阅读与思考旋转对称

第二十三章 旋转 23 1 图形的旋转 1 1 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念 2 了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题 重点 旋转及对应点的有关概念及其应用 难点 从生活中抽象出数学概念 2 分钟 请同学们完成下面各题 1 将如图所示的四边形 ABCD 平移 使点 B 的对应点为点 D 作出平移后的图形 第 1 小题图 第 2 小题图 2 如图 已知 ABC 和直线 l 请你画出 ABC 关于 l 的对称图形 A B C 3 圆是轴对称图形吗 等腰三角形呢 你还能指出其他的吗 答 1 是 2 是 3 等腰梯形 长方形 正多边形等 点拨精讲 1 平移的有关概念及性质 2 如何画一个图形关于一条直线 对称轴 的对 称图形并口述它有哪些性质 3 什么叫轴对称图形 一 自学指导 10 分钟 观察 让学生看转动的钟表和风车等 1 上面情景中的转动现象 有什么共同的特征 指针 风车叶片分别绕中间点旋转 2 钟表的指针 秋千在转动过程中 其形状 大小 位置是否发生变化呢 形状 大 小不变 位置发生变化 问题 1 从 3 时到 5 时 时针转动了多少度 60 2 风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时 风车旋转了多少度 60 3 以上现象有什么共同特点 物体绕固定点旋转 思考 在数学中如何定义旋转 归纳 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转 点 O 叫做旋转中心 转 动的角叫做旋转角 如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P 那么这两个点叫做这个旋转的对应点 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 8 分钟 1 下列物体的运动不是旋转的是 C A 坐在摩天轮里的小朋友 B 正在走动的时针 C 骑自行车的人 D 正在转动的风车叶片 2 下列现象中属于旋转的有 4 个 地下水位逐年下降 传送带的移动 方向盘的转动 水龙头的转动 钟摆 的运动 荡秋千运动 3 如图 如果把钟表的指针看成四边形 AOBC 它绕着 O 点旋转到四边形 DOEF 位置 在这个旋转过程中 旋转中心是点 O 旋 转角是 AOD 或 BOE 经过旋转 点 A 转到 D 点 点 C 转到 F 点 点 B 转 到 E 点 线段 OA OB BC AC 分别转到 OD OE EF DF A B C 分别 与 D E F 是对应角 点拨精讲 旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 8 分 钟 1 如图 四边形 ABCD 四边形 EFGH 都是边长为 1 的正方形 1 这个图案可以看做是哪个 基本图案 通过旋转得到的 2 请画出旋转中心和旋转角 3 经过旋转 点 A B C D 分别移到什么位置 解 1 可以看做是由基本图案正方形 ABCD 通 过旋转而得到的 2 画图略 3 点 A 点 B 点 C 点 D 移到的位置是点 E 点 F 点 G 点 H 点拨精讲 旋转中心是固定的 即正方形对角线的交点 但旋转角和对应点都是不唯 一的 2 如图 ABC 与 ADE 都是等腰直角三角形 C 和 AED 都是直角 点 E 在 AB 上 如果 ABC 经旋转后能与 ADE 重合 那么旋转中心是点 A 旋 转的度数是 45 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 5 分钟 两个边长为 1 的正方形 如图所示 让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合 不难知道重合部分的面积为 现把其中一个正方形固定不动 另一个正方形绕其中心 1 4 旋转 问在旋转过程中 两个正方形重叠部分面积是否发生变化 说明理由 点拨精讲 设任转一角度 如图中的虚线部分 要说明旋转后正方形重叠部分面积不 变 只要说明 S OEE S ODD 即说明 OEE ODD 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 1 旋转及其旋转中心 旋转角的概念 2 旋转的对应点及其它们的应用 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 23 1 图形的旋转 2 1 通过观察具体实例认识旋转 探索它的基本性质 2 了解图形旋转的特征 并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形 重点 图形的旋转的基本性质及其应用 难点 利用旋转的性质解决相关问题 一 自学指导 10 分钟 动手操作 在硬纸板上挖下一个三角形的洞 再挖一个点 O 作为旋转中心 把挖好的 硬纸板放在黑板上 先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案 ABC 然后围绕旋转中心 O 转动硬纸板 在黑板上再描出这个挖掉的三角形 A B C 移去硬纸板 分组讨论 根据图回答下面问题 一组推荐一人上台说明 1 线段 OA 与 OA OB 与 OB OC 与 OC 有什么关系 2 AOA BOB COC 有什么关系 3 ABC 与 A B C 的形状和大小有什么关系 点拨精讲 1 OA OA OB OB OC OC 也就是对应点到旋转中心距离相等 2 AOA BOB COC 我们把这三个相等的角 即对应点与旋转中心所连线 段的夹角称为旋转角 3 ABC 和 A B C 形状相同且大小相等 即全等 归纳 1 对应点到旋转中心的距离相等 2 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 3 旋转前 后的图形全等 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 6 分钟 如图 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 且 DE ABF 是 ADE 的旋转图 1 4 形 1 旋转中心是哪一点 2 旋转了多少度 3 AF 的长度是多少 4 如果连接 EF 那么 AEF 是怎样的三角形 分析 由 ABF 是 ADE 的旋转图形 可直接得出旋转中心和旋转角 要求 AF 的长 度 根据旋转前后的对应线段相等 只要求 AE 的长度 由勾股定理很容易得到 ABF 与 ADE 是完全重合的 所以 AEF 是等腰直角三角形 解 1 旋转中心是 A 点 2 ABF 是由 ADE 旋转而成的 B 是 D 的对应点 DAB 90 就是旋转角 3 AD 1 DE 1 4 AE 12 1 4 2 17 4 对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点 AF 17 4 4 EAF 90 与旋转角相等 且 AF AE EAF 是等腰直角三角形 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 8 分 钟 1 如图 E 是正方形 ABCD 中 CD 边上任意一点 以点 A 为中心 把 ADE 顺时针 旋转 90 画出旋转后的图形 点拨精讲 关键是确定 ADE 三个顶点的对应点的位置 2 已知线段 AB 和点 O 画出 AB 绕点 O 逆时针旋转 100 后的图形 作法 1 连接 OA 2 在逆时针方向作 AOC 100 在 OC 上截取 OA OA 3 连接 OB 4 在逆时针方向作 BOD 100 在 OD 上截取 OB OB 5 连接 A B 线段 A B 就是线段 AB 绕点 O 按逆时针方向旋转 100 后的对应线段 点拨精讲 作图应满足三要素 旋转中心 旋转角 旋转方向 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 9 分钟 1 如图 AD DC BC ADC DCB 90 BP BQ PBQ 90 1 此图能否旋转某一部分得到一个正方形 2 若能 指出由哪一部分旋转而得到的 并说明理由 3 它的旋转角多大 并指出它们的对应点 解 1 能 2 由 BCQ 绕 B 点旋转得到 理由 连接 AB 易证四边形 ABCD 为正方形 再证 ABP CBQ 可知 QCB 可绕 B 点旋转与 ABP 重合 从而得到正方形 ABCD 3 90 点 C 对应点 A 点 Q 对应点 P 2 如图 ABC 绕 C 点旋转后 顶点 A 的对应点为点 D 试确定顶点 B 对应点的位 置 以及旋转后的三角形 解 1 连接 CD 2 以 CB 为一边作 BCE 使得 BCE ACD 3 在射线 CE 上截取 CB CB 则 B 即为所求的 B 的对应点 4 连接 DB 则 DB C 就是 ABC 绕 C 点旋转后的图形 点拨精讲 绕 C 点旋转 A 点的对应点是 D 点 那么旋转角就是 ACD 根据对应点 与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 即 BCB ACD 又由对应点到旋转中心的距 离相等 即 CB CB 就可确定 B 的位置 3 如图 K 是正方形 ABCD 内一点 以 AK 为一边作正方形 AKLM 使 L M 在 AK 的同旁 连接 BK 和 DM 试用旋转的思想说明线段 BK 与 DM 的关系 解 四边形 ABCD 四边形 AKLM 是正方形 AB AD AK AM 且 BAD KAM 为旋转角且为 90 ADM 是以 A 为旋转中心 以 BAD 为旋转角 由 ABK 旋转而成的 BK DM 点拨精讲 要用旋转的思想说明就是要用旋转中心 旋转角 对应点的知识来说明 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 1 问题 对比平移 轴对称两种变换 旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别 2 本节课要掌握 1 旋转的基本性质 2 旋转变换与平移 轴对称两种变换有哪些共性与区别 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 23 1 图形的旋转 3 1 理解选择不同的旋转中心 不同的旋转角度 会出现不同的效果 2 掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案 重点 用旋转的有关知识画图 难点 根据需要设计美丽图案 一 自学指导 15 分钟 1 学生独立完成作图题 如图 ABC 绕 B 点旋转后 O 点是 A 点的对应点 作出 ABC 旋转后的三角形 点拨精讲 要作出 ABC 旋转后的三角形 应找出三方面的关系 旋转中心 B 旋转角 ABO C 点旋转后的对应点 C 探究 从上面的作图题中 知道作图应满足三要素 旋转中心 旋转角 对应点 而 旋转中心 旋转角固定下来 对应点就自然而然地固定下来 因此 下面就选择不同的旋 转中心 不同的旋转角来进行研究 把一个图案以 O 点为中心进行旋转 选择不同的旋转中心 不同的旋转角 会出现不 同的效果图形 1 旋转中心不变 改变旋转角 2 旋转角不变 改变旋转中心 我们可以设计成如下图美丽的图案 归纳 旋转中心不变 改变旋转角与旋转角不变 改变旋转中心会产生不同的效果 所以可以经过旋转设计出美丽的图案 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 2 分钟 如图所示是日本三菱汽车公司的标志 它可以看作是由一个菱形经过 3 次旋转 每 次旋转 120 得到的 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 6 分 钟 1 如图所示 图 沿逆时针方向旋转 90 可得到图 图 按顺时针方向至少 旋转 180 度可得图 2 如图所示 在 ABC 中 BAC 90 AB AC 点 P 是 ABC 内的一点 且 AP 3 将 ABP 绕点 A 旋转后与 ACP 重合 求 PP 的长 解 依题意 AP 绕点 A 旋转 90 时得 AP AP 3 则 APP 是等腰直角三角形 所以 PP 3 PA2 P A232 322 解题的关键是确定 AP 与 AP 垂直且相等 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 9 分钟 如图所示 点 C 是线段 AB 上任意一点 分别以 AC BC 为边在同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE 连接 AE BD 试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形 并指明旋转中心 旋转角及旋转方向 解 ACE 旋转后能与 DCB 完全重合 旋转中心是点 C 旋转角是 60 旋转方向是顺时针 方向 也可看作 DCB 绕点 C 逆时针旋转 60 得到 ACE 学生总结本堂课的收获与困惑 3 分钟 1 选择不同的旋转中心 不同的旋转角 设计出美丽的图案 2 作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案 要先求出图中的关键点 线的端点 角的顶点 圆的圆心等 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 23 2 中心对称 23 2 1 中心对称 1 了解中心对称 对称中心 关于中心的对称点等概念 2 掌握中心对称的基本性质 重点 中心对称的性质及初步应用 难点 中心对称与旋转之间的关系 一 自学指导 10 分钟 自学 1 中心对称 对称中心 对称点等概念 把一个图形绕某一个点旋转 180 如 果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 central symmetry 这个点叫做对称中心 这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点 自学 2 中心对称的性质 1 关于中心对称的两个图形 对称点所连线段都经过对称中心 而且被对称中心所平 分 2 关于中心对称的两个图形是全等图形 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 8 分钟 1 如图 四边形 ABCD 绕 D 点旋转 180 请作出旋转后的图案 写出作法并回 答 1 这两个图形是中心对称图形吗 如果是 对称中心是哪一点 如果不是 请说明理 由 2 如果是中心对称 那么 A B C D 关于中心对称的对称点是哪些点 解 1 根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形 对称中心是 D 点 2 A B C D 关于中心 D 的对称点是 A B C D 这里的 D 与 D 重合 2 如图 已知 AD 是 ABC 的中线 作出以点 D 为对称中心 与 ABD 成中心对称的三角形 分析 因为 D 是对称中心且 AD 是 ABC 的中线 所以 C B 为一对对应点 因此 只要再作出 A 关于 D 的对应点即可 解 1 延长 AD 且使 AD DA 因为 C 点关于 D 的中心对称点是 B C A 点关于 中心 D 的对称点为 A 2 连接 A B A C 则 A B D 为所求作的三角形 如图所示 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 5 分 钟 如图 已知四边形 ABCD 和点 O 画四边形 A B C D 使四边形 A B C D 和四 边形 ABCD 关于点 O 成中心对称 只保留作图痕迹 不要求写出作法 点拨精讲 1 画法总结 2 性质归纳 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 10 分 钟 1 如图 等边 ABC 内有一点 O 试说明 OA OB OC 解 如图 把 AOC 以 A 为旋转中心顺时针方向旋转 60 后 到 AO B 的位置 则 AOC AO B AO AO OC O B 又 OAO 60 AO O 为等边三角形 AO OO 在 BOO 中 OO OB BO 即 OA OB OC 点拨精讲 要证明 OA OB OC 必然把 OA OB OC 转化在一个三角形内 应用 两边之和大于第三边 两点之间线段最短 来说明 因此要应用旋转 以 A 为旋转中心 旋 转 60 便可把 OA OB OC 转化在一个三角形内 2 教材第 66 页练习 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 1 中心对称及对称中心的概念 2 关于中心对称的两个图形的性质 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 23 2 2 中心对称图形 1 掌握中心对称图形的定义 2 准确判断某图形是否为中心对称图形 重点 中心对称图形的判断 难点 两个图形成中心对称和中心对称图形的关系 以及中心对称图形的判定 一 自学指导 7 分钟 自学 自学课本 P66 67 的内容 探究 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180 如果旋转后的图 形能够与原来的图形重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点就是它的对称中心 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 3 分钟 将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转 180 后 得到右图 你知道旋转了哪一张扑 克吗 议一议 解 J 点拨精讲 这里相当于问哪一张扑克牌是中心对称图形 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 8 分 钟 1 我们已学过许多几何图形 下列几何图形中 哪些是中心对称图形 对称中心是什 么 出示课件图片 1 平行四边形 2 矩形 3 菱形 4 正方形 5 正三角形 6 线段 7 角 8 等腰梯形 解 常见的中心对称图形 线段 线段中点 平行四边形 对角线交点 矩形 菱形 正方形 圆 圆心 等 2 中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系 解 区别 中心对称指两个全等图形的相互位置关系 中心对称图形指一个图形本身 成中心对称 联系 如果将成中心对称的两个图形看成一个整体 则它们是中心对称图形 如果将 中心对称图形对称的部分看成两个图形 则它们成中心对称 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 15 分 钟 1 英文大写字母中有哪些中心对称图形 答 H I N O S X Z 2 说一说 在生活中你还见过哪些中心对称图形 学生思考 举例 回答问题 教师展示图片 归纳总结 3 想一想 你学过的几何图形具有怎样的对称性 点拨精讲 边数为奇数的正多边形只是轴对称图形而不是中心对称图形 边数为偶数 的正多边形既是轴对称图形 又是中心对称图形 4 课本第 67 页小练习 2 点拨精讲 怎样判断非常见几何图形是否为中心对称图形的妙法 将书本转 180 即倒过来后 看图形是否与原来一样 5 如果公园里的草坪是下面的形状 你能否只修一 条笔直的小路就将这块草坪分成面积相等的两部分 点拨精讲 由两个中心对称图形构成的图形 过两个对称中心的直线 把这个图形分 成的两部分面积相等 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 1 中心对称图形的定义 2 怎样准确判断某图形是否为中心对称图形 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 23 2 3 关于原点对称的点的坐标 掌握两个点关于原点对称时的坐标特征 能够运用特征解决相关问题 重点 关于原点对称的点的坐标的关系及初步应用 难点 关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题 一 自学指导 10 分钟 自学 自学课本 P68 的内容 思考 关于原点作中心对称时 1 它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系 纵坐 标与纵坐标的绝对值又有什么关系 2 坐标与坐标之间符号又有什么特点 点拨精讲 1 横坐标与横坐标的绝对值相等 纵坐标与纵坐标的绝对值相等 2 坐标 符号相反 即 P x y 关于原点 O 的对称点为 P x y 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 8 分钟 1 如图 在直角坐标系中 已知 A 3 1 B 4 0 C 0 3 D 2 2 E 3 2 F 2 2 作出 A B C D E F 点关于原点 O 的中心对称点 写出它 们的坐标 并回答 这些坐标与已知点的坐标有什么关系 解 A B C D E F 点关于原点 O 对称点分别为 A 3 1 B 4 0 C 0 3 D 2 2 E 3 2 F 2 2 这些点的横纵坐标与已知点的横纵坐标互为相反数 2 如图 利用关于原点对称的点的坐标的特点 作出与 ABC 关于原点对称的图 形 解 ABC 的三个顶点 A 2 2 B 4 1 C 1 1 关于原点的对称点分别为 A 2 2 B 4 1 C 1 1 依次连接 A B B C A C 就可得到与 ABC 关于原点对称的 A B C 如右图所示 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 8 分 钟 如图 直线 AB 与 x 轴 y 轴分别相交于 A B 两点 将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90 得到直线 A1B1 1 在图中画出直线 A1B1 2 求出过线段 A1B1中点的反比例函数解析式 3 是否存在另一条与直线 A1B1平行的直线 y kx b 我们发现互相平行的两条直线斜 率 k 值相等 它与双曲线只有一个交点 若存在 求此直线的函数解析式 若不存在 请 说明理由 点拨精讲 1 只需画出 A B 两点绕点 O 顺时针旋转 90 得到的点 A1 B1 连接 A1B1 2 先求出 A1B1中点的坐标 设反比例函数解析式为 y 代入求 k k x 3 要回答是否存在 如果你判断存在 只需找出即可 如果不存在 才加以说明 这 一条直线是存在的 因为 A1B1与双曲线是相切的 只要我们通过 A1B1的坐标作 A1 B1关 于原点的对称点 A2 B2 连接 A2B2的直线就是我们所求的直线 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 7 分钟 1 已知 ABC A 1 2 B 1 3 C 2 4 利用关于原点对称的点的坐标的 特点 作出 ABC 关于原点对称的图形 点拨精讲 先在直角坐标系中画出 A B C 三点并连接组成 ABC 要作出 ABC 关于原点 O 的对称三角形 只需作出 ABC 中的 A B C 三点关于原点的对称点 依次 连接 便可得到所求作的 A B C 2 教材 P69的第 1 2 3 题 学