浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题(全WORD版)

1 2017 2018 学年杭州市第二次高考科目教学质量检测 高三数学检测试卷 2018 04 23 考生须知 1 本卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 2 答题前 在答题卷密封线内填写学校 班级和姓名 3 所有答案必须写在答题卷上 写在试卷上无效 4 考试结束 只需上交答题卷 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 4 分 共 40 分 1 已知集合 A x x 1 B x x 2 则 A B A x 1 x 2 B x x 1 C x x 2 D x x 1 2 设 a R 若 1 3i 1 ai R i 是虚数单位 则 a A 3 B 3 C D 1 3 1 3 3 二项式的展开式中 x3项的系数是 5 1 2 x x A 80 B 48 C 40 D 80 4 设圆 C1 x2 y2 1 与 C2 x 2 2 y 2 2 1 则圆 C1与 C2的位置关系是 A 外离 B 外切 C 相交 D 内含 5 若实数 x y 满足约束条件 设 z x 2y 则 2x 3y 90 x 2y 10 A z 0 B 0 z 5 C 3 z 5 D z 5 6 设 a b 0 e 为自然对数的底数 若 ab ba 则 A ab e2 B ab C ab e2 D ab e2 2 1 e 7 已知 0 a 随机变量 的分布列如下 1 4 1 0 1 P3 4 1 4 a a 当 a 增大时 A E 增大 D 增大 B E 减小 D 增大 C E 增大 D 减小 D E 减小 D 减小 8 已知 a 0 且 a 1 则函数 f x x a 2lnx A 有极大值 无极小值 B 有极小值 无极大值 C 既有极大值 又有极小值 D 既无极大值 又无极小值 9 记 M 的最大值和最小值分别为 Mmax 和 Mmin 若平面向量 a b c 满足 a b a b c a 2b 2c 2 则 2 A a c max B a c max 37 2 37 2 C a c min D a c min 37 2 37 2 10 已知三棱锥 S ABC 的底面 ABC 为正三角形 SA SB SC 平面 SBC SCA SAB 与 平面 ABC 所成的锐二面角分别为 1 2 3 则 A 1 2 B 1 2 C 2 3 D 2 3 二 填空题 本大题共 7 小题 第 11 14 题 每小题 6 分 15 17 每小题 4 分 共 36 分 11 双曲线 1的渐近线方程是 离心率是 2 2 2 x y 12 设各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为Sn 若S4 80 S2 8 则公比 q a5 13 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 表面积是 14 在 ABC中 若sinA sinB sinC 2 3 4 则cosC 当BC 1时 则 ABC的面积 等于 15 盒子里有完全相同的6个球 每次至少取出1个球 取出不放回 取完为止 则共有 种不 同的取法 用数字作答 16 设函数f x x R 满足 f x x2 f x 1 x2 则f 1 1 4 3 4 17 在 ABC 中 角A B C 所对的边分别为a b c 若对任意 R 不等式 恒成立 则的最大值为 三 解答题 本大题共5小题 共74分 18 本题满分14分 已知函数f x 求f x 的最小正周期和最大值 求函数y f x 的单调减区间 3 19 本题满分 15 分 如图 在等腰三角形 ABC 中 AB AC A 120 M 为线段 BC 的中点 D为线段BC上一点 且BD BA 沿直线AD将 ADC翻折至 ADC 使AC BD 证明 平面AMC 平面ABD 求直线C D与平面ABD所成的角的正弦值 20 本题满分15分 已知函数f x 2 lnx xx 求函数f x 的导函数f x 证明 f x e为自然对数的底数 1 2e e 4 21 本题满分15分 如图 过抛物线M y x2上一点A 点A不与原点O重合 作抛物线M的切线 AB交y轴于点B 点C是抛物线M上异于点A的点 设G为 ABC的重心 三条中线的交点 直线 CG交y轴于点D 设A x0 x02 x0 0 求直线AB的方程 求的值 OB OD 22 本题满分15分 已知数列 an 满足a1 1 an 1 an c 0 n N n c a 证明 an 1 an 1 若对任意n N 都有 证明 对于任意m N 当n m时 nm m c anma a 51 2 n n a 5 2017 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准数学试题参考答案及评分标准 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分 分 题号12345678910 答案ABD ADCACAA 二 填空题 共二 填空题 共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分 分 11 12 3 16213 14 2 2 yx 6 2 14 3 6 613 1 4 3 15 16 15 3216 17 3 4 三 解答题 三 解答题 本大题共本大题共 5 小题 共小题 共 74 分分 18 本题满分 14 分 因为 sin x cos x 7 4 3 4 所以 f x 2sin x 2sin x 7 4 3 4 所以函数 f x 的最小正周期是 2 最大值是 2 7 分 因为 f x 2sin x 3 4 所以单调递减区间为 2k 2k k Z 14 分 5 4 9 4 19 本题满分 15 分 有题意知 AM BD 又因为 AC BD 所以 BD 平面 AMC 因为 BD平面 ABD 所以平面 AMC 平面 AB D 7 分 在平面 AC M 中 过 C 作 C F AM 交 AM 于点 F 连接 F D 由 知 C F 平面 ABD 所以 C DF 为直线C D 与 平面所成的角 ABD 设 AM 1 则 A B C D M F 第 19 题 6 AB AC 2 BC MD 2 33 DC DC 3 2 AD 362 在 Rt C MD 中 22222 3 32 23 MCC DMD 9 4 3 设 AF x 在 Rt C FA 中 AC 2 AF2 MC 2 MF2 即 4 x2 9 4 x 1 2 3 解得 x 2 2 即 AF 2 2 33 所以 C F 2 2 33 故直线与平面所成的角的正弦值等于 C D ABD C F AF 2 33 31 15 分 20 本题满分 15 分 I 6 分 22 1 21 ln xxx fx xx 设 111 lnln 21242 x g xxx xx 则函数 g x 在单调递减 且 0 e 0g e 0g 所以存在 使 g x0 0 即 0 e e x 0 0 0 1 ln0 21 x x x 所以 x0 1 2x0 1 lnx0 0 所以 f x 0 且 f x 在区间 0 x0 单调递增 区间 x0 单调递减 所以 f x f x0 0 00 ln 1 x xx 15 分 00 11 21 2eexx 21 本题满分 15 分 因为 y 2x 所以直线 AB 的斜率 k y 2x0 0 x x 所以直线 AB 的方程 y x0 2x0 x x0 即 y 2x0 x 6 分 2 0 x 由题意得 点 B 的纵坐标 yB 所以 AB 中点坐标为 2 0 x 0 0 2 x 7 设 C x1 y1 G x2 y2 直线 CG 的方程为 x my x0 1 2 由 联立得 m2y2 mx0 1 y 0 0 2 1 2 xmyx yx 2 0 1 4 x 因为 G 为 ABC 的重心 所以 y1 3y2 由韦达定理 得 y1 y2 4y2 y1y2 3 0 2 1mx m 2 20 2 2 4 x y m 所以 22 00 42 1 1612 mxx mm 解得 mx0 32 3 所以点 D 的纵坐标 yD 2 00 264 3 xx m 故 15 分 4 36 B D yOB ODy 22 本题满分 15 分 因为 c 0 所以 an 1 an an n N n c a 下面用数学归纳法证明 an 1 当 n 1 时 a1 1 1 假设当 n k 时 ak 1 则当 n k 1 时 ak 1 ak ak 1 k c a 所以 当 n N 时 an 1 所以 an 1 an 1 5 分 当 n m 时 an am 所以 an 1 an an n c a m c a 所以 an 1 an 累加得 an am n m m c a m c a 所以 9 分 nm m c anma a 若 当时 1 2 c 2 82 21 c m c 所以 2