1解三角形易错题解析

1 易错题解析易错题解析 例题 1 在不等边 ABC 中 a 为最大边 如果 求 A 的取值范围 abc 222 错解 则abcbca 222222 0 由于 cosA 在 0 180 上为减函数且cos A bca bc 222 2 0cos90090 A 又 A 为 ABC 的内角 0 A 90 辨析 错因是审题不细 已知条件弱用 题设是为最大边 而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边 造成解a 题错误 正解 由上面的解法 可得 A 90 又 a 为最大边 A 60 因此得 A 的取值范围是 60 90 例题 2 在 ABC 中 若 试判断 ABC 的形状 a b A B 2 2 tan tan 错解 由正弦定理 得 即 sin sin tan tan 2 2 A B A B sin sin sin cos cos sin sinsin 2 2 00 A B A A B B AB 即sincossincossinsinAABBAB 22 2A 2B 即 A B 故 ABC 是等腰三角形 辨析 由 得 2A 2B 这是三角变换中常见的错误 原因是不熟悉三角函数的性质 三角变换生sinsin22AB 疏 正解 同上得 2A sinsin22AB 22kB 或 222AkB kZ 或 000 AbkAB 则AB 2 故 ABC 为等腰三角形或直角三角形 例题 3 在 ABC 中 A 60 b 1 求的值 S ABC 3 abc ABC sinsinsin 错解 A 60 b 1 又 S ABC 3S ABC 1 2 bcAsin 解得 c 4 3 1 2 csin60 2 由余弦定理 得abcbcA 22 2116860coscos 13 又由正弦定理 得 sinsinCB 6 39 3 2 39 abc ABC sinsinsin 1314 3 2 3 2 39 6 39 辨析 如此复杂的算式 计算困难 其原因是公式不熟 方法不当造成的 正解 由已知可得 由正弦定理 得ca 413 2 13 60 2 39 3 R a A sinsin abc ABC R sinsinsin 2 2 39 3 例题 4 在 ABC 中 C 30 求 a b 的最大值 c 62 错解 C 30 A B 150 B 150 A 由正弦定理 得 a A b Asinsin sin 150 62 30 aA 262 sin bA 262150 sin 又 sinsin AA 11501 ab 262262462 故的最大值为 ab 462 辨析 错因是未弄清 A 与 150 A 之间的关系 这里 A 与 150 A 是相互制约的 不是相互独立的两个量 sinA 与 sin 150 A 不能同时取最大值 1 因此所得的结果也是错误的 正解 C 30 A B 150 B 150 A 由正弦定理 得 a A b Asinsin sin 150 62 30 因此abAA 262150 sinsin 2 62 sin75 cos 75 62 4 62 cos 75 4 84 3 cos 75 84 3 A A A a b 的最大值为 84 3 3 例题 5 在 ABC 中 已知 a 2 b C 15 求 A 2 2 错解 由余弦定理 得cabab 222 215 cos 62 482 2 2 284 3 4 c 62 又由正弦定理 得 而 sin sin A aC c 1 2 0000 018030150AAA 或 辨析 由题意 因此 A 150 是不可能的 错因是没有认真审题 未利用隐含条件 在解题时 ba BA 要善于应用题中的条件 特别是隐含条件 全面细致地分析问题 避免错误发生 正解 同上 cAba 62 1 2 sin 000 018030BAAA 且 例题 6 在 ABC 中 判断 ABC 的形状 coscosAb 错解 在 ABC 中 由正弦定理aAbBcoscos 得22RAARBBsincossincos A B 且 A B 90 sinsin222222180ABABAB 且 故 ABC 为等腰直角三角形 辨析 对三角公式不熟 不理解逻辑连结词 或 且 的意义 导致结论错误 正解 在 ABC 中 由正弦定理 aAbBcoscos 得 2A 2B 或 2A 2B 180 A B 或 A B 90 2222RAARBBABsincossincossinsin 故 ABC 为等腰三角形或直角三角形 例题 7 若 a b c 是三角形的三边长 证明长为的三条线段能构成锐角三角形 abc 错解 不妨设 只要考虑最大边的对角 为锐角即可 0 abc cos abc a b abc ab 222 22 由于 a b c 是三角形的三边长 根据三角形三边关系 有 即 abc cos 0 长为的三条线段能构成锐角三角形 abc 辨析 三条线段构成锐角三角形 要满足两个条件 三条边满足三角形边长关系 最长线段的对角是锐角 显 4 然错解只验证了第二个条件 而缺少第一个条件 正解 由错解可得cos 0 又 abc abcabc abc 2 2 0 abcabcab abcabcabc 即长为的三条线段能构成锐角三角形 abc 典型题典型题 1 若的内角满足 则ABC A 2 sin2 3 A sincosAA A B C D 15 3 15 3 5 3 5 3 解 由 sin2A 2sinAcosA 0 可知 A 这锐角 所以 sinA cosA 0 又 故选 A 2 5 sincos 1 sin2 3 AAA 2 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值 则 111 ABC 222 A B C A 和都是锐角三角形 B 和都是钝角三角形 111 ABC 222 A B C 111 ABC 222 A B C C 是钝角三角形 是锐角三角形 D 是锐角三角形 是钝角三角形 111 ABC 222 A B C 111 ABC 222 A B C 解 解 的三个内角的余弦值均大于 0 则是锐角三角形 若是锐角三角形 由 111 ABC 111 ABC 222 A B C 得 那么 所以是钝角三角形 故选 211 211 211 sincossin 2 sincossin 2 sincossin 2 AAA BBB CCC 21 21 21 2 2 2 AA BB CC 222 2 ABC 222 A B C D 3 的三内角所对边的长分别为设向量 若 则角的大ABCA A B C a b c pac b qba ca pq C 小为 A B C D 6 3 2 2 3 解析解析 利用余弦定理可得 即 222 pqac cab babacab 2cos1C 5 故选择答案 B 1 cos 23 CC 点评 本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数 同时着重考查了同学们的运算能力 4 已知等腰的腰为底的 2 倍 则顶角的正切值是 ABC A 3 2 3 15 8 15 7 解 解 依题意 结合图形可得 故 选 D 15 tan 215 A 2 2 15 22tan 15 152 tan 715 1 tan 1 2 15 A A A 5 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a b c 成等比数列 且 则ABC 2ca cosB A B C D 1 4 3 4 2 4 2 3 解 解 中 a b c成等比数列 且 则ABC 2ca b a 选 B 2 222 cos 2 acb B ac 222 2 423 44 aaa a 6 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c A a b 1 则c 3 3 A 1 B 2 C 1 D 33 解 解 由正弦定理得 sinB 又 a b 所以 A B 故 B 30 所以 C 90 故 c 2 选 B 1 2 7 设分别是的三个内角所对的边 则是的 a b cABC A B C 2 ab bc 2AB A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而充分条件 D 既不充分又不必要条件 解析 解析 设分别是的三个内角所对的边 若 a b cABC A B C 2 ab bc 则 则 2 sinsin sinsin ABBC 1 cos21 cos2 sinsin 22 aB BC 1 cos2cos2 sinsin 2 BABC sin sin sinsinBAABBC 6 又 sin sinABC sin sinABB ABB 2AB 若 ABC 中 由上可知 每一步都可以逆推回去 得到 2AB 2 ab bc 所以是的充要条件 选 A 2 ab bc 2AB 8 在中 若 则的大小是 ABC sin sin sin5 7 8ABC B 解 a b c 5 7 8 设 a 5k b 7k c 8k 由余弦定理可解得的大小为 sin sin sin5 7 8ABC B 3 9 在ABC 中 已知 b 4 A 30 则 sinB 4 33 a 3 2 解 由正弦定理易得结论 sinB 3 2 10 在 ABC 中 已知 BC 12 A 60 B 45 则 AC 思路点拨 本题主要考查解三角形的基本知识 正确解答 由正弦定理得 解得 sin45sin60 ACBC 4 6AC 解后反思 解三角形 已知两角及任一边运用正弦定理 已知两边及其夹角运用余弦定理 11 已知 ABC的三个内角A B C成等差数列 且AB 1 BC 4 则边BC上的中线AD的长为 解析 由的三个内角 A B C 成等差数列可得 A C