数学经典易错题会诊与高考试题预测1

1 经典易错题会诊与经典易错题会诊与20122012 届高考届高考试题试题 预测预测 一一 考点考点 1 1 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 集合的概念与性质 集合与不等式 集合的应用 简易逻辑 充要条件 集合的运算 逻辑在集合中的运用 集合的工具性 真假命题的判断 充要条件的应用 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度 1 集合的概念与性质集合的概念与性质 1 典型例题 设全集 U R 集合 M x x 1 P x x2 1 则下列关系中正确的是 A M P B P M C M P D CU MP 考场错解考场错解 D 专家把脉专家把脉 忽视集合 P 中 x 1 部分 对症下药对症下药 C x2 1 x 1 或 x 1 故 M P 2 典型例题 设 P Q 为两个非空实数集合 定义集合 P Q a b a P b Q 若 P 0 2 5 Q 1 2 6 则 P Q 中元素的个数是 A 9 B 8 C 7 D 6 考场错解考场错解 A P 中元素与 Q 中元素之和共有 9 个 专家把脉专家把脉 忽视元素的互异性 即和相等的只能算一个 对症下药对症下药 B P 中元素分别与 Q 中元素相加和分别为 1 2 3 4 6 7 8 11 共 8 个 3 典型例题 设 f n 2n 1 n N P l 2 3 4 5 Q 3 4 5 6 7 记 P n N f n P Q n N f n 则 P CNQ Q CNP 等于 A 0 3 B 1 7 C 3 4 5 D 1 2 6 7 考场错解考场错解 D P CNQ 6 7 Q CNP 1 2 故选 D 专家把脉专家把脉 未理解集合P 的意义 2 对症下药对症下药 B P 1 3 5 Q 3 5 7 P CNQ 1 P CNQ 7 故选 B 4 典型例题 设 A B 为两个集合 下列四个命题 A B 对任意 x A 有 x B A B A B A B A B A B 存在 x A 使得 x B 其中真命题的序号是 考场错解考场错解 A B 即 A 不是 B 的子集 对于 x A 有 x B A B 故 正 确 专家把脉专家把脉 对集合的概念理解不清 A B 即 A 不是 B 的子集 但是 A B 可以有公 共部分 即存在 x A 使得 x B 不是对任意 x A 有 x B 故 正确 A B 是 任意 x A 有 x B 的必要非充分条件 同 对症下药对症下药 画出集合 A B 的文氏图或举例 A 1 2 B 2 3 4 故 均不 成立 A 1 2 3 B 1 2 A B 但 B A 故也错 只有 正确 符合集合定 义 故填 5 典型例题 设 A B I 均为非空集合 且满足 A B I 则下列各式中错误的是 A CIA B I B CIA CIB I C A CIB D CIA CIB CIB 考场错解考场错解 因为集合 A 与 B 的补集的交集为 A B 的交集的补集 故选 D 专家把脉专家把脉 对集合 A B I 满足 A B I 的条件 即集合之间包含关系理解 不清 对症下药对症下药 如图是符合题意的韦恩图 从图中可观察 A C D 均正确 只有 B 不成立 或运用特例法 如 A 1 2 3 B 1 2 3 4 I 1 2 3 4 5 逐个检验只有 B 错误 专家会诊专家会诊 1 解答集合问题 首先要正确理解集合有关概念 特别是集合中元素的三要素 对于 用描述法给出的集合 x x P 要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P 要重视发挥图示法的作用 充分运用数形结合 数轴 坐标系 文氏图 或特例法解集合 与集合的包含关系以及集合的运算问题 直观地解决问题 2 注意空集 的特殊性 在解题中 若未能指明集合非空时 要考虑到空集的可能 性 如 A B 则有 A 或 A 两种可能 此时应分类讨论 考场思维训练考场思维训练 1 全集 U R 集合 M 1 2 3 4 集合 N 12 1 xx 则 M CUN 等于 A 4 B 3 4 C 2 3 4 D 1 2 3 4 3 答案 B 解析 由 N 12 12 1 xxNxx得CUN 4 3 12 NCMxx U 2 设集合 M x x 3m 1 m Z N y y 3n 2 n Z 若 x0 M y0 N 则 x0y0与集 合 M N 的关系是 A x0y0 M B x0y0 MMM C x0y0 N D x0y0 N 答案 C 解析 xo 2 23 32369 23 13 23 13 0 CNnmmnnmmnnmyxnyNymxM oooo 故选 3 设 M x x4a a R N y y 3x x R 则 A M N B M N C M N D M N 答案 B 解析 M BNyyxxMRaxx a 选 0 0 4 4 已知集合 A 0 2 3 B x x ab a b A 且 a b 则 B 的子集的个数是 A 4 B 8 C 16 D 15 答案 解析 6 0 B 它的子集的个数为 22 4 5 设集合 M x y x y 3 y 1 y 3 2 5 y 3 若 a b M 且对 M 中 的其他元素 c d 总有 c a 则 a 答案 解析 依题可知 本题等价于求函数不胜数 x f y y 3 y 1 y 3 在 3 2 5 时的最小值 y 1 当 4 9 2 5 4 25 2 1 6 3 1 3 1 2 5 min 22 xyyyyyyyxy时所以时 1 y 3 时 x y 3 y 1 y 3 y2 3y y 2 3 2 4 9 4 9 2 5 4 9 4 4 1 4 9 min axyxy即有最小值时因此当而时所以当 命题角度 2 集合与不等式集合与不等式 1 典型例题 集合 A 0 1 1 x x x B x x b a 若 a 1 是 A B 的 充分条件 则 b 的取值范围是 A 2 b 2 B 2 b 2 C 3 b 1 D 2 b 2 考场错解考场错解 A 当 a l 时 A x 1 x 1 且 B x b 1 x b 1 A B b 1 1 且 b 1 1 故 2 b 2 只有 A 符合 专家把脉专家把脉 A B 时 在点 1 和 1 处是空心点 故不含等于 对症下药对症下药 D 当 a 1 时 A x 1 x 1 B x b 1 x b 1 此时 A B 的充要条件是 b 1 1 且 b 1 1 即 2 b 2 故只有 D 符合 2 典型例题 1 设集合 A x 4x 1 9 x R B x 3 x x 0 x R 则 4 A B 考场错解考场错解 x x 3 或 x 2 5 专家把脉专家把脉 3 x x 0 x x 3 0 而此时 x 3 0 故不含 x 3 对症下药对症下药 A x x 3 或 x 2 5 B x x 3 或 x 0 A B 3 或 x 2 5 3 典型例题 已知 f x 2 2 2 x ax x R 在区间 1 1 上为增函数 1 求实数 a 的值所组成的集合 A 2 设关于 x 的方程 f x x 1 的两根为 x1 x2 试问 是否存在实数 m 使得不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 考场错解考场错解 1 因为 f x 2 2 2 x ax x R 所以 f x 22 2 2 422 x axx 依题意 f x 0 在 1 1 上恒成立 即 2x2 2ax 4 0 在 1 1 上恒成立 当 x 0 时 a R 当 0 x 1 时 a x x 2 恒成立 又 y x x 2 在 0 1 上单调递增 所 以 y x x 2 的最大值为 1 得 a 1 当 1 x0 时 t m m22 恒成立 所以 1 m m22 解得 m 2 当 m 0 时 t m m22 恒成立 所以 1 m m22 解得 m 2 综上 故不存在实数 m 使得不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成 立 专家把脉专家把脉 1 讨论 x 求参数的范围 最后应求参数的交集而不是并集 因为 x 1 1 时 f x 0 恒成立 2 注意对求出的 m 的值范围求并集而不是交集 对症下药对症下药 1 因为 f x 2 2 2 x ax x R 所以 f x 22 2 2 422 x axx 依题意 f x 0 在 1 1 上恒成立 即 2x2 2ax 4 0 在 1 1 上恒成立 当 x 0 时 a R 当 0 x 1 时 a x x 2 恒成立 又 y x x 2 在 0 1 上单调递增 所 以 y x x 2 的最大值为 1 得 a 1 当 1 x0 时 t m m22 恒成立 所以 1 m m22 解得 m 2 当 m 0 时 t m m22 恒成立 所以 1 m m22 解得 m 2 综上 存在实数 m 使得不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 m 的取值范围是 m m 2 或 m 2 注意对求出的 m 的取值范围求并集 方法 2 方程 f x x 1 变形为 x2 ax 2 0 x1 x2 8 2 a 又 1 a 1 所以 x1 x2 8 2 a的最大值为 3 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立等价于 m2 tm 1 3 在 t 1 1 恒成立 令 g t tm m2 2 有 g 1 m2 m 2 0 g 1 m2 m 2 0 解得 m m 2 或 m 2 注意对求出的 m 的取值范围求交集 专家会诊专家会诊 讨论参数 a 的范围时 对各种情况得出的参数 a 的范围 要分清是 或 还是 且 的关系 是 或 只能求并集 是 且 则求交集 考场思维训练考场思维训练 1 设 x 表示不超过 x 的最大整数 则不等式 x 2 5 x 6 0 的解集为 A 2 3 B 2 3 C 2 4 D 2 4 答案 C 解析 由 x 2 5 x 6 0 解得 2 x 3 由 x 的定义知 2 x 4 所选 C 2 已知不等式 x m 1 成立的充分非必要条件是 2 1 3 1 x 则实数 m 的取值范围是 A 2 1 3 4 B 3 4 2 1 C 2 1 D 3 4 答案 B 解析 因不等式 x m 1 等价于 m 1 x m 1 依题意有 3 4 2 1 2 1 1 3 1 1 Bm m m 所以选 3 设 A B 是两个集合 定义 A B x x A 且 x B 若 M x x 1 2 N x x sin 等 R 则 M N 等于 A 3 1 B 3 0 C 0 1 D 3 0 6 答案 B 4 已知集合 A x x 2 x 3a 1 0 B x 0 1 2 2 ax ax 1 当 a 2 时 求 A B 2 求使 B A 的实数 a 的取值范围 解析 1 当 a 2 时 A 2 7 B 4 5 5 4 BA 2 B 2a a2 1 当 a 1 时 则超过 2 个元素 注意 区间端点 对症下药对症下药 由 S a a 1 的元素不超过两个 周期 2 2 1 1 又 有 a 使 S a a 1 含两个元素 2 周期 1 2 故 2 2 典型例题 设函数 f x 1x x x R 区间 M a b a0 f x 1 1 1 x f x 在 0 上 为减函数 即 y f x 在 a b 上为减函数 y f x 的值域为 1 1a a b b N 1 1a a b b M N M N a 1b b 且 b 1a a 故有无数组 解 专家把脉专家把脉 错误地理解了 M N 只是 M N 忽视了 M N 包含 M N 和 N M 两层含义 7 对症下药对症下药 f x 0 1 1 1 0 1 1 1 x x x x y f x 在 a b 上为减函数 y f x 的值域 为 1 1a a b b N y y f x N 表示 f x 的值域 b M N ba a a b b b a 1 1 而已知 a b 满足题意的 a b 不存在 故选 A 3 典型例题 记函数 f x 1 3 2 x x 的定义域为 A g x 1g x a 1 2a x a 1 的 定义域为 B 1 求 A 2 若 B A 求实数 a 的取值范围 考场错解考场错解 1 由 2 1 3 x x 0 得 x 1 或 x 1 A x x0 得 x a 1 x 2a 0 a2a B 2a a 1 B A 2a 1 或 a 1 1 a 2 1 或 a 2 又 a 1 a 2 或 2 1 a 1 专家把脉专家把脉 利用集合的包含关系时 忽视了端点的讨论 对症下药对症下药 1 由 2 1 3 x x 0 得 x 1 或 x 1 2 由 x a 1 2a x 0 得 x a 1 x 2a 0 a2a B 2a a 1 B A 2a 1 或 a 1 1 即 a 2 1 或 a 2 而 a 1 2 1 a0 且 1 4 1 a 2 设集合 P 3 4 5 Q 4 5 6 7 定义 P Q a b a p b Q 则 P Q 中 元素的个数为 8 A 3 B 4 C 7 D 12 答案 D 3 已知关于 x 的不等式 ax ax 2 5 0 的解集为 M 1 a 4 时 求集合 M 答案 1 当 a 4 时 原不等式可化为0 4 54 2 x x 即 2 4 5 2 2 4 5 2 0 2 4 5 4 为故Mxxx 2 若 3 M 且 5 M 求实数 a 的取值范围 答案 由 3 3 5 9 0 3 53 2 aa a a M或得 由 251 0 5 55 5 2 a a a M得 由 得 25 9 3 5 1 259 3 5 1 的取值范围是因此或aaa 命题角度 4 简易逻辑简易逻辑 1 典型例题 对任意实数 a b c 给出下列命题 a b 是 ac bc 的充要条件 a 5 是无理数 是 a 是无理数 的充要条件 a b 是 a2 b2 的充分条件 a 5 是 aa b 时 非充分条件 正确 2 典型例题 给出下列三个命题 若 a b 1 则 b b a a 11 若正整数 m 和 n 满足 m n 则 2 n mnm 设 P x1 y1 为圆 O1 x2 y2 9 上任一点 圆 O2以 Q a b 为圆心且半径为 1 当 a x1 2 b y1 2 1 时 圆 O1与圆 O2相切 其中假命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 考场错解考场错解 A 专家把脉专家把脉 中 a x1 2 b y1 2 1 时 即圆 O2与 O1上任一点距离为 1 并不一定相 切 对症下药对症下药 B 3 典型例题 设原命题是 已知 a b c d 是实数 若 a b c d 则 a c b d 则 它的逆否命题是 A 已知 a b c d 是实数 若 a c b d 则 a b 且 c d 9 B 已知 a b c d 是实数 若 a c b d 则 a b 或 c d C 若 a c b d 则 a b c d 不是实数 且 a b c d D 以上全不对 考场错解考场错解 A 专家把脉专家把脉 没有分清 且 的否定是 或 或 的否定是 且 对症下药对症下药 B 逆否命题是 已知 a b c d 是实数 若 a c b d 则 a b 或 c d 4 典型例题 已知 c 0 设 P 函数 y cx在 R 上单调递减 Q 不等式 x x 2c 1 的解集为 R 如果 P 和 Q 有且仅有一个正确 求 c 的取值范围 考场错解考场错解 由函数 y cx在 R 上单调递减 得 0 c1 的解集为 R 所以 2c 1 得 c 2 1 如果 P 真 得 0 c 2 1 所以 c 的取值范围是 0 专家把脉专家把脉 将 P 和 Q 有且仅有一个正确 错误理解成 P 正确或 Q 正确 对症下药对症下药 由函数 y cx在 R 上单调递减 得 0 c1 的解集为 R 所以 2c 1 得 c 2 1 如果 P 真 Q 假 则 0 c 2 1 如果 Q 真 P 假 则 c 1 所以 c 的取值范围是 0 2 1 1 专家会诊专家会诊 1 在判断一个结论是否正确时 若正面不好判断 可以先假设它不成立 再推出矛盾 这就是正难则反 2 求解范围的题目 要正确使用逻辑连结词 且 对应的是集合的交集 或 对应 的是集合的并集 考场思维训练考场思维训练 1 已知条件 P x 1 2 条件 q 5x 6 x2 则 p 是 q 的 A 充要条件 B 充分但不必要条件 C 必要但不充分条件 D 既非充分也非必要条件 答案 解析 p x1 q 2 x 3 则 q 是 p 的充分但不必要条件 故 p 是 q 的充分 但不必要条件 2 已知命题 p 函数 log0 5 x2 2x a 的值域为 R 命题 q 函数 y 5 2a x是减函 数 若 p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 则实数 a 的取值范围是 A a 1 B a 2 10 C 1 a1 a 2 若 p 为真 q 为假时 无解 若 p 为假 q 为真时 结果为 1 a 2 故选 3 如果命题 P 命题 Q 那么下列结论不正确的是 A P 或 Q 为真 B P 且 Q 为假 C 非 P 为假 D 非 Q 为假 答案 B 4 已知在 x 的不等式 0 x2 4 6x 13a 的解集中 有且只有两个整数 求实数 a 的取值 范围 答案 解析 原不等式等价于 13 12 13 9 0 5 0 4 136 01346 22 2 2 affxfaxxxf axx xx 解得由已知可得的函数图象画出令 或 5 已知命题 p 方程 a2x2 ax 2 0 在 1 1 上有解 命题 q 只有一个实数 x 满足不等 式 x2 2ax 2a 0 若命题 p 或 q 是假命题 求 a 的取值范围 答案 解析 由 a2x2 ax 2 0 得 ax 2 ax 1 0 显然 a 0 x a x a 12 或 x x 1 1 1 1 2 1 1 a aa 或故 只有一个实数满足 x2 2ax 2a 0 即抛物线 y x2 2ax 2a 与 x 轴只有一个交点 a2 8a 0 a 0 或 2 命题 p 或 q 为真命题 时 a 1 或 a 0 命题 p 或 q 为假命题 a 的取值范围为 1001 aaa或 命题角度 5 充要条件充要条件 1 典型例题 m 2 1 是 直线 m 2 x 3my 1 0 与直线 m 2 x m 2 y 3 0 相互垂直 的 A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 考场错解考场错解 A 专家把脉专家把脉 当两直线垂直时 A1A2 B1B2 0 m2 4 3m m 2 0 即 m 2 1 或 m 2 故不 是充分必要条件 对症下药对症下药 B 当 m 2 1 时两直线垂直 两直线垂直时 m 2 1 或 m 2 故选 B 2 典型例题 设定义域为 R 的函数 f x 1 0 1 1 lg x xx 则关于 x 的方程 f2 x bf x c 0 有 7 个不同实数解的充要条件是 A b0 B b 0 且 c 0 C b 0 且 c 0 D b 0 且 c 0 11 考场错解考场错解 B b2 4ac 当 c0 故 f x 有两个不同实根 x 有 7 个 不同根 专家把脉专家把脉 f x 的根为正时 x 有 4 个不同实根 应考虑 f x 的根的正负 对症下药对症下药 C 当 x 1 时 f x 0 c 0 当 x 1 时 f x 1g x 1 f2 x bf x c 1g2 x 1 b 1g x 1 0 即 1g x 1 1g x 1 b 0 1g x 1 0 或 1g x 1 b x 2 或 x 0 或 1g x 1 b b 0 式有 4 个不同实 根故 c 0 且 b0 的解集相同 命题 q 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 则命题 p 是命题 g 的 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考场错解考场错解 因为 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 所以不等式 a1x2 b1x c1 0 与 a2x2 b2x c2 0 是等价的 不等式 解集相同 所以 q 能推出 p 而不等式 a1x2 b1x c1 0 与 a2x2 b2x c2 0 的解集 相同不能得出 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 所以选 B 专家把脉专家把脉 因为 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 若 a1与 a2的符号不同 这时 a1x2 b1x c1 0 与 a2x2 b2x c2 0 的解集不相同 如 x2 3x 2 0 与 x2 3x 2 0 尽管 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 1 但它们的 解集不相同 所以 q 不能推出 P 对症下药对症下药 因为 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 若 a1与 a2的符号不同 这时 alx2 b1x c1 0 与 a2x2 b2x c2 0 的解集不相同 所以 q 不能推出 p 不等式 x2 x 3 0 与 x2 1 0 的解集相同 12 但 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 所以 p 不能推出 q 所以选 D 专家会诊专家会诊 1 要理解 充分条件 必要条件 的概念 当 若 p 则 q 形式的命题为真时 就记 作 p q 称 p 是 q 的充分条件 同时称 q 是 p 的必要条件 因此判断充分条件或必要条件就 归结为判断命题的真假 2 要理解 充要条件 的概念 对于符号 要熟悉它的各种同义词语 等价于 当且仅当 必须并且只需 反之也真 等 3 数学概念的定义具有相称性 即数学概念的定义都可以看成是充要条件 既是概念 的判断依据 又是概念所具有的性质 4 从集合观点看 若 A B 则 A 是 B 的充分条件 B 是 A 的必要条件 若 A B 则 A B 互为充要条依 5 证明命题条件的充要性时 既要证明原命题成立 即条件的充分性 又要证明它的 逆命题成立 即条件的必要性 考场思维训练考场思维训练 1 设 ab 是非零向量 则使 a b a b 成立的一个必要非充分条件是 A a b B a b C a b D a b 0 答案 解析 由 a b a b 可得 a b 但 a b a b a b 故使 a b a b 成立的一个必要充分条件是 a b 故选 2 若条件甲 平面 内任一直线平行于平面 条件乙 平面 平面 则条件 甲是条件乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 C 解析 甲乙可以互推 选 3 已知函数 f x ax b 0 x0 是 f x 0 在 0 1 上恒成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 答案 B 解析 f x 0 在 上恒成立 a 2b 0 但 a 2b 0 推不出 f x 0 在 上恒成立 4 命题 A x 1 3 命题 B x 2 x a 0 若 A 是 B 的充分不必要条件 则 a 的取 值范围是 A 4 B 4 C 4 D 4 答案 探究开放题预测探究开放题预测 13 预测角度 1 集合的运算集合的运算 1 设 I 是全集 非空集合 P Q 满足 P Q I 若含 P Q 的一个运算表达式 使运算 结果为空集 则这个运算表达式可以是 如果推广到三个 即 P Q R I 使运 算结果为空集 则这个运算表达式可以是 只要求写出一个表达式 解题思路解题思路 画出集合 P Q I 的文氏图就可以看出三个集合之间的关系 从它们的关 系中构造集合表达式 使之运算结果为空集 解答解答 画出集合 P Q I 的文氏图 可得满足 P Q I 含 P Q 的一个运算表达式 使运算结果为空集的表达式可以是 P CIQ 同理满足 P Q R I 使运算结果为空集的 表达式可以是 P Q CIR 或 P Q CIR 答案不唯一 2 设 A x y y2 x 1 0 B x y 4x2 2x 2y 5 0 C x y y kx b 是否 存在 k b N 使得 A B C 证明此结论 解题思路解题思路 由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组 用判别式对根的情况进行限 制 可得到 b k 的范围 又因 b k N 进而可得值 解答解答 A B C A C 且 B C bkxy xy1 2 k2x2 2bk 1 x b2 1 0 A C 1 2bk 1 2 4k2 b2 1 0 即 b2 1 bkxy yxx05224 2 4x2 2 2k x 5 2b 0 B C 2 1 k 2 4 5 2b 0 k2 2k 8b 19 0 从而 8b 20 即 b 2 5 由 及 b N 得 b 2 代入由 1 0 和 2 2x 1 23 2 2 xx x 2x2 mx 1 0 1 若同时满足 的 x 也满足 求 m 的取值范围 2 若满足 的 x 至少满足 中的一个 求 m 的取值范围 解题思路解题思路 1 若同时满足 的 x 也满足 即求出不等式 的交集是 的 解集的子集 第 2 问 若满足 的 x 至少满足 中的一个 即满足 的 x 满足 的并集 14 解答解答 1 由 x 3 2x 得 1 x 3 由1 23 2 2 xx x 得 0 x 1 或 2 x 4 同时 满足 的集合 A 0 1 2 3 满足 的集合为 B 因为 B A 所以 f 3 0 且 f 0 4 x x 1 或 x 4 补集为 1 4 即方程 2x2 mx 1 0 的两根在 1 4 内 由根的分布可得 4 31 m0 若 p 是 q 的必要而不充分条件 求实数 m 的取值范围 解题思路解题思路 利用等价命题先进行命题的等价转化 搞清晰命题中条件与结论的关系 再去解不等式 找解集间的包含关系 进而使问题解决 解答解答 由题意知 命题 若 P 是 q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为 p 是 q 的充分不必 要条件 p 1 3 1 x 2 2 3 1 x 1 2 1 3 1 x 3 2 x 10 q x2 2x 1 m2 0 x 1 m x 1 m 0 p 是 q 的充分不必要条件 不等式 1 3 1 x 2 的解集是 x2 2x 1 m2 0 m 0 解集的子集 又 m 0 不等式 的解集为 1 m x 1 m 9 1 101 21 m m m m m 9 实数 m 的取值范围是 9 预测角度 5 充要条件的应用充要条件的应用 1 设符合命题 p 的所有元素组成集合 A 符合命题 q 的所有元素组成集合 B 已知 q 的充分不必要条件是 p 则 集合 A B 的关系是 A A B B A B C B A D A B 解题思路解题思路 由 q 的充分不必要条件是 p 可得 p 可推 q 但 q 不能推 p 再利用充 要条件与集合之间的关系可求解 解答解答 由 q 的充分不必要条件是 p 可得 P 可推 q 但 q 不能推 p 所以 A 中的元 素都是 B 中的元素 B 中至少有一个元素不是 A 中的元素 所以 A B 所以选 B 17 2 0 a 5 1 是函数 f x ax2 2 a 1 3 在 4 上为减函数的 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解题思路解题思路 利用二次函数的对称轴与单调区间的关系求解 解答解答 若 0 a 5 1 则函数 f x ax2 2 a 1 3 为开口向上的二次函数 且对称轴 为 x a a 2 22 a 1 1 4 由二次函数的图像知函数 f x ax2 2 a 1 3 在 4 上 为减函数 所以 03 B x x2 x 6 0 则 A B A 3 2 1 B 3 2 1 2 C 3 2 1 2 D 3 1 2 答案 解析 由 2x 1 3 得 x 1 或 xb 0 全集 U R 集合 M x b x 2 ba N x ab x a P x b x 18 ab 则 P M N 满足的关系是 A P M N B P M N C P M CUN D P CUM N 答案 C 解析 取 a 4 b 2 画出数轴可判断选 C 5 命题 P 如果 x2 2x 1 a2 0 那么 1 a x 1 命题 q a 1 那么 q 是 p 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由命题 p 真 可得 a 0 而由 a 0 q a1 是 a b 1 的充分而不必要条件 命题 q 函数 y 2 1 x的定义域是 1 3 则 A p 或 q 为假 B p 且 q 为真 C p 真 q 假 D p 假 q 真 答案 D 解析 命题 p 由 a b 1 a b 1 命题 p 是假 命题 q 函数 y 1 2 1 xx中 2 x 3 或 x