北师大版初二上-证明(一)讲义.doc

第七章：证明（一）7.1为什么要证明1推理证明的必要性 给出两条线段a，b，判断它们是否相等，我们就需要去测量，因为有误差，所以测量的结果可能相等，也可能不相等，这说明测量所得出的结论也不一定正确 实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，但仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，必须一步一步、有根有据地进行推理谈重点 证明的必要性(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质【例1】 观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？2检验数学结论常用的方法 (1)检验数学结论常用的方法主要有：实验验证、举出反例、推理证明实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验猜想归纳结论推理正确结论 (2)应用检验数学结论常用的三种方法的应用：实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举出反例法多用于验证某结论是不正确的；推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的【例21】 我们知道：224,224.试问：对于任意数a与b，是否一定有结论abab?【例22】 如图，在ABCD中，DFAC于点F，BEAC于点E，试问DF与BE的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由3推理的应用推理的应用在数学中很多，下面给出两种较常见的应用：(1)规律探究给出形式上相同的一些代数式或几何图形，观察、猜想其中蕴含的规律，并验证或推理说明这是规律归纳类题目的特点解题思路：解决此类题目时，要用从特殊到一般的思想找到思路，而且必须善于猜想代数规律题一般用式子表示其规律，对于几何规律题有时用式子表示，有时写出文字结论(2)推理在日常生活中的应用生活中我们经常需要对有关结论的真伪作出判断，如购买货物、称重是否准确、获得的某种信息是否可靠等我们可以根据自己的知识储备或借助外力，进行适当的推理，辨别真伪，从而作出判断【例31】 下列图案均由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_【例32】 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”已知中只有一句是真的，那么苹果在哪个箱子里？7.2定义与命题1定义 对某些名称或术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是对名称和术语下定义谈重点 下定义的注意事项在定义中，必须揭示出事物与其他事物的本质属性的区别定义的双重性：定义本身既可以当性质用，又可以当判定用语句必须通顺、严格、准确，一般不能用“大约”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的词语要有利于人们对被定义的事物或名词与其他事物或名词区别【例1】 下列语句，属于定义的是()A两点之间线段最短B连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线C三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半D三人行则必有我师焉2命题(1)定义：判断一件事情的句子，叫做命题(2)命题的组成结构：每个命题都是由条件和结论两部分组成条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项命题一般写成“如果那么”的形式“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论有些命题没有写成“如果那么”的形式，条件和结论不明显对于这样的命题，要经过分析才能找到条件和结论，也可以将它们改写成“如果那么”的形式命题的条件部分，有时也可用“已知”或“若”等形式表述命题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述谈重点 改写命题命题的改写不能是简单地加上“如果”“那么”，而应当使改写的命题和原来的命题内容不变，且语句通顺完整，命题的条件、结论要清楚可见有些命题条件和结论不一定只有一个，要注意区分【例2】 指出下列命题的条件和结论：平行于同一直线的两条直线互相平行；若ab1，则a与b互为倒数；同角的余角相等；矩形的四个角都是直角分析：命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项命题一般写成“如果，那么”的形式“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论解：条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行 条件：ab1，结论：a与b互为倒数 条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等 条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角点技巧 分清条件和结论“若则”形式的命题中“若”后面是条件，“则”后面是结论3公理、定理、证明(1)公理公认的真命题称为公理公理是不需推理论证的真命题公理可以作为推理论证定理及其他命题真假的依据常用的几个公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行两条平行线被第三条直线所截，同位角相等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等全等三角形的对应边相等、对应角相等其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理(2)定理有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理定理可以作为推理论证其他命题的依据(3)证明推理的过程叫证明推理必须做到步步有据，条条有理【例3】 下列说法正确的是()A真命题都可以作为定理 B公理不需要证明C定理不一定都要证明 D证明只能根据定义、公理进行4命题及真假命题的判断(1)命题的判断判断一个句子是否为命题，要根据命题的定义命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断，即具有明确的判断性如果一个句子对某一件事情没有作出任何判断，那么它就不是命题命题并不是数学所独有，凡是判断某一件事情的正确或错误的语句都是命题命题是陈述语句，其他形式的句子，如：疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题如：“你爱好什么运动？”没有作出判断，这不是命题注意：错误的判断也是命题，不能以正确与否来判断是否为命题(2)真假命题的判断命题是一个判断，这个判断可能正确，也可能错误因此可以将命题分为真命题和假命题正确的命题称为真命题不正确的命题称为假命题真命题、假命题的判断与比较：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据公理和定理证明谈重点 判断真假命题的方法如果题设成立，结论也一定成立，那么这样的命题为真命题；如果题设成立，但结论不成立，这样的命题为假命题【例41】 下列句子中是命题的有_(填序号)直角三角形中的两个锐角互余正数都小于0.如果12180，那么1与2互补太阳不是行星对顶角相等吗？作一个角等于已知角【例42】 下列命题中，真命题是()A若ab0，则a0，b0B若ab0，则a0，b0C若ab0，则a0，且b0D若ab0，则a0，或b0【例43】 已知下列命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形；等腰梯形的对角线相等；对角线互相垂直的四边形是菱形；内错角相等其中假命题有_(填序号)5命题的组合 命题是由条件和结论组成的，当条件成立，结论也成立时，该命题即为真命题命题的组成就是通过选择一定的条件，使结论成立，即组成真命题组合新的命题是考察命题的概念及有关知识的重要题型该题型常见于对几何的考查，一般是给出几个单独的论断，根据有关知识内容结合图形重新组合写出正确的命题命题的条件和结论往往不是固定的，要使所组合的命题是正确的，要求必须理解掌握有关的知识内容点评：命题组合时，条件可能不止一个，注意两个条件的情况组合命题一般是几何中的某一图形的性质或者判定 【例51】 如图，在ABD和ACE中，有下列四个论断：ABAC；ADAE；BC；BDCE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题_(用序号的形式写出)【例52】 对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：ab；bc；ab；ac；ac.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：_(用序号表示)7.3平行线的判定1平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单记为：同位角相等，两直线平行如图，推理符号表示为：12，ABCD.谈重点 同位角相等，两直线平行平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”(2)平行公理的推论：垂直于同一条直线的两条直线平行若ab，cb，则ac；平行于同一条直线的两条直线平行若ab，cb，则ac.【例1】 工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量EGB和GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了请问：EGB和GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？2平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单记为：同旁内角互补，两直线平行符号表示：如下图，23180，ABCD.谈重点 同旁内角互补，两直线平行定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简单记为：内错角相等，两直线平行符号表示：如上图，24，ABCD.【例21】 如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据_，两直线平行【例22】 如图，下列说法中，正确的是()A因为AD180，所以ADBC B因为CD180，所以ABCDC因为AD180，所以ABCD D因为AC180，所以ABCD3平行线的判断方法 平行线的判定方法主要有以下六种：(1)平行线的定义(一般很少用)(2)同位角相等，两直线平行(3)同旁内角互补，两直线平行(4)内错角相等，两直线平行(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行析规律 如何选择判定两直线平行的方法在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补【例3】 如图，直线a，b与直线c相交，形成1，2，8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：_，使ab.4平行线判定的应用 (1)平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行(2)平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题常见的条件探索题就是其应用之一探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握释疑点 判定平行的关键判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系 【例41】 如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角ABC120，BCD60，这个零件合格吗？_(填“合格”或“不合格”) 【例42】 已知：如图在四边形ABCD中，AD，BC，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由7.4平行线的性质1平行线的性质公理 平行线的性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简记为：两直线平行，同位角相等如图，推理符号表示为：ABCD，12.谈重点 两直线平行，同位角相等两直线平行的性质公理是推理论证后面两个性质定理的基础；“同位角相等”是在“两直线平行”的前提下才成立的，是平行线特有的性质要避免一提同位角就以为其相等的错误；两直线平行的性质公理与两直线平行的判定公理的条件与结论是互逆的其中判定公理是在已知同位角相等(数量关系)的前提下推理论证两直线的平行位置关系，是由角到线的推理过程；而两直线平行的性质公理是在已知两直线平行的前提下推理论证同位角相等的数量关系，是由线到角的推理过程【例1】 如图，ABCD，CE平分ACD，若125，那么2的度数是_2平行线的性质定理(1)性质定理1两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简单记为：两直线平行，同旁内角互补符号表示：ABCD，23180.(2)性质定理2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简单记为：两直线平行，内错角相等符号表示：ABCD，24.点评：平行线的性质定理是在平行线性质公理的基础上推理得出的；从平行线得到角相等或互补的关系；内错角相等或同旁内角互补的前提条件是“两条直线平行”要避免出现一提内错角就相等或一提同旁内角就互补的错误【例21】 某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中ABCD，EAB45，则FDC的度数是()A30B45C60D75【例22】 如图，直线AB，CD相交于点E，DFAB.若AEC100，则D等于()A70B80C90D1003证明的步骤(1)证明的一般步骤：理解题意；根据题意正确画出图形；结合图形，写出“已知”和“求证”；分析题意，探索证明的思路；依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善(2)证明的思路：可以从求证出发向已知追溯，也可以由已知向结论探索，还可以从已知和结论两个方向同时出发，互相接近点评：对于用文字叙述的命题的证明，要先分清命题的条件和结论，然后根据题意画出图形，写出已知和求证，证明即可4借助辅助线构造平行线在有平行线的条件下，证明两个角相等或求某个角，当这两个角不是两条平行线所截得的同位角、同旁内角或内错角时，往往要利用其他的角，转化为平行线所截的角但有些题目中某些条件所对应的图形没有或不完整，这时就需要通过添加辅助线去构造某些“基本图形”，再由图形联想相关性质，从而确定方法，达到解题的目的释疑点 平行线判定与性质的应用以平行为条件的求值或证明角相等的问题中，关键要分析出哪对角相等(或互补)，再进行转化，从而求出结论中的角或完成证明【例3】 证明“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”分析：本题是文字证明题根据文字证明的一般步骤，先根据题意画出两条直线a，b都与直线c垂直，根据已知和图形写出本题的已知和求证，已知是直线ac，bc，求证是ab.证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法，证明同位角相等就可以然后写出证明过程解：已知：如图，直线a，b被直线c所截，且ac，bc.求证：ab.证明：ac，bc(已知)，190，290(垂直的定义)12(等量代换)ab(同位角相等，两直线平行)点技巧 文字证明题的步骤文字证明题的已知和求证要结合图形来写，因此在分析题意时，要确定应该画什么图形书写证明过程时，要注重格式，注意推理的条理性，每一步都要有理有据【例4】 如图，ABCD，若ABE120，C35，则BEC_.5平行线性质与判定的综合应用(1)平行线的性质与判定的区别平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反性质是由条件“平行”得到结论“角的关系”；判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”具体为：在判定中，把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提角相等或互补是已知，结论是两直线平行判定则是由“角相等或互补”推理论证“两直线平行”在性质中，两直线平行是条件，结论是角相等或互补性质是用来说明两个角相等或互补的，即由“两直线平行”推理论证“角相等或互补”释疑点 平行线的性质与判定要分清在书写证明过程中，填写推理的根据或者理由时，要注意性质与判定的区别，防止填错(2)平行线性质的应用平行线的应用包括生活中的实际应用和综合应用实际应用要挖掘题目中隐含的平行线，利用平行线的性质来解决和角有关的计算问题而综合应用主要是综合运用平行线的性质和判定来求角的度数或证明，要注意与图形的结合(数形结合)和角的转换如求方位角和机器零件的角度问题就是实际应用比较多的问题解决时，确定平行线是关键 【例51】 如图，已知：ADBC，AC，求证：ABCD.【例52】 如图1，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48.甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西_7.5三角形内角和定理1三角形内角和定理 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180.符号表示：ABC中，ABC180.变式：A180BC.谈重点 三角形内角和解读(1)三角形内角和等于180是三角形的一个重要性质与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180；(2)三角形内角和等于180是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余【例11】 在一个三角形中，下列说法错误的是()A可以有一个锐角和一个钝角 B可以有两个锐角C可以有一个锐角和一个直角 D可以有两个钝角【例12】 已知一个三角形三个内角度数的比是156，则其最大内角的度数为()A60 B75 C90 D1202三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角如图所示，ACD和BCE是ABC的两个外角，而DCE不是三角形的外角(2)三角形外角的特征三角形的外角特征：顶点是三角形的一个顶点；外角的一边是三角形的边；外角的另一条边是三角形某条边的延长线(3)三角形外角的实质是一个内角的邻补角，两个角的和等于180.如上图中，ACBACD180.【例2】 如图所示，1为三角形的外角的是() 3三角形内角和定理的证法在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题这些在原来的图形上添加的线叫辅助线辅助线通常画成虚线证明三角形内角和定理的基本思路：想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角如图和图.(2)构造同旁内角：如图，过C点作CMAB，利用ABC与BCM是同旁内角可证4三角形内角和定理的运用(1)利用定理求角的度数或证明生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质(2)利用定理判断三角形的形状根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；若有三个角相等，则可判定为等边三角形；若有特殊角90和两个45，则为等腰直角三角形若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形【例3】 如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理？【例41】 若一个三角形三个内角度数的比为234，那么这个三角形是()A直角三角形B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形【例42】 ABC中，若BAC，则ABC是_三角形【例43】 如图，已知ABC中，B65，C45，AD是BC边上的高，AE是BAC的平分线，求DAE的度数5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明(1)三角形内角和定理的推论1推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和如图，符号表示：ACDAB.谈重点 三角形的外角推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用；该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系(2)三角形内角和定理的推论2推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角符号表示：ACDA或ACDB.析规律 灵活使用三角形的外角三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角；利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上 【例51】 如图，ABC中，A70，B60，点D在BC的延长线上，则ACD等于()A100 B120 C130 D150【例52】 如图，1，2，3的大小关系为()A213B132 C321D123【例53】 如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中等于_解析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质由外角的性质可得，453015.6三角形内角和定理的实际应用三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件析规律 灵活运用三角形的内角和“三角形的内角和为180”是隐含条件，在实际应用中必不可少；在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数；折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算【例61】 如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A100，B40，则这块三角形木板另外一个角的度数为_ 【例62】 如图，D是AB边上的中点，将ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，若B50，则BDF_.7.辅助线与角的转化应用(1)辅助线与角的转化有关三角形角度的计算与比较，常常利用添加不同辅助线的方法，把大角转化为小角，或者把不规则图形转化为规则图形等，从而利用相关性质进行解题在证明角度不等的问题中，常用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一性质，当角不在同一个三角形中时，可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解析规律 辅助线的作法辅助线的添加有很多种方法，基本方法是延长法和连接法在本节中主要是构造三角形，利用“三角形内角和定理及其推论”解决角的问题(2)等腰三角形中内、外角的转换对于等腰三角形，当不知