第十二届“华罗庚金杯”决赛试卷(四年级)

1 第十二届全国第十二届全国 华罗庚金杯华罗庚金杯 数学邀请赛数学邀请赛 决赛试卷 四年级组 决赛试卷 四年级组 时间 时间 2007 年年 4 月月 21 日日 10 00 11 30 一 填空题 每秒题填空题 每秒题 10 分 共分 共 80 分 分 1 7 9 11 13 2009 2011 积的个位数是 2 哈理波特有一本 120 页的魔法书 非常可惜被姨妈撕掉了一页 现在所剩的 页码之和为 7197 哈理波特的魔法书被撕掉的这一页的页码为 3 如图 不含 的正方形有 个 4 标有一号 二号 三号的三个盒子里面各有若干个黑色的小球 如果第一次 从一号盒子里面拿 20 个小球放到二号盒子里面 第二次又从二号盒子里拿 15 个小球放到三号盒子里 最后再从三号盒子里拿出 20 个小球放到一号盒 子里 这时三个盒子里面的小球都是 60 个 一号 二号 三号盒子里面原来 各有小球 个 5 大 小两个杯子都未装满水 如果将小杯子的部分水倒入大杯子 并将大水 杯倒满 则小杯子还剩水 30 克 如果将大杯子中的部分水倒入小水杯将其倒 满 则大杯子还剩水 90 克 已知大杯子容积是小杯子的 2 倍 两杯子原来共 装水 克 6 A B 两地之间的道路分上坡和下坡两种路段 共 70 千米 兰兰上坡速度 为 5 千米 时 下坡速度为 7 千米 时 去时用了 10 5 小时 则返回时用 小时 7 三年级一班有学生 42 人 其中参加美术班的同学有 39 人 参加体操班的同 学有 34 人 参加游泳班的同学有 30 人 参加奥数班的同学有 37 人 那么 这个班至少有 个学生这四种班都参加 8 一个自然数 n 各位数字之和是 400 要使 n 最小 n 应当是 位数 它的首位数字应当是 学校学校 姓名姓名 考号考号 学号 装 订 线 线 亲订 2 二 解答题 每题 解答题 每题 10 分 共分 共 40 分 要求写出解答过程 分 要求写出解答过程 9 清明节 三年一班与三年二班同学各排成一路纵队去扫幕 如果两路纵队同 时同方向齐头行进 行 6 分钟后 一班队伍超过二班队伍 一班队伍每分钟 行 60 米 二班队伍每分钟行 50 米 如果这两路纵队 队尾相齐同时同方向 行进则 5 分钟后 一班队伍超过二班队伍 如果一 二两班队伍的前后两人 都相距 1 米 求一 二两班各有多少人 10 宽 18 厘米 长未知的同样大小的长方形小纸 片拼成如右图所示的图形 求阴影部分的面 积 11 果篮里有苹果 香蕉 梨 桔子 桃五种水果若干个 每个人可以从中任 取两个 那么最少需要多少个人才能保证至少有 2 人选的水果是完全相同 的 12 蜘蛛有八只脚 蜻蜓有六只脚和两对翅膀 苍蝇有六只脚一对翅膀 现有 三种昆虫共 21 只 共有 146 只脚和 16 对翅膀 则 蜘蛛 蜻蜓和苍蝇各有 装 订 线 线 亲订 3 多少只 第十二届全国第十二届全国 华罗庚金杯华罗庚金杯 少年数学邀请赛少年数学邀请赛 决赛试题参考答案 四年级组 决赛试题参考答案 四年级组 一 填空 每题一 填空 每题 10 分 共分 共 80 分 分 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 531 32 4160 55 6 5 100 13 5 14 45 4 注 注 2 题每空题每空 5 分 分 4 题前两空各题前两空各 3 分 第三个空分 第三个空 4 分 分 1 8 题参考答案提示 题参考答案提示 1 答 5 解 乘式中的乘数全部都是奇数 而且其中有个位数是 5 的乘数 因为奇数与奇数的积 是奇数 奇数与 5 的积的个位数是 5 所以整个乘式的积的个位数是 5 2 答 31 和 32 解 哈理波特的魔法书原来共有 120 页 原来的页码之和为 1 2 3 120 1 120 120 2 7260 被撕掉的这一页的两面页码之和为 7260 7197 63 因为 一页书上的页码是两个连续的整数 所以 被撕掉的这一页书的页码是 31 和 32 3 答 41 解 图中一共有正方形 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 55 个 其中含 的正方形共有 1 4 4 4 1 14 个 所以不含 的正方形共有 55 14 41 个 4 答 60 55 65 解 用倒推法 列表如下 一号盒子二号盒子三号盒子 最 后606060 前一次60 20 406060 20 80 再前一次4060 15 7580 15 65 原来40 20 6075 20 5565 5 答 100 解 1 如果从小杯倒入部分水将大杯倒满 则小杯还剩水 30 克 说明水的总量是大 杯总容量加 30 克 2 如果大杯水倒出部分将小杯装满 则大杯还剩水 60 克 说明水的总量是小杯总 4 容量加 60 克 由 1 2 两个条件我们可知 大杯总容量比小杯总容量多 60 20 40 克 又 因为大杯总容量是小杯的 2 倍 可知多的 40 克就是小杯子对应的 1 倍 由此可得小杯的总容量是 60 20 40 克 两水杯共有水 40 60 100 克 6 答 13 5 解 因为来回两次的上坡路和下坡路的总和相等 即为一个全程 70 千米 所以来回总计用时 70 5 70 7 24 小时 返回用时 24 10 5 13 5 小时 7 答 14 解 把全班学生分两类 一类 至少有一种班不参加 包括四个班都不参加的 二类 四种班都参加的人 要使四种班都参加人最少 则至少有一种班不参加人最多 由此可知 不参加美 术班 不参加体操班 不参加游泳班 不参加奥数班的学生不能重叠 所以 四种班都参加的人 全班人数 至少有一种班不参加的人 即 42 42 39 42 34 42 30 42 37 14 人 8 答 45 4 解 400 9 44 4 这个数可表示为 944 9999993 个 二 解答题 每题二 解答题 每题 10 分 共分 共 40 分 要求写出解题过程 分 要求写出解题过程 9 解 1 当队首相齐时 快队超过慢队 比慢队多行距离是一个快队伍的队长 即 一班队长 快队 60 50 6 60 米 3 分 2 当队尾相齐 快队超过慢队 要比慢队多行的距离正好是一个慢队的队伍长 即 二班队长 慢队 60 50 5 50 米 3 分 3 又因为每列队伍中前后两人都相距 1 米 所以 一班有人数 60 1 61 人 2 分 二班有人数 50 1 51 人 2 分 10 解 仔细观察 可以发现 阴影部分是 3 个相同的小正方形 其边长是长方形的长与 宽的差 而从 AB 这条线段可以看出 5 条长 3 条长 3 条宽 可见 3 条宽 2 条长 3 分 根据宽 12 厘米 可推算出长是 18 3 2 27 厘米 3 分 平方厘米 4 分 2433 827 2 阴 S 11 答 16 5 解 在这五种水果中任取两个 有以下几种情况 1 苹果 苹果 2 香蕉 香蕉 3 梨 梨 4 桔子 桔子 5 桃 桃 6 苹果 香蕉 7 苹果 梨 8 苹果 桔子 9 苹果 桃 10 香蕉 梨 11 香蕉 桔子 12 香蕉 桃 13 梨 桔子 14 梨 桃 15 桔子 桃 共 15 种 5 分 作最不利打算 这十五种情况有十五个同学来拿 这样 已经有 15 个同学了 若再来一个 同学 无论他选哪种拿法 也只能是这十五种的任意一种 即 会和前 15 个人之中的一个 人的拿法相同 即 最少需要 16 个同学才能保证至少有 2 人选的水果完全相同 5 分 12 答 10 5 6 解 蜻蜓和苍蝇都有六只脚 可把它们看作一种动物 先求蜘蛛