2012-2013高代第二学期期中试卷答案VIP

第 1 页 共 5 页 北北 京京 交交 通通 大大 学学 2012 2013 学年第二学期学年第二学期 高等代数高等代数 II 期中考试试卷期中考试试卷 参考答案及评分标准 一 填空题 本题满分一 填空题 本题满分 3030 分 共分 共 1010 道小题 每道小题道小题 每道小题 3 3 分 分 1 已知 R3的两组基 I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 321 II 0 1 1 1 1 0 1 0 1 321 那么由 I 到 II 的过渡矩阵为 011 110 101 2 在中 已知 是 22 P 01 00 1 A 00 01 2 A 00 10 3 A 10 00 4 A 的基 那么 在该基下的坐标为 5 3 2 4 22 P 45 23 A 3 设是方程组解空间 是方程组的 1 W0 4321 xxxx 2 W 0 0 4321 4321 xxxx xxxx 解空间 那么 是方程组 的解空间 1 W 2 W 0 0 0 3321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 4 设 则 3 3 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 21 LWLW 21 dimWW 5 设 都是 V 的子空间 且 为直和 那么 0 1 W 2 W 1 W 2 W 21 dimWW 第 2 页 共 5 页 6 设线性变换 A 在基的矩阵为 线性变换 B 在基下的矩阵为 21 10 11 12 那么 A B 在基下的矩阵为 11 01 21 20 02 7 设 3 阶矩阵 A 的特征为 1 2 3 那么 A 1的特征值为 1 1 2 1 3 8 设 A 与矩阵 B 相似 那么的值分别是 0 1 x10 100 001 100 00 001 y yx 9 设 A A X AX 是 P3上的线性变换 那么 A 的零度 0 211 121 112 10 在 P x 3中 定义 D 那么 D 的特征值为 0 xfxf 二 判断题 本题满分二 判断题 本题满分 2020 分 共分 共 1010 道小题 每道小题道小题 每道小题 2 2 分 分 11 一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间 错 12 实数域上的全体几级可逆矩阵做成的子空间 错 Rn nn P 13 齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数 对 14 线性空间 V 中任意两个子空间的并集仍是 V 的子空间 错 15 在子空间的和 中 如果 且这种表示形式唯一 1 W 2 W 0 221121 ww 那么 为直和 对 1 W 2 W 16 设是 V 中固定非零向量 A 那么 A 是 V 上的线性变 V 换 错 17 设 V P V 是 V 上的全体线性变换组成的空间 那么 V 的维数 22 LL 4 错 18 两个矩阵 A B 有相同的特征值 则 A 与 B 相似 错 19 设线性变换 A 在给定基下的矩阵为 A 那么 A 的值域的维数等于 A 的秩 第 3 页 共 5 页 对 20 线性变换 A 的核与值域的交是 A 的不变子空间 对 三三 6 6 分分 设 PaaaxaxaaxP oo 21 2 213 1 证明 1 是的基 并求由该基到基的过渡矩阵 1 1 2 xx 3 xP1 2 xx 2 求在基 1 下的坐标 2 1 xxxf 1 1 2 xx 解 1 若 a b x 1 c x2 1 0 则 a b c bx cx2 0 从而 a b c 0 这样 1 线性无关 从而是的基 它到基的过渡矩阵为1 1 2 xx 3 xP1 2 xx 3 分 001 010 111 2 设 a b x 1 c x2 1 f x 则易得 a 3 b 1 c 1 从而坐标为 3 1 1 3 分 四四 12 分分 在 P2x2上定义线性变换 AXX 11 11 1 求 A 在基下的矩阵 22211211 EEEE 2 求 A 的核和它的零度 3 求 A 的值域和 A 的秩 解解 1 A 22211211 EEEE 01 01 10 10 01 01 10 10 4 分 22211211 EEEE 1010 0101 1010 0101 2 A 的核为 X AX 0 a b P 故它的零度为 2 8 分 ba ba 第 4 页 共 5 页 3 A 的值域为 L L 01 01 10 10 01 01 10 10 01 01 10 10 故它的秩为 2 12 分 五五 12 分分 设 101 020 101 A 1 求A的全部特征值 2 求A的属于每个特征值的特征向量 3 求一个可逆矩阵X 使X 1AX为对角形 解解 1 特征多项式为 E A 2 2 所以特征值为 0 2 二重 4 分 2 2 得 0 0 0 101 000 101 3 2 1 x x x 1 0 1 0 1 0 3 2 1 x x x 所以属于 2 的全部特征值为 s t s t 不同时为 0 0 1 0 1 0 1 0 得 0 0 0 101 020 101 3 2 1 x x x 1 0 1 3 2 1 x x x 所以属于 0 的全部特征值为k k 不等于 0 8 分 1 0 1 3 令令 X 则 X 1AX diag 2 2 0 12分 110 001 110 六六 6 分分 设是n维线性空间 A 是上的线性变换 为 A 的不同特征值 VV 第 5 页 共 5 页 1 证明特征子空间是 A 子空间 V 2 证明的维数 的维数 的维数 VV V V 证明证明 1 任取 V 中一个向量 则 A V 所以 V 为 A 的不变子空 间 3 分 2 V 则 A 因为 所以 0 所以 V 0 所以 V V 的维数 的维数 的维数 3 分 VV V V 七七 6 分分 已知向量 a1 a2 an b1 b2 bn 试求矩阵 A T 的全部特征 值 解解 如 n 1 则 A 为 1 阶矩阵 从其特征值为 a1b1 1 分 以下设 n 1 则易见 A 的各行成比例 故 A 0 所以 0 必为 A 的一个特征值 3 分 注意到 A 的秩最多为 1 若 A 的秩为 0 则 A 只有一个特征值为 0 4 分 若 A 的秩为 1 则对应于 0 的特征值子空间的维数为 n 1 5 分 因此 A 还有一个不同于 0 的特征值 由于 A 的迹等于其特征值之和 所以 A 的另一特征值为 a1b1 a2b2 anbn 6 分 八八 8 8 分分 设的解空间 是 的解空间 证明 0 1 2 AXWAA是 2 W0 XEA n PWW 21 证明证明 设设 k 为为 A 的任一特征值 则存在特征向量 使得 A k 1 分 从而 A2 kA k2 因为 A2 A 所以 k k2 3 分 由于 为特征向量 必有 k k2 所以 k 1 或 0 4 分 而属于 0 的特征向量构成的子空间恰为