2008年高考北京数学理(含答案)

巨人高考网 第 1 页 共 11 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷 北京卷 数学 理工农医类 数学 理工农医类 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 9 页 共 150 分 考试时间 120 分钟 考试结束 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 选择题 共 40 分 注意事项 1 答第 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂写在答题卡上 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干 净后 再选涂其他答案 不能答在试卷上 一 本大题共一 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的 一项 一项 1 已知全集 集合 那么集合U R 23Axx 14Bx xx 或 等于 U AB A B 24xx 34x xx或 C D 21xx 13xx 2 若 则 0 5 2a log 3b 2 2 log sin 5 c A B C D abc bac cab bca 3 函数存在反函数 是 函数在上为增函数 的 f x x R f xR A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 4 若点到直线的距离比它到点的距离小 1 则点的轨迹为 P1x 2 0 P A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 5 若实数满足则的最小值是 xy 10 0 0 xy xy x 2 3x y z A 0B 1C D 93 6 已知数列对任意的满足 且 那么等于 n a pq N p qpq aaa 2 6a 10 a 巨人高考网 第 2 页 共 11 页 A B C D 165 33 30 21 7 过直线上的一点作圆的两条切线 当直线关于对yx 22 5 1 2xy 12 ll 12 ll yx 称时 它们之间的夹角为 A B C D 30 45 60 90 8 如图 动点在正方体的对角线上 过点作垂直于平面的P 1111 ABCDABC D 1 BDP 11 BB D D 直线 与正方体表面相交于 设 则函数的图象大致是 MN BPx MNy yf x AB C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O y x D O 2008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理工农医类 数学 理工农医类 北京卷 北京卷 第第 卷卷 共 110 分 注意事项 注意事项 1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2 答卷前将密封线内的项目填写清楚 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 9 已知 其中 是虚数单位 那么实数 2 2aii ia 10 已知向量与的夹角为 且 那么的值为 ab120 4 ab 2 Abab 11 若展开式的各项系数之和为 32 则 其展开式中的常数项为 2 3 1 n x x n 用数字作答 12 如图 函数的图象是折线段 其中的坐标分别为 则 f xABCABC 0 4 2 0 6 4 0 f f 用数字作答 0 1 1 lim x fxf x 2 B C A y x 1O3 4 5 6 1 2 3 4 巨人高考网 第 3 页 共 11 页 13 已知函数 对于上的任意 有如下条件 2 cosf xxx 2 2 12 xx 12 xx 22 12 xx 12 xx 其中能使恒成立的条件序号是 12 f xf x 14 某校数学课外小组在坐标纸上 为学校的一块空地设计植树方案如下 第棵树种植在点k 处 其中 当时 kkk P xy 1 1x 1 1y 2k 1 1 12 1 5 55 12 55 kk kk kk xxTT kk yyTT 表示非负实数的整数部分 例如 T aa 2 6 2T 0 2 0T 按此方案 第 6 棵树种植点的坐标应为 第 2008 棵树种植点的坐标应为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 已知函数 的最小正周期为 2 sin3sinsin 2 f xxxx 0 求的值 求函数在区间上的取值范围 f x 2 0 3 16 本小题共 14 分 如图 在三棱锥中 PABC 2ACBC 90ACB APBPAB PCAC 求证 PCAB 求二面角的大小 BAPC 求点到平面的距离 CAPB A C B P 巨人高考网 第 4 页 共 11 页 17 本小题共 13 分 甲 乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务 每个岗位至少有一名ABCD 志愿者 求甲 乙两人同时参加岗位服务的概率 A 求甲 乙两人不在同一个岗位服务的概率 设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数 求的分布列 A 18 本小题共 13 分 已知函数 求导函数 并确定的单调区间 2 2 1 xb f x x fx f x 19 本小题共 14 分 已知菱形的顶点在椭圆上 对角线所在直线的斜率为 1 ABCDAC 22 34xy BD 当直线过点时 求直线的方程 BD 01 AC 当时 求菱形面积的最大值 60ABC ABCD 20 本小题共 13 分 对于每项均是正整数的数列 定义变换 将数列变换成数列 12n Aaaa 1 T 1 TA 1 T A 12 111 n naaa 对于每项均是非负整数的数列 定义变换 将数列各项从大到小排列 12m Bbbb 2 T 2 TB 然后去掉所有为零的项 得到数列 2 T B 又定义 222 1212 2 2 mm S Bbbmbbbb 设是每项均为正整数的有穷数列 令 0 A 121 012 kk AT T Ak 如果数列为 5 3 2 写出数列 0 A 12 AA 对于每项均是正整数的有穷数列 证明 A 1 S T AS A 证明 对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 存在正整数 当时 0 AKkK 1 kk S AS A 巨人高考网 第 5 页 共 11 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理工农医类 数学 理工农医类 北京卷 参考答案 北京卷 参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 分 1 D2 A3 B4 D5 B6 C7 C8 B 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分 分 9 10 11 51012 1 022 13 14 12 3 402 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分 分 15 共 13 分 解 1 cos23 sin2 22 x f xx 311 sin2cos2 222 xx 1 sin 2 62 x 因为函数的最小正周期为 且 f x 0 所以 解得 2 2 1 由 得 1 sin 2 62 f xx 因为 2 0 3 x 所以 7 2 666 x 所以 1 sin 21 26 x 因此 即的取值范围为 13 0sin 2 622 x f x 3 0 2 16 共 14 分 解法一 取中点 连结 ABDPDCD APBP PDAB ACBC A C B D P 巨人高考网 第 6 页 共 11 页 CDAB PDCDD 平面 AB PCD 平面 PC PCD PCAB ACBC APBP APCBPC 又 PCAC PCBC 又 即 且 90ACB ACBC ACPCC 平面 BC PAC 取中点 连结 APEBECE ABBP BEAP 是在平面内的射影 EC BEPAC CEAP 是二面角的平面角 BEC BAPC 在中 BCE 90BCE 2BC 3 6 2 BEAB 6 sin 3 BC BEC BE 二面角的大小为 BAPC 6 arcsin 3 由 知平面 AB PCD 平面平面 APB PCD 过作 垂足为 CCHPD H 平面平面 APB PCDPD 平面 CH APB 的长即为点到平面的距离 CH CAPB 由 知 又 且 PCAB PCAC ABACA 平面 PC ABC 平面 CD ABC PCCD 在中 RtPCD 1 2 2 CDAB 3 6 2 PDPB 22 2PCPDCD A C B E P A C B D P H 巨人高考网 第 7 页 共 11 页 2 3 3 PC CD CH PD A 点到平面的距离为 CAPB 2 3 3 解法二 ACBC APBP APCBPC 又 PCAC PCBC ACBCC 平面 PC ABC 平面 AB ABC PCAB 如图 以为原点建立空间直角坐标系 CCxyz 则 0 0 0 0 2 0 2 0 0 CAB 设 0 0 Pt 2 2PBAB 2t 0 0 2 P 取中点 连结 APEBECE ACPC ABBP CEAP BEAP 是二面角的平面角 BEC BAPC 011 E 011 EC 211 EB 23 cos 326 EC EB BEC EC EB A AA 二面角的大小为 BAPC 3 arccos 3 ACBCPC 在平面内的射影为正的中心 且的长为点到平面的距离 C APBAPB HCHCAPB 如 建立空间直角坐标系 Cxyz 2BHHE A C B P z x y H E 巨人高考网 第 8 页 共 11 页 点的坐标为 H 2 2 2 3 3 3 2 3 3 CH 点到平面的距离为 CAPB 2 3 3 17 共 13 分 解 记甲 乙两人同时参加岗位服务为事件 那么 A A E 3 3 24 54 1 40 A A P E C A 即甲 乙两人同时参加岗位服务的概率是 A 1 40 记甲 乙两人同时参加同一岗位服务为事件 那么 E 4 4 24 54 1 10 A P E C A 所以 甲 乙两人不在同一岗位服务的概率是 9 1 10 P EP E 随机变量可能取的值为 1 2 事件 是指有两人同时参加岗位服务 2 A 则 23 53 34 54 1 2 4 C A P C A 所以 的分布列是 3 1 1 2 4 PP 13 P 3 4 1 4 18 共 13 分 解 2 4 2 1 2 2 1 1 xxbx fx x A 3 222 1 xb x 3 2 1 1 xb x 巨人高考网 第 9 页 共 11 页 令 得 0fx 1xb 当 即时 的变化情况如下表 1 1b 2b fx x 1 b 1b 11 b 1 fx 0 当 即时 的变化情况如下表 11b 2b fx x 1 11 b 1b 1 b fx 0 所以 当时 函数在上单调递减 在上单调递增 2b f x 1 b 11 b 在上单调递减 1 当时 函数在上单调递减 在上单调递增 在上单调递2b f x 1 11 b 1 b 减 当 即时 所以函数在上单调递减 在上单调11b 2b 2 1 f x x f x 1 1 递减 19 共 14 分 解 由题意得直线的方程为 BD1yx 因为四边形为菱形 所以 ABCDACBD 于是可设直线的方程为 ACyxn 由得 22 34xy yxn 22 46340 xnxn 因为在椭圆上 AC 所以 解得 2 12640n 4 34 3 33 n 设两点坐标分别为 AC 1122 xyxy 则 12 3 2 n xx 2 12 34 4 n x x 11 yxn 22 yxn 巨人高考网 第 10 页 共 11 页 所以 12 2 n yy 所以的中点坐标为 AC 3 44 n n 由四边形为菱形可知 点在直线上 ABCD 3 44 n n 1yx 所以 解得 3 1 44 nn 2n 所以直线的方程为 即 AC2yx 20 xy 因为四边形为菱形 且 ABCD60ABC 所以 ABBCCA 所以菱形的面积 ABCD 23 2 SAC 由 可得 2 2 22 1212 316 2 n ACxxyy 所以 2 34 34 3 316 433 Snn 所以当时 菱形的面积取得最大值 0n ABCD4 3 20 共 13 分 解 05 3 2 A 10 3 4 21T A 1210 4 3 21AT T A 11 4 3 210T A 2211 4 3 21AT T A 证明 设每项均是正整数的有穷数列为 A 12n aaa 则为 1 T An 1 1a 2 1a 1 n a 从而 巨人高考网 第 11 页 共 11 页 112 2 2 1 3 1 1 1 n S T Anaana 2222 12 1 1 1 n naaa 又 222 1212 2 2 nn S Aaanaaaa 所以 1 S T AS A 12 2 23 1 2 n nnaaa 2 12 2 n naaan 2 1 0n nnn 故 1 S T AS A 证明 设是每项均为非负整数的数列 A 12n aaa 当存在 使得时 交换数列的第 项与第项得到数列 1ijn ij aa AijB 则 2 jiij S