矩阵乘积的运算法则的证明

精品文档 1欢迎下载 矩矩阵阵乘乘积积的的运运算算法法则则的的证证明明 矩矩阵阵乘乘积积的的运运算算法法则则 乘法结合律 若 则 1 nm CA pn CB qp CC CABBCA 乘法左分配律 若和是两个矩阵 且是一个矩阵 则 2ABnm Cpn BCACCBA 乘法右分配律 若是一个矩阵 并且和是两个矩阵 则 3Anm BCpn BCACCBA 若是一个标量 并且和是两个矩阵 则 4 ABmn BABA 证明证明 1 先设阶矩阵为 n ij aA ij bB ij cC ij dAB ij eBC 有矩阵的乘法得 ij fABC ij gBCA njibababad njinjijiij 2 1 2211 njicbcbcbe njinjijiij 2 1 2211 njicdcdcdf njinjijiij 2 1 2211 njieaeaeag njinjijiij 2 1 2211 故对任意有 nji 2 1 njinjijiij cdcdcdf 2211 jninii cbababa 11212111 jninii cbababa 22222121 njnninnini cbababa 2211 12121111njnjji cbcbcba 精品文档 2欢迎下载 22221212njnjji cbcbcba 2211njnnjnjnin cbcbcba njinjiji eaeaea 2211 ij g 故 BCACAB 再看 mnik aA npkj bB pqjt cC mpij dAB nqkt eBC mqit gBCA 有矩阵的乘法得 njibababad njinjijiij 2 1 2211 qtnkcbcbcbe ptkptktkkt 2 1 2 1 2211 qtmicdcdcdf ptiptitiit 2 1 2 1 2211 qtmieaeaeag ntintitiit 2 1 2 1 2211 故对任意的 有 2 1mi 2 1pj 2 1nk qt 2 1 ptiptitiit cdcdcdf 2211 tninii cbababa 11212111 tninii cbababa 22222121 ptnpinpipi cbababa 2211 12121111ptptti cbcbcba 22221212ptptti cbcbcba 2211ptnptntnin cbcbcba 6 ntintiti eaeaea 2211 ij g 精品文档 3欢迎下载 故 BCACAB 证明证明 2 设表示矩阵的第 行 第列上的元素 则有 ij AAij kj k ikikij CBACBA kj k ik k kjik CBCA ijij BCAC 故证出矩阵乘法左分配律 证明证明 3 同理矩阵乘法左分配律可得 ijij BCAC kj k ik k kjik CBCA kj k ikik CBA ij CBA 故证出矩阵乘法左分配律 证明证明 4 设 mnmm n n mnij aaa aaa aaa aA 21 22221 11211 mnmm n n mnij bbb bbb bbb bB 21 22221 11211 可得 BA mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 2211 2222222121 1112121111 BA 2211 2222222121 1112121111 mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 精品文档 4欢迎下载 A mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 B mnmm n n bbb bbb bbb 21 22221 11211 BA 2211 2222222121 1112121111 mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 所