刚体力学基础详解ppt课件.ppt

5 1刚体运动的基本概念 一 刚体RigidBody 特殊的质点系 理想化模型 形状和体积不变化 在力作用下 组成刚体的所有质点间的距离始终保持不变 二 自由度DegreesofFreedom 确定物体的位置所需要的独立坐标数 物体的自由度数 s O i 1 x y z O x y z i 3 i 2 x y z O i 3 2 1 6 当刚体受到某些限制 自由度减少 三 刚体的基本运动形式 1 平动 刚体运动时 若在刚体内所作的任一条直线都始终 保持和自身平行 刚体平动TranslationalMotionofSolidBodies 平动的特点 1 各质点的运动轨迹相同 2 刚体的平动 质点运动 2 刚体的转动RotationalMotionofSolidBodies 运动中各质元均做圆周运动 且各圆心都在同一条固定的直线 转轴 上 运动中刚体上只有一点固定不动 整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动 如陀螺的运动 刚体不受任何限制的的任意运动称为刚体的一般运动 它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加 绕通过基点O的瞬时轴的定轴转动 随基点O 可任选 的平动 质点运动 本章主要讨论 3 一般运动 定轴转动 定点转动 组成刚体的各质点都绕同一直线做圆周运动 刚体转动 转轴 转轴固定不动 定轴转动 转动平面 z O P 一 刚体定轴转动的角量 P 运动方程 逆时针 顺时针 角位移是代数量 Q 1 角位移 角位移 时间内的角位移 时间内的角位移 5 2刚体绕定轴转动运动学 2 角速度 大小 P 与相同 逆时针 顺时针 与相反 角速度的方向与转动方向成右手关系 矢量式 转速 n 单位时间内转过的圈数 方向 3 角加速度 大小 减速 加速 矢量式 刚体匀变速转动时 为常量 与质点的匀变速直线运动公式对应 二 角量与线量的关系 1 位移与角位移的关系 O P Q 2 速度与角速度的关系 大小 方向 满足右手螺旋法则 3 加速度与角加速度和角速度的关系 切向加速度 法向加速度 逆时针加速转动 方向 沿圆轨道的切向 矢量形式 方向 矢量形式 沿圆轨道的法向 加速度 5 3力矩刚体绕定轴转动定律 一 力对轴的矩Torqueaboutaparticularfixedaxis 力F对z轴的力矩 A 矢量形式 1 力矩取决于力的大小 方向和作用点 2 在刚体的定轴转动中 力矩只有两个指向可用代数值进行计算 说明 3 对于定轴转动的刚体 若刚体受两个以上力矩的作用 则刚体所受合力矩等于各个分力矩的代数和 即 例如 T T R T T r R 4 力对点的力矩 O 力对定轴的力矩 力对任意点的力矩 在通过该点的任一轴上的投影 等于该力对该轴的力矩 同样 动量对任意点的动量矩及对通过该点的任一轴上的动量矩的关系于此相同 二 质点系内力的力矩 1 质点系受力对参考点O的力矩 质点系的内力不产生力矩 2 质点系受力对定轴的力矩 例 质量为m 长为l的棒在桌面上绕z轴转动 棒与桌面间的滑动摩擦系数为 解 元摩擦力dF相对z轴的元力矩的大小 摩擦力相对z轴的力矩 求 摩擦力相对z轴力矩的大小 l m x z dx 质点的质量 元摩擦力 方向 刚体的转动定律 作用在刚体上所有的外力对定轴z轴的力矩的代数和 刚体对z轴的转动惯量 1 M正比于 力矩越大 刚体的 越大 2 力矩相同 若转动惯量不同 产生的角加速度不同 二 刚体对定轴的转动定律TheRotationalformofNewton ssecondlawaboutaparticularfixedaxis 实验证明 当M为零时 则刚体保持静止或匀速转动 当存在M时 与M成正比 3 与牛顿定律比较 推论 在国际单位中 理论推证 O 取一质量元 切线方向 对固定轴的力矩 对所有质元 合内力矩 0 合外力矩M 刚体的转动惯量J 三 转动惯量RotationalInertia 质量不连续分布 质量连续分布 计算转动惯量的三个要素 1 总质量 2 质量分布 3 转轴的位置 1 J与刚体的总质量有关 例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 L z O x dm M 2 J与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 dl O m R O m r dr R x dx O L x dx M z L O x dx M 四 平行轴定理TheParallel AxisTheorem z L C M z z 3 J与转轴的位置有关 1 平行轴定理 刚体绕任意轴的转动惯量 刚体绕通过质心的轴 两轴间垂直距离 1 飞轮的角加速度 2 如以重量P 98N的物体挂在绳端 试计算飞轮的角加速 解 1 2 两者区别 五 转动定律的应用举例 例 求 一轻绳绕在半径r 20cm的飞轮边缘 在绳端施以F 98N的拉力 飞轮的转动惯量J 0 5kg m2 飞轮与转轴间的摩擦不计 见图 圆盘以 0在桌面上转动 受摩擦力而静止 解 例 求到圆盘静止所需时间 取一质元 由转动定律 摩擦力矩 一根长为l 质量为m的均匀细直棒 可绕轴O在竖直平面内转动 初始时它在水平位置 求它由此下摆 角时的 O l m C x 解 取一质元 重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩 dm 例 例一个刚体系统 如图所示 已知 转动惯量 现有一水平力作用于距轴为l 处 求轴对棒的作用力 也称轴反力 解 设轴对棒的作用力为N 由质心运动定理 打击中心 质心运动定理与转动定律联用 质点系 由转动定律 5 4绕定轴转动刚体的动能动能定理 一 转动动能kineticEnergyinRotationalMove z O 设系统包括有N个质量元 其动能为 各质量元速度不同 但角速度相同 刚体的总动能 P 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半 结论 取 二 力矩的功WorkDonebyTorque O 功的定义 力矩作功的微分形式 对一有限过程 若M C 积分形式 力的累积过程 力矩的空间累积效应 P 2 力矩的功就是力的功 3 对刚体 内力矩作功之和为零 讨论 1 合力矩的功 三 转动动能定理 力矩功的效果 对于一有限过程 定轴转动刚体在任一过程中动能的增量 等于作用在刚体上所有外力所作功的总和 定轴转动刚体的 动能定理 刚体重力势能 质心的势能 四 刚体定轴转动的功能原理Work EnergyTheorem 刚体的机械能MechanicalEnergyofrigidbody 刚体定轴转动的功能原理 重力矩的功 除重力以外的其他外力的合力矩 ConservationofMechanicalenergy 重力场中刚体定轴转动的动能定理 例一根长为l 质量为m的均匀细直棒 可绕轴O在竖直平面内转动 初始时它在水平位置 解 由动能定理 求它由此下摆 角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解 5 5刚体定轴转动的动量矩定理及守恒定律 一 质点系对定轴的动量矩定理 质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和 1 质点系对参考点O的动量矩 O z 2 质点系对定轴的动量矩 3 质点系的动量矩定理 分量形式 二 刚体绕定轴转动的动量矩定理 任意质元对定轴动量矩 对定轴转动的刚体 动量矩 质元动量矩之和 1 刚体定轴转动的动量矩 O 2 刚体定轴转动的动量矩定理 由转动定律 微分形式 积分形式 定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量 1 变形体绕某轴转动时 若其上各点 质元 转动的角速度相同 则变形体对该轴的动量矩 说明 3 刚体定轴转动的动量矩守恒定律 对定轴转动刚体 当变形体所受合外力矩为零时 变形体的动量矩也守恒 如 花样滑冰跳水芭蕾舞等 猫习惯于在阳台上睡觉 因而从阳台上掉下来的事情时有发生 长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时 受伤的程度将随高度的增加而减少 据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤 为什么会这样呢 机械能守恒 动量守恒 对oo 轴动量矩守恒 例质量为M 半径为R的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动 在盘边缘上站有一质量为m的人 都相对地面静止 当人沿盘边走了一周时 盘对地面转过角度 M R O m x 解 盘与人构成系统 人走动时 系统对竖直轴的外力矩为零 系统动量矩守恒 人行走一周 二者