高中数学函数的单调性与最值习题及详解

1 高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解 一 选择题 1 已知 f x x x3 x a b 且 f a f b 0 则 f x 0 在 a b 内 A 至少有一实数根 B 至多有一实数根 C 没有实数根 D 有唯一实数根 答案 D 解析 函数 f x 在 a b 上是单调减函数 又 f a f b 异号 f x 在 a b 内有且仅有一个零点 故选 D 2 2010 北京文 给定函数 y x y log x 1 y x 1 y 2x 1 其中在区间 0 1 上单调递减的 1 2 1 2 函数的序号是 A B C D 答案 B 解析 易知 y x 在 0 1 递增 故排除 A D 选项 又 y log x 1 的图象是由 y log x 的图象向左平移一 1 2 1 2 1 2 个单位得到的 其单调性与 y log x 相同为递减的 所以 符合题意 故选 B 1 2 3 2010 济南市模拟 设 y1 0 4 y2 0 5 y3 0 5 则 1 3 1 3 1 4 A y3 y2 y1 B y1 y2 y3 C y2 y3 y1 D y1 y3 y2 答案 B 解析 y 0 5x为减函数 0 5 0 5 1 3 1 4 y x 在第一象限内是增函数 1 3 0 4 0 5 y1 y2 y3 故选 B 1 3 1 3 4 2010 广州市 已知函数Error 若 f x 在 上单调递增 则实数 a 的取值范围为 A 1 2 B 2 3 C 2 3 D 2 答案 C 解析 f x 在 R 上单调增 Error 2 a 3 故选 C 2 5 文 2010 山东济宁 若函数 f x x2 2x alnx 在 0 1 上单调递减 则实数 a 的取值范围是 A a 0 B a 0 C a 4 D a 4 答案 D 解析 函数 f x x2 2x alnx 在 0 1 上单调递减 当 x 0 1 时 f x 2x 2 0 g x 2x2 2x a 0 在 x 0 1 时恒成立 a x 2x2 2x a x g 0 0 g 1 0 即 a 4 理 已知函数 y tan x 在内是减函数 则 的取值范围是 2 2 A 0 1 B 1 0 C 1 D 1 答案 B 解析 tan x 在上是减函数 2 2 0 当 x 时 有 2 2 x 2 2 2 2 Error 1 log54 log53 0 log53 log53 2 0 而 log45 1 c a b 7 若 f x x3 6ax 的单调递减区间是 2 2 则 a 的取值范围是 A 0 B 2 2 C 2 D 2 答案 C 解析 f x 3x2 6a 若 a 0 则 f x 0 f x 单调增 排除 A 若 a 0 则由 f x 0 得 x 当 x时 f x 0 f x 单调增 当 x0 的 x 的取值范围 1 3 1 27 是 A 3 B 0 1 3 C 0 D 0 3 1 3 答案 D 解析 定义在 R 上的偶函数 f x 在 0 上是增函数 且 f 0 则由 f logx 0 得 logx 即 1 3 1 27 1 27 1 3 logx 或 logxb c B a c b C b c a D c b a 答案 D 解析 f x 在 1 0 上单调增 f x 的图象关于直线 x 0 对称 f x 在 0 1 上单调减 又 f x 的图象关于直线 x 1 对称 f x 在 1 2 上单调增 在 2 3 上单调减 由对称性 f 3 f 1 f 1 f f 2 2 即 a b c 9 2009 天津高考 已知函数 f x Error 若 f 2 a2 f a 则实数 a 的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 答案 C 解析 x 0 时 f x x2 4x x 2 2 4 单调递增 且 f x 0 当 x 0 时 f x 4x x2 x 2 2 4 单调 递增 且 f x f a 得 2 a2 a 2 a 1 10 2010 泉州模拟 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x y f x f y 当 x0 则函数 f x 在 a b 上 有 A 最小值 f a B 最大值 f b C 最小值 f b D 最大值 f a b 2 4 答案 C 解析 令 x y 0 得 f 0 0 令 y x 得 f 0 f x f x f x f x 对任意 x1 x2 R 且 x10 f x1 f x2 f x 在 R 上是减函数 f x 在 a b 上最小值为 f b 二 填空题 11 2010 重庆中学 已知函数 f x ax 4 a b 为常数 f lg2 0 则 f lg b x 1 2 答案 8 解析 令 x ax 则 x 为奇函数 f x x 4 b x f lg2 lg2 4 0 lg2 4 f lg f lg2 lg2 4 1 2 lg2 4 8 12 偶函数 f x 在 0 上单调递减 且 f x 在 2 k 上的最大值点与最小值点横坐标之差为 3 则 k 答案 3 解析 偶函数 f x 在 0 上单调递减 f x 在 0 上单调递增 因此 若 k 0 则 k 2 k 20 f x 在 2 0 上单调减在 0 k 上单调增 最小值为 f 0 又在 2 k 上最大值点与最小值点横坐标之差为 3 k 0 3 即 k 3 13 函数 f x 在 3 上是减函数 则 a 的取值范围是 ax 1 x 3 答案 1 3 解析 f x a 在 3 上是减函数 3a 1 0 a 3a 1 x 3 1 3 14 2010 江苏无锡市调研 设 a 0 a0 则 t 的取值范围是 1 2 答案 1 0 1 aa 5 解析 f logat 0 即 f logat f 1 2 f x 在 0 上为增函数 logat 1 2 0 a 1 0 t0 又可化为 f logat f 1 2 奇函数 f x 在 0 上是增函数 f x 在 0 上为增函数 0 logat 1 2 0 a 1 1 t 1 a 综上知 0 t 或 1 t0 且 a 1 1 求 f x 的定义域 2 判断 f x 的奇偶性并予以证明 3 当 a 1 时 求使 f x 0 的 x 的取值集合 解析 1 要使 f x loga x 1 loga 1 x 有意义 则 Error 解得 1 x 1 故所求定义域为 x 1 x 1 2 由 1 知 f x 的定义域为 x 1 x1 时 f x 在定义域 x 1 x0 1 x 1 1 x 解得 0 x0 的 x 的取值集合是 x 0 x0 a 1 1 mx x 1 1 求 m 的值 2 求函数 f x 的单调区间 3 若当 x 1 a 2 时 f x 的值域为 1 求实数 a 的值 6 解析 1 依题意 f x f x 即 f x f x 0 即 loga loga 0 1 mx x 1 1 mx x 1 1 1 m2 x2 0 恒成立 1 mx x 1 1 mx x 1 1 m2 0 m 1 或 m 1 不合题意 舍去 当 m 1 时 由 0 得 x 1 1 此即函数 f x 的定义域 1 x x 1 又有 f x f x m 1 是符合题意的解 2 f x loga 1 x x 1 f x logae x 1 x 1 1 x x 1 logae x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2logae 1 x2 若 a 1 则 logae 0 当 x 1 时 1 x2 0 f x 0 f x 在 1 上单调递减 即 1 是 f x 的单调递减区间 由奇函数的性质知 1 是 f x 的单调递减区间 若 0 a 1 则 logae 0 当 x 1 时 1 x20 1 是 f x 的单调递增区间 由奇函数的性质知 1 是 f x 的单调递增区间 3 令 t 1 则 t 为 x 的减函数 1 x x 1 2 x 1 x 1 a 2 t 且 a 3 要使 f x 的值域为 1 需 loga 1 解得 a 2 1 2 a 3 1 2 a 3 3 17 2010 山东文 已知函数 f x lnx ax 1 a R 1 a x 1 当 a 1 时 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 当 a 时 讨论 f x 的单调性 1 2 解析 1 a 1 时 f x lnx x 1 x 0 2 x f x x 0 x2 x 2 x2 因此 f 2 1 7 即曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线斜率为 1 又 f 2 ln2 2 所以 y f x 在 2 f 2 处的切线方程为 y ln2 2 x 2 即 x y ln2 0 2 因为 f x lnx ax 1 1 a x 所以 f x a x 0 1 x a 1 x2 ax2 x 1 a x2 令 g x ax2 x 1 a 当 a 0 时 g x 1 x x 0 当 x 0 1 时 g x 0 f x 0 f x 单调递减 当 x 1 时 g x 0 f x 单调递增 当 a 0 时 f x a x 1 x 1 1 a 当 a 时 g x 0 恒成立 f x 0 f x 在 0 上单调递减 1 2 当 0 a1 0 1 2 1 a x 0 1 时 g x 0 此时 f x 0 f x 单调递减 x 1 1 时 g x 0 f x 单调递增 1 a x 1 时 g x 0 此时 f