f 2 3 f x max 3 a 2 3 有 f x 3 2 2 3 3 2 4 7 24 73 4 7 3 2 2 符合题意最大 afx 3 令 f 2 3 1 2 1 2 1 2 xxfa有 f x max f 2 3 符合题意 综上 a 2 3 或 a 2 1 2 已知 f x 是定义域为 R 的奇函数 当 x 0 时 f x 2x x2 1 求 f x 的解析式 2 是否存在实数 a b a b 使 f x 在 a b 上的值域为 ab 1 1 若存在 求 a 和 b 若不存在 说明理由 解题思路解题思路 1 运用奇函数性质可求出 f x 在 x 0 上的解析式 2 利用已知 a b ab 1 1 得 a b 的符号 再运用二次函数在区间上的单调性列出 a b 的方程组可 解得 a b 的值 解答解答 1 设 x 0 则 x 0 由当 x 0 时 f x 2x x2且 f x 为奇函数 得 f x 2x x2 f x f x 2x x2 2x x2 f x 0 2 0 2 2 2 xxx xxx 2 0 00 1111 ab ab ab ba ba ba ab ba 由 0 a b f 2x x2 x 1 2 1 1 又 f x 在 a b 上值域为 ab 1 1 a 1 1 即 a 1 即 1 a b 而 f x x 1 2 1 在 1 b 上为减函数 因此 b bb a aa b bf a af 1 2 1 2 1 1 2 2 由可 知 a b 为方程 2x x2 x 1 的两根 将此方程化为 x3 2x2 1 0 x3 x2 x2 1 0 x 1 x2 x 1 0 x1 1 x2 2 51 x3 2 51 舍 a 1 b 2 51 19 若 a b 0 f x 2x x2 x 1 2 1 1 又 f x 为 a b 上值域为 ab 1 1 b 1 1 即 b 1 即 a b 1 而 f x x 1 2 1 在 a 1 上为减函数 因此 b bb a aa b b f aa f 1 2 1 2 1 1 1 22 及由可知 a b 为方程 2x x2 x 1 的两根 将此方程化为 x3 2x2 1 0 x 1 x2 x 1 0 x1 1 x2 2 51 x3 2 51 舍 a 2 51 b 1 综合 知存在实数 a b 使 f x 在 a b 上的值域为 ab 1 1 有 a 1 b 2 51 或 a 1 或 b 2 51 3 已知二次函数 f x ax2 bx c 和一次函数 g x bx 其中 a b c R 且满足 a b c f 1 0 1 证明 函数 f x 与 g x 的图像交于不同的两点 A B 2 若函数 F x f x g x 在 2 3 上的最小值为 9 最大值为 21 试求 a b 的值 3 求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1的长的取值范围 解题思路解题思路 1 证 0 2 利用二次函数的单调性求解 3 将 A1B1 的长度表示为 a c 的函数 利用二次函数数闭区间上的最值求解 解答解答 1 由 g x bx 与 f x ax2 bx c 得 ax2 2bx c 0 f 1 a b c 0 a b c a 0 c 0 从而 b2 4ac 0 即函数 f x 与 g x 的图像交于不同 的两点 2 c a b a b c 即 a c a b 得 2a b a b b c b a c 得 a a c c a c 2 2 1 设 A1B1 2 h a c 4 2 1 a c 2 4 3 的对称轴为 x 2 1 h a c 在 a c 2 2 1 上是减函数 A1B1 2 3 12 得 A1B1 32 3 预测角度 2 三个三个 二次二次 的综合问题的综合问题 1 已知二次函数 f x ax2 bx 1 a b R 且 a 0 设方程 f x x 的两个实根为 x1和 x2 1 如果 x1 2 x2 1 2 如果 x1 2 x2 x1 2 求 b 的取值范围 解题思路解题思路 1 由二次函数的图像找出方程 f x x 的两根 x1 x2满足 x1 2 x2 4 的充 要条件 从而求出 x0 a b 2 的范围即可 2 由 x1 x2 a 1 0 知 x1 x2同号 故对较小根 x1 分 0 x1 2 和 2 x10 由 x1 2 x2 4 得 g 2 0 即 aa b a aaaaba ba ba 4 1 1 28 3 2 8 1 2 2 1 4 4 3 2 2 1 4 4 3 03416 0124 得由故 x0 1 8 1 4 1 1 2 a b 2 由 g x ax2 b 1 x 1 0 知 x1x2 a 1 0 x1 x2同号 若 0 x12 g 2 4a 2b 1 0 又 x2 x1 a a b4 1 2 2 4 得 2a 1 1 1 2 b a 0 负根舍去 代 入上式得 21 1 2 b 3 2b 解得 b 4 1 若 2 x1 0 则 x2 2 x1 2 g 2 0 即 4a 2b 3 4 7 故 b 的取值范围是 4 1 4 7 2 设二次函数 f x ax2 bx c a b c R a 0 满足条件 当 x R f x 4 f 2 x 且 f x x 当 x 0 2 时 f x 2 2 1 x f x 在 R 上的最小值为 0 21 1 求 f x 的表达式 2 求最大的 m m 1 使得存在 t R 只要 x 就有 f x t x 恒成立 解题思路解题思路 1 本小题是利用二次函数的概念 性质求出其解析式 2 本小题涉及到 两个参变量 t 与 m 的讨论 可利用二次不等式在闭区间上恒成立的解题思路求解 解答解答 1 方法一 因为 f x 4 f 2 x 所以函数 f x 的图像关于 x 1 对称 所 以 a b 2 1 b 2a 由条件 x 1 时 丁 y 0 得 a b c 0 由 得 f 1 1 由条件 得 f 1 1 所以 f 1 1 即 a b c 1 即 a b c 1 1 2 1 4 1 0 2 cba bcacba ab 解得 f x 4 1 2 1 4 1 2 xx 方法二 f x 4 f 2 x x R 函数 f x 的图像的对称轴为 x 1 由条件 f x 在 R 上的最小值为 0 可知 函数 f x 的图像是开口向上 顶点位于点 1 0 的抛物线 故不妨设 f x a x 1 2 a 0 由条件 f x x x R 当 x 1 时 f 1 1 由条件 f x 2 2 1 x x 0 2 当 x 1 时 有 f 1 1 f 1 1 从而 a 4 1 2 1 4 1 1 4 1 4 1 22 xxxxf 方法三 同解法 1 可判断 f x 图像的对称轴为 x 1 且 f 1 0 b 2a a b c 0 即 b 2a c a 故 f x ax2 2ax a 由条件 f x x 对一切 x R 恒成立 即 ax2 2a 1 x a 0 x R 恒成立 4 1 04 12 0 22 a aa a 由条件 f x 2 2 1 x x 0 2 令 a 4 1 x2 2a 2 1 x a 4 1 由上 a 4 1 0 2 F 0 0 F 0 4 1 4 1 aa 有故 4 1 2 1 4 1 4 1 2 xxxfa 2 方法一 假设存在 t 只要 x 1 m 就有 f x t x 即 f x t x 0 x2 2 t 1 x t 1 2 0 对一切 x 1 m 恒成立 不妨设 G x x2 2 t 1 x t 1 2 则对 x 1 m 都有 G x 0 22 故 0 1 22 04 0 G 0 1 G 22 mtmt t m 设 h t t2 2 2m t m 1 2即在区间 4 0 上存在实数 t 使 h t 0 成立 由图像 得 h 4 0 10 当 x 2 时 有 f x 2 当 x 1 时 f x 最大值为 2 求 f x 的解析式 解题思路解题思路 1 利用 0 证明 2 用反证法证明 3 借助二次函数图像进行分类 讨论 4 利用不等式性质推出 2 f 0 2 得 f 0 2 再借助最值可求得 a b c 值 解答解答 1 f x 的图像与 y x 是公共点 2b 1 2 16ac 4b2 16bc 1 4b 0 同理由 f x 的图像与 y x 公共点得 4b2 16ac 1 4b2 区间 2 2 在对称轴 x a b 的左侧式右侧 f x 在 2 2 上是单调函数 23 f x max 4 b 3 2 f x min 4 b 2 1 也是不可能的 a b 2 3 f x a x a 4 2 3 a 16 a 0 f x max 3 a 16 当 3 a 16 5 即 8 a 0 此时 0 M a a 4 M a 是方程 ax2 8x 3 5 的较大根 M a 2 15 22 4 224 4 2 8648 aa a a 2 1 2 15 因此当且仅当 a 8 时 M a 取最大值 2 15 4 f x 2ax 2b a 0 f x max 2a 2b 2 a b 1 2 f 0 4c 4a 4b 4c 4 a b f 2 4 2 4 2 4c 2 c 2 1 又 f x 2 f x 2 f 0 f x 在 x 0 处取到最小值且 0 2 2 0 2 2 a b b 0 从而 a 1 f x x2 2 预测角度 3 含参数的对数函数与不等式的综合问题含参数的对数函数与不等式的综合问题 1 已知函数 f x log2 x 1 当点 x y 在 y f x 图像上运动时 点 P 2 1 tx 2y 在函数 y g x 的图像上运动 1 求 y g x 的解析式 2 当 t 4 且 x 0 1 时 求 g x f x 的最小值 3 若在 x 0 1 时恒有 g x f x 成立 求 t 的取值范围 解题思路解题思路 1 用相关点法 2 设 F x g x f x 用基本不等式可求得 F x 的最小 值 3 先由 g x f x 转化为一元二次不等式在 x 0 1 上恒成立 然后利用二次函数 图像和性质可求得参数 t 的取值范围 24 解答解答 1 令 x 2 1 tx y 2y 点 x y 在 y g x 图像上 则 2 2 12 y y y txx log2 2x t 即 y 2log2 2x t g x 2log2 2x t 2 当 t 4 时 g x 2log2 2x 4 F x g x f x 2log2 2x 4 log2 x 1 log2 1 42 2 x x log2 4 x 1 1 4 x 8 4 当且仅当 4 x 1 1 4 x 时 即 x 0 时 f x min 4 3 由 g x f x 即 2log2 2x t log2 x 1 在 x 0 1 时恒成立 即 x 4x2 4 t 1 x t2 1 0 在 0 1 上恒成立 即 1 1 1 8 14 0 8 14 0 0 0 0 8 14 ttt 或或即 1 t 8 17 或 t 8 17 综合 得 t 1 即满足条件 t 的取值范围是 1 2 设函数 f x ax 3a a 0 且 a 1 的反函数为 y f 1 x 已知函数 y g x 的图像与 函数 y f 1 x 的图像关于点 a 0 对称 1 求函数 y g x 的解析式 2 是否存在实数 a 使当 x a 2 a 3 时 恒有 f 1 x g x 1 成立 若存在 求出 a 的取值范围 若不存在 说明理由 解题思路解题思路 1 先求反函数 f 1 x 再用相关点法可求得 y g x 的解析式 2 可将原 不等式转化为一元二次不等式在 a 2 a 3 上恒成立 利用二次函数图像和性质可判断是 否存在实数 a 解答解答 由 f x ax 3a 易得 f 1 x loga x 3a 由题设的点对称可得 g a x f 1 a x 0 则 g x loga x a x3a 又 x a 2 a 3 应有 a 2 3a 0 a2a 函数 h x x2 4ax 3a2在 a 2 a 3 上为增函数 函数 H x loga x2 4ax 3a2 在 a 2 a 3 上为减函数 从而 H x max H a 2 loga 4 4a H x min H a 3 loga 9 6a 于是目标不等式等价于 25 a a a a a 1 44 log 69 log 10 解得 0 a 12 579 综上可知 存在实数 a 0 12 579 可使当 x a 2 a 3 时 恒有 f 1 x g x 1 成立 考点高分解题综合训练考点高分解题综合训练 1 若不等式 3x2 logax 0 的解集为 x 0 x 3 1 的非空子集 则实数 a 的取值范围 是 A 27 1 1 B 27 1 1 C 0 27 1 D 0 27 1 答案 A 解析