现代控制理论-大作业-倒立摆

摘要摘要 倒立摆系统是一个复杂的 高度非线性的 不稳定的高阶系统 是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置 倒立摆的控制是控 制理论应用的一个典型范例 一个稳定的倒立摆系统对于证实状态 空间理论的实用性是非常有用的 本文主要研究的是二级倒立摆的极点配置方法 首先用 Lagrange方程建立了二级倒立摆的数学模型 然后对二级倒立摆系 统的稳定性进行了分析和研究 并给出了系统能控能观性的判别 基于现代控制理论中的极点配置理论 根据超调量和调整时间来配 置极点 求出反馈矩阵并利用Simulink对其进行仿真 得到二级倒 立摆的变化曲线 实现了对闭环系统的稳定控制 关键词 二级倒立摆 极点配置 Simulink 目录 1 绪论 1 2 数学模型的建立和分析 1 2 1 数学建模的方法 1 2 2 二级倒立摆的结构和工作原理 2 2 3 拉格朗日运动方程 3 2 4 推导建立数学模型 4 3 二级倒立摆系统性能分析 10 3 1 稳定性分析 10 3 2 能控性能观性分析 11 4 状态反馈极点配置 12 4 1 二级倒立摆的最优极点配置 1 12 4 2 二级倒立摆最优极点配置 2 13 5 二级倒立摆 matlab 仿真 15 5 1 Simulink 搭建开环系统 15 5 2 开环系统 Simulink 仿真结果 15 5 3 Simulink 搭建极点配置后的闭环系统 16 5 4 极点配置 Simulink 仿真结果 17 5 4 1 第一组极点配置仿真结果 17 5 4 2 第二组极点配置仿真结果 19 6 结论 20 7 参考文献 21 附录一 22 1 1 绪论绪论 倒立摆最初诞生于麻省理工学院 仅有一级摆杆 另一端铰接于可以在直 线导轨上自由滑动的小车上 后来在此基础上 人们又进行拓展 设计出了直 线二级倒立摆 环型倒立摆 平面倒立摆 柔性连接倒立摆 多级倒立摆等实 验设备 在控制理论的发展过程中 为验证某一理论在实际应用中的可行性需要按 其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证 倒立摆系统作为一个实验装 置 形象直观 结构简单 成本低廉 作为一个控制对象 他又相当复杂 同 时就其本身而言 是一个高阶次 不稳定 多变量 非线性 强耦合系统 只 有采取行之有效的控制方法才能使之稳定 因此倒立摆装置被公认为是自动控 制理论中的典型实验设备 综合文献资料 倒立摆控制的方法主要有 PID 控制 状态反馈 利用云 模型 神经网络控制 遗传算法 自适应控制 模糊控制 变论域自适应模糊 控制理论 智能控制等多种算法来实现倒立摆的控制 本文主要构建二级倒立摆的数学模型的建立与分析 对倒立摆系统进行控 制方法的研究 本文就以下几个问题进行了论述 1 二级倒立摆的数学模型的建立与分析 在建模部分 首先采用拉格朗日方程推导数学模型 并对系统的可控性可 观性进行分析 并分析倒立摆系统控制的难易程度 2 二级倒立摆的控制原理及方法的研究 本文主要采用状态反馈极点配置的方法对二级倒立摆进行研究 3 采用 Matlab 语言进行数字仿真 分析仿真结果 2 数学模型的建立和分析数学模型的建立和分析 2 1 数学建模的方法数学建模的方法 所谓系统的数学模型就是利用数学结构来反映系统内部之间 内部与外部 某些因素之间的精确的定量的表示 它是分析 设计 预报和控制一个系统的 2 基础 所以要对一个系统进行研究 首先要建立它的数学模型 建立倒立摆系统的模型时 一般采用牛顿运动规律 结果要解算大量的微 分方程组 而且考虑到质点组受到的约束条件 建模问题将更加复杂 为此本 文采用分析力学方法中的 Lagrange 方程推导倒立摆的系统模型 Lagrange 方 程有如下特点 1 它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式 方程式的数目和系 统的自由度是一致的 2 理想约束反力不出现在方程组中 因此在建立运动方程式时 只需分析 已知的主动力 而不必分析未知的约束反力 3 Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程 为了列出系统的运动 方程 只需要从两个方面去分析 一个是表征系统运动的动力学量 系统的动 能 另一个是表征主动力作用的动力学量 广义力 因此用 Lagrange 方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程 2 2 二级倒立摆的结构和工作原理二级倒立摆的结构和工作原理 如图 2 1 系统包括计算机 运动控制卡 伺服机构 倒立摆本体 小车 上摆 下摆 皮带轮等 和光电码盘几大部分 组成了一个闭环系统 光电码 盘 1 将小车的位移 速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡 下面一节摆杆 和小车相连 的角度 角速度信号由光电码盘 2 反馈回控制卡和伺服驱动器 上面一节摆杆的角度和角速度信号则由光电码盘 3 反馈 计算机从运动控制卡 中读取实时数据 确定控制决策 小车向哪个方向移动 移动速度 加速度等 并由运动控制卡来实现该控制决策 产生相应的控制量 使电机转动 带动小 车运动 保持两节摆杆的平衡 3 图 2 1 系统结构和工作原理图 2 3 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程 拉格朗日提出了用能量的方法推导物理系统的数学模型 首先我们引入广 义坐标 拉格朗日方程 广义坐标 系统的广义坐标是描述系统运动必需的一组独立坐标 广义坐 标数等同于系统自由度数 如果系统的运动用n维广义坐标q1 q2 qn来表示 我们可以把这n维广义坐标看成是n维空间的n位坐标系中的坐标 对于任一 系统可由n维空间中的一点来表征 系统在n维空间中运动形成的若干系统点 连成一条曲线 此曲线表示系统点的轨迹 拉格朗日方程 2 1 式中 拉格朗日算子 L 系统的广义坐标 q 系统的动能 T 系统的势能 V 拉格朗日方程由广义坐标和表示为 i qL 2 2 4 式中 系统沿该广义坐标方向上的外力 在本系统中 设ni 3 2 1 i f 系统的三个广义坐标分别是 21 x 2 4 推导建立数学模型推导建立数学模型 在推导数学模型之前 我们需要几点必要的假设 1 上摆 下摆及小车均是刚体 2 皮带轮与传动带之间无相对滑动 传动皮带无伸长现象 3 小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度 4 小车的驱动力与直流放大器的输入成正比 且无滞后 忽略电机电枢绕 组中的电感 5 下摆转动时所受到的摩擦力矩正比于下摆的转动速度 6 上摆运动时所受到的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度 二级倒立摆的运动分析示意图如图 2 2 1 y xx F m1 m3 2 2 M 图 2 2 二级倒立摆运动分析示意图 倒立摆系统参数如下 小车系统的等效质量M 1 32Kg 摆杆 1 质量 0 04Kg 摆杆 1 转动中心到杆质心距离 0 09m 1 m 1 l 摆杆 2 质量m2 0 132Kg 摆杆 2 转动中心到杆质心距离l2 0 27m 质量块质量 0 208Kg作用在系统上的外力F 3 m 5 摆杆 1 与垂直向上方向的夹角摆杆 2 与垂直向上方向的夹角 1 2 首先 计算系统的动能 2 3 321mmmM TTTTT 小车动能 M T 2 4 1 2 2 摆杆 1 动能 1m T 2 5 111mmm TTT 式中 摆杆 1 质心平东动能 1 摆杆 1 绕质心转动动能 1 22 1111 11 sin cos 1 2 m d xld l Tm dtdt 222 11 1111 11 11 cos 22 m xml xml 2 6 2 7 2 1 2 11 2 1 2 11 2 1 1 6 1 3 1 2 1 2 1 lmlmJT pm 则 2 8 2 1 2 111111 2 1 1 11 3 2 cos 2 1 lmxlmxmTTT mmm 摆杆 2 动能 2m T 2 9 222mmm TTT 式中 摆杆 1 质心平东动能 2 摆杆 1 绕质心转动动能 2 22 11221122 222 2 sinsin 2 coscos 11 22 m d xlldll Tmm dtdt 2 10 22 21 1122221 11222 11 2coscos2sinsin 22 mxllmll 2 11 2 2 2 22 2 2 2 22 2 22 2 6 1 3 1 2 1 2 1 lmlmJTm 2 22221 11222 1 22coscos 2 mmm TTTmxxll 2 12 122121 2 2 2 2 2 1 2 12 cos4 3 4 4 2 1 l lllm 6 质量块动能 3m T 22 1111 33 2 sin 2 cos 1 2 m d xldl Tm dtdt 2 13 222 33 1113 11 1 2cos2 2 m xm l xm l 因此 可以得到系统总动能 123Mmmm TTTTT 2222 11 1111 11 112 cos 223 Mxm xml xml 222111 2 2 coscos22 2 1 llxxm 122121 2 2 2 2 2 1 2 12 cos4 3 4 4 2 1 llllm 2 14 2 1 2 131113 2 3 2cos2 2 1 lmxlmxm 系统的势能为 123mmm VVVV 2 15 11131121122 cos2cos2 coscosm glm glm gll 至此得到拉格朗日算子 L LTV 2222 11 1111 11 112 cos 223 Mxm xml xml 222111 2 2 coscos22 2 1 llxxm 122121 2 2 2 2 2 1 2 12 cos4 3 4 4 2 1 l lllm 111 2 1 2 131113 2 3 cos2cos2 2 1 glmlmxlmxm 2 16 22112113 coscos2cos2 llgmglm 由于因为在广义坐标上均无外力作用 有以下等式成立 21 2 17 0 11 LL dt d 7 2 18 0 22 LL dt d 展开 2 17 2 18 式 分别得到 2 19 2 20 式 cos 2 3 3 4 sin 6 122221132121 2 222 lmlmmmlm 2 19 0 cossin 2 11321 xgmmm 2 20 2 21 112221 1212 3 sin6sin 46cos 3 cos0glllx 将 2 19 2 20 式对求解代数方程 得到以下两式 21 21221312111 sin cos 3sin4sin4sin2 3 gmgmgmgm 11 2 22122 2 1212112 cos2 sin 4 sin cos 6 xmlmlm cos cos 3cos4cos4 22121312 xmxmxm 2 21 cos912124 2 21 2 23211 mmmml cos3 sin 6sin3 3 9 4 221 2 1122 2 132122 xlgllmmmm cossin 2 3 sin 6 cos 3 2 1132121 2 222212 2 12 xgmmmlmllm 2 22 cos4 3 9 16 21 22 2 2 1 2 2 2 2 2 13212 llmllmmmm 表示成以下形式 2 23 212111 xxxf 2 24 212122 xxxf 取平衡位置时各变量的初值为零 2 25 1212 0 0 0 0 0 0 0 0Axxx 将 2 23 式在平衡位置进行泰勒级数展开 并线性化 令 2 26 1 110 0 A f K x 2 27 1231 120 11231 3 244 2 4312 A gmgmgmf K mmm l 2 28 12 130 21231 9 2 4312 A fm g K mmm l 8 2 29 1 140 0 A f K x 2 30 1 150 1 0 A f K 2 31 1 160 2 0 A f K 2 32 1231 170 1231 3 24 2 4312 A mmmf K xmmm l 得到线性化之后的公式 2 33 xKKK 172131121 将在平衡位置进行泰勒级数展开 并线性化 令 212122 xxxf 2 34 2 210 0 A f K x 2 35 1232 220 1 2 21232 2 2 16 4 3 9 A g mmmf K m lmmml 2 36 1232 230 2 2 21232 4 3 16 3 4 3 9 A g mmmf K m lmmml 2 37 2 240 0 A f K x 2 38 2 250 1 0 A f K 2 39 2 260 2 0 A f K 2 40 123123 2 270 2 21232 4 2 2 3 3 16 4 3 9 A mmmmmm f K x m lmmml 得到 2 41 xKKK 272231222 即 2 42 xKKK 172131121 9 2 43 xKKK 272231222 现在得到了两个线性微分方程 由于我们采用加速度作为输入 因此还需 加上一个方程 2 44 xu 取状态变量如下 2 45 26 15 4 23 12 1 x x xx x x xx 则状态空间方程如下 2 46 u K K x x x x x x KK KK x x x x x x 27 17 6 5 4 3 2 1 2322 1312 6 5 4 3 2 1 1 0 0 0 0000 0000 000000 100000 010000 001000 将以下参数代入 27 0 09 0 8 9 208 0 132 0 04 0 32 1 2 1 3 2 1 l l g m m m M 求出各个值 K 12 13 17 77 0642 21 1927 5 7012 K K K 22 23 27 38 5321 37 8186 0 0728 K K K 得到状态方程各个参数矩阵 10 000100 000010 000001 000000 077 064221 1927000 038 532137 8186000 A 0728 0 7012 5 1 0 0 0 B 100000 010000 001000 C 3 二级倒立摆系统性能分析二级倒立摆系统性能分析 3 1 稳定性分析稳定性分析 二级倒立摆的特征方程为 3 1 det 0IA Matlab 中 用函数 eig A 来计算系统矩阵的特征值 经过计算 系统的特 征值为 3 2 9 59724 77259 59724 772500 开环系统有两个开环极点位于平面右半平面上 所以系统是不稳定的 S 同时 根据前面的状态空间表达式 在 matlab 中 用 step A B C D 函数 对系统的阶跃响应进行分析 11 0 10 20 30 To Out 1 0 2 4 x 10 27 To Out 2 01234567 4 2 0 x 10 27 To Out 3 Step Response Time seconds Amplitude 图 1 开环系统单位阶跃响应 从上图可以看出 在阶跃响应的作用下 系统是发散的 3 2 能控性能观性分析能控性能观性分析 对于线形状态方程 3 3 XAXBU YCX 其能控性矩阵为 3 4 2345 0 TB AB A B A B A B A B 求的秩 0 T 3 5 0 6rank T 所以系统是完全能控的 其能观性矩阵为 3 6 0 2 3 4 5 12 求的秩 0 C 3 7 0 rank 6C 所以系统是完全能观的 代码见附录 由上述计算结果可知 二级倒立摆系统是开环不稳定系统 但它的状态是 完全能控且完全能观测的 因此 可以对其实现闭环最优控制 4 状态反馈极点配置状态反馈极点配置 4 1 二级倒立摆的最优极点配置二级倒立摆的最优极点配置 1 在式 3 3 中 A 为 6 6 阵 B 为 6 1 阵 C 为 3 6 阵 是一个单输入系统 且完全能控 能观测 因此 可按照最优控制系统的极点配置方法进行设计 对于一般控制系统 闭环主导极点的选取应使 但二级倒立摆 0 4 0 8 是一个特殊的高阶系统 稳定性是主要矛盾 因此可适当增加 即适当降低响 应速度 来弥补系统稳定性要求 相应在选择性能指标时 应适当减小系统的 超调量 对于二阶倒立摆系统 主要针对如下两个主要的性能指标进行设计 超调量 0 005 调节时间 2 5 4 1 1 2 4 2 4 1 2 这里 误差范围取为 2 将上述性能指标代入式 4 1 和式 4 2 得到二级倒 立摆系统的 2 个性能指标满足 取 0 826 2 17 0 826 2 17 将得到的阻尼比与自然角频率代入下式 4 3 1 2 1 2 得到二级倒立摆系统的 2 个主导极点为 4 4 1 1 87 1 11 2 1 87 1 11 对于其他四个非主导极点 不妨设为四重极点 且距主导极点 10 倍以上 即满足下式 4 5 3 4 5 6 10 2 17 21 7 13 所以 另外四个非主导极点取为 3 4 5 6 22 到此 二级倒立摆的 6 个极点都已确定 P 1 87 1 11j 1 87 1 11j 22 22 22 22 4 6 在 matlab 中输入 K acker A B P 可求得 K 1 0e 03 0 5281 0 4618 2 6379 0 5136 0 0797 0 4476 至此 完成了二级倒立摆控制器的设计 接下来在 matlab 中仿真得到 1 0 1 2 x 10 3 To Out 1 2 0 2 x 10 3 To Out 2 00 511 522 533 54 5 0 5 x 10 4 To Out 3 Step Response Time seconds Amplitude 图 2 极点配置后单位阶跃响应 1 4 2 二级倒立摆最优极点配置二级倒立摆最优极点配置 2 在上述基础上 继续调整超调量和调整时间 使二级倒立摆达到稳定 第 二次取 14 超调量 0 05 调节时间 2 5 这里 误差范围仍取为 2 代入式 4 1 和式 4 2 得到二级倒立摆系统的 2 个 性能指标满足 取 0 69 2 51 0 69 2 51 将得到的阻尼比与自然角频率式 4 3 得到第二组主导极点 4 4 1 1 73 1 81 2 1 73 1 81 对于其他四个非主导极点 不妨设为四重极点 且距主导极点 10 倍以上 即满足下式 4 5 3 4 5 6 12 2 5 30 所以 另外四个非主导极点取为 3 4 5 6 30 因此 第二组极点 P2 1 73 1 81j 1 73 1 81j 30 30 30 30 在 matlab 中输入 K2 acker A B P2 可求得 K2 1 0e 03 2 4205 0 5209 7 4977 1 6587 0 2846 1 2008 接下来绘制极点配置后系统的单位阶跃响应图 15 5 0 5 x 10 4 To Out 1 1 0 1 x 10 3 To Out 2 00 511 522 533 544 5 2 0 2 x 10 4 To Out 3 Step Response Time seconds Amplitude 图 3 极点配置后单位阶跃响应 2 16 5 二级倒立摆二级倒立摆 matlab 仿真仿真 5 1 Simulink 搭建开环系统搭建开环系统 图 4 开环系统仿真图 5 2 开环系统开环系统 Simulink 仿真结果仿真结果 17 图 5 开环系统 matlab 仿真结果图 由上图可知 在 Simulink 中搭建的开环系统是发散的 与理论计算的结果吻合 5 3 Simulink 搭建极点配置后的闭环系统搭建极点配置后的闭环系统 图 6 极点配置优化后的系统结构图 18 5 4 极点配置极点配置 Simulink 仿真结果仿真结果 5 4 1 第一组极点配置仿真结果第一组极点配置仿真结果 图 7 极点配置优化后的结果图 图 8 小车位移曲线 19 图 9 一级倒立摆角度曲线 图 10 二级倒立摆角度曲线 从以上的图片可以看出 系统在给定输入的情况下 1 秒左右恢复到平衡 点的位置附近 系统较好的快速性 稳定性和精确性都非常理想 且无超调量 符合要求 20 5 4 2 第二组极点配置仿真结果第二组极点配置仿真结果 图 11 极点配置优化后的结果图 图 12 小车位移曲线 21 图 13 一级倒立摆角度曲线 图 14 二级倒立摆角度曲线 与第一组极点相比 超调量略有增加 但调整时间有所下降 且都达到稳 定状态符合要求 6 结论结论 倒立摆系统就其本身而言 是一个多变量 快速 严重非线性和绝对不稳 定系统 必需采用有效的控制法使之稳定 对倒立摆系统的研究在理论上和方 22 法论上均有着深远的意义 本文借助拉格朗日方程 建立了二级倒立摆的数学模型 并通过线性化 得到了二级倒立摆系统的状态空间模型 应用现代控制理论 分析了倒立摆的 稳定性 能控性 能观性 随后采用二次型最优控制理论研究了倒立摆控制问 题 并且运用状态反馈极点配置的方法得到较好的控制效果 最后进行了 Matlab 仿真 通过优化前后优化后的响应曲线可以看出经过极点配置算法优化后的系 统响应的速度加快 超调量明显减少 稳定时间和上升时间有所减少 系统的 动态性能和静态性能要比没有优化的控制效果好了很多 7 参考文献参考文献 1 刘豹 唐万生 现代控制理论 第三版 机械工业出版社 2 夏德钤 翁贻方 自动控制理论 第 4 版 机械工业出版社 3 李国勇 程永强 计算机仿真技术与 CAD 基于 matlab 的控制系统 第三 版 电子工业出版社 4 基于 LQR 的二级倒立摆控制系统研究 本科毕业论文 5 汤唯 基于