实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案 实变函数试题库及参考答案 5 本科本科 一 填空题 1 设为集合 则 A B ABB AA 2 设 如果满足 其中表示的内部 则是 n ER E 0 EE 0 EEE 3 设为直线上的开集 若开区间满足且 则必为G a b a bG aG bG a b 的 G 4 设 则的基数 其中表示自然数集的基数 2 Ax xn n 为自然数AaaN 5 设为可测集 且 则 A BBA mB mAmBm A B 6 设是可测集上的可测函数 则对任意实数 都有 f xE a b ab 是 E xaf xb 7 若是可数集 则 ER 0mE 8 设为可测集上的可测函数列 为上的可测函数 如果 n fxE f xE 则 是否成立 a e n fxf xxE n fxf x xE 二 选择题 1 设是中的可测集 是上的简单函数 则 E 1 R x E A 是上的连续函数 B 是上的单调函数 x E x E C 在上一定不可积 D 是上的可测函数 x EL x E 2 下列集合关系成立的是 A B ABCABAC A BA C D B AA ABAB 3 若是闭集 则 n ER A B C D 0 EE EE E E E E 三 多项选择题 每题至少有两个以上的正确答案 1 设 则 0 1 E 中的有理点 A 是可数集 B 是闭集EE C D 中的每一点均为的内点0mE EE 2 若的外测度为 0 则 ER A 是可测集 B E0mE C 一定是可数集 D 一定不是可数集EE 3 设 为上几乎处处有限的可测函数列 为上几乎处处有mE n fxE f xE 限的可测函数 如果 则下列哪些结果不一定成立 n fxf xxE A 存在 B 在上 可积 E f x dx f xEL C D a e n fxf xxE lim n EEn fx dxf x dx 4 若可测集上的可测函数在上有积分值 则 E f xEL A 与至少有一个成立 fxL E fxL E B 且 fxL E fxL E C 在上也有 积分值 f xEL D f xL E 四 判断题 1 可列个开集的交集仍为开集 2 任何无限集均是可列集 3 设为可测集 则一定存在集 使 且 EF FFE 0m E F 4 设为零测集 则为上的可测函数的充要条件是 实数都有E f xE a 是可测集 E xf xa 五 定义题 1 可测函数列几乎处处收敛 依测度收敛和近一致收敛的关系 2 可测集上的可测函数与连续函数有什么关系 E 3 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系 a b 六 计算题 1 设 求 101 001 x D x x 为 上的有理点 为 上的无理点 0 1 D x dx 2 求 0 ln limcos x n xn exdx n 七 证明题 1 设是有界集 则 n ER m E 2 上的实值连续函数是可测函数 1 R f x 3 设 函数在上有界可测 则在上可积 从而上的mE f xE f xEL a b 连续函数是可积的L 4 设 是上的可积函数 如果 则 n fx1 2 n EL lim 0 n n En fx dx 0 n fx 实变函数试题库及参考答案 实变函数试题库及参考答案 2 本科本科 一 填空题 1 2 开集 3 构成区间 4 5 6 可测集 7 8 不一定成立 2 单选题 1 D 2 A 3 B 三 多选题 1 AC 2 AB 3 ABCD 4 AD 4 判断题 五 定义题 1 答 设是可测集上的一列可测函数 那 n fxf xE 当时 于 必有 mE n fxf xae E n fxf x 反之不成立 但不论还是 存在子列 使mE mE n fx k n fx 于 k n fxf xae E 当时 于 由定理可得近一致收敛于mE n fxf xae EEgoroff n fx 反之 无需条件 结论也成立 f xmE 2 答 上连续函数必为可测函数但上的可测函数不一定时连续函数 上可测函数在EEE 上是 基本上 连续的函数E 3 答 绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数 6 解答题 1 证明 记是中有理数集 是中无理数集 则 1 E 0 1 2 E 0 1 且 1212 0 1 EE EE 12 0 1mEmE 12 10 EE D x 所以 12 0 1 100D x dxmEmE 2 解 易知 ln limcos0 x n xn ex n 对任意 0 1xn lnln cos x xnxn ex nn 设 则 ln xy f y y 0y 2 ln y xy xy fy y 当时 3y 1ln y xy xy 0fy 则是单调减函数且非负 ln xn f n n 3n 又 由单调收敛定理得 ln1 limlim0 nn xn nxn Levi 即 000 lnln limlim00 nn xnxn dxdxdx nn ln xn L E n 再由控制收敛定理得Lebsgue 000 lnln limcoslimcos00 xx nn xnxn exdxexdxdx nn 7 证明题 1 证明 因为是有界集 所以存在开区间 使 EIEI 由外测度的单调性 而 其中表示区间的体 m Em I m II II 积 所以 m E 2 证明 因为连续 所以对任何实数 是开集 而开集为可测集 f xa x f xa 因此是可测函数 f x 3 证明 因为在上有界可测 所以存在 使 f xE0M f xM xE 是非负可测函数 由非负可测函数的积分单调性 f x EE f xdxMdxM mE 故在上可积 从而在上可积 f