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文档简介

Wallis 公式及其应用公式及其应用 本文讲述本文讲述 Wallis 公式公式 以及它的推导过程 然后讲述 Wallis 公式的两个重要应用 即推导推导 Stirling 公式公式和求解求解 Euler Poisson 积分积分 Contens 1 什么是什么是 Wallis 公式公式 2 Wallis 公式的推导过程公式的推导过程 3 利用利用 Wallis 公式推导公式推导 Stirling 公式公式 4 利用利用 Wallis 公式求解公式求解 Euler Poisson 积分积分 1 什么是什么是 Wallis 公式公式 Wallis 公式是关于圆周率的无穷乘积的公式 公式内容如下 其中 开方 后还可以写成 2 Wallis 公式的推导过程公式的推导过程 Wallis 公式的推导采用对在区间内的积分完成 令 用部分积分法得到如下推导过程 进一步得到 所以继续得到 所以最终得到 由的单调性可知 即得到 由两边夹挤准则两边夹挤准则得到 这样就推导出了 Wallis 公式公式 3 利用利用 Wallis 公式推导公式推导 Stirling 公式公式 斯特林公式斯特林公式如下 接下来利用 Wallis 公式公式来推导斯特林公式斯特林公式 借助函数的图像面积 通常有三种求法 分别是积分法积分法 内接梯形分割法内接梯形分割法 外切梯外切梯 形分割法形分割法 实 际上最准确的是第一种 后面两种都有一定误差 对于积分法求面积有 对于内接梯形分割法有 很容易知道 令 很容易证明为有界递增序列 则 接下来令 则有极限 设 则根据 Wallis 公式公式得到 进一步化简得到 所以最终得到 带入原式得到斯特林公式斯特林公式 4 利用利用 Wallis 公式求解公式求解 Euler Poisson 积分积分 在上面 我通过 Wallis 公式完美地推导了斯特林公式 接下来继续看 Wallis 公式的另一个应 用 即求解求解 Euler Poisson 积分积分 Euler Poisson 积分是无限区间上的非正常积分 它在概率论等数学分支以及其它自然科学中都有重要应用 由于它的被积函数的原函数不能用初 等函数表示 因此不能用牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式求它的值 现在我就用上面学到的 Wallis 公式来求解 借助函数在时取得最大值 1 因此对于任何 都有 从 而得到和 所以 对任意自然数都有 由于 那么 我们又知道 即得到不等式为 同时取平
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