椭圆及其标准方程（第一课时）

椭圆及其标准方程 教学目标 理解椭圆的定义 掌握椭圆的标准方程 以及 a b c 三者的关系 教学重点 椭圆的定义及标准方程 教学难点 标准方程的推导 教学过程 一 引入 师 同学们 我们上两节课学习了方程与曲线的关系 把几何图形与坐标进行了挂钩 也 即是一条曲线满足某个方程 我们就知道满足这个方程的点一定在这条曲线上 这条曲线 上的点一定能满足这个方程 我们同时还学习了求一条曲线的方程一般步骤 建系 写出 点的坐标的集合 建立方程 化简方程 检验 曲线在我们是生活中到处可见 其中有不 少都是非常有规则的 具有一些特殊性质的曲线 今天我们将要学习一种特殊的曲线 这个是我们神六飞行的一些片段 好通过这个视频同学们可以看到神六绕地飞行的轨 迹是一个椭圆 我们知道除了神六 我们太阳系里的行星绕太阳飞行的轨迹也是椭圆 椭 圆在我们的生活中也是随处可见 既然椭圆在生活中是如此的常见 人们是怎么准确的画出椭圆的呢 在画椭圆之前同学 们回忆一下我们是怎样画圆的 定出圆心 去半径长 绕着圆心画一圈就可以了 对比圆 椭圆会不会有相似的画法呢 同学们看一看课本的探究活动 前面一部分同学们应该都清楚那是一个圆 我们现在来 看后一部分 把细绳两端拉开一段距离 固定 拉紧绳子 移动笔尖 同学们想想 在这 个过程中什么是不变的 绳子长 对 鉴于用绳子操作起来比较麻烦 通过几何画板来 给同学们演示一下 画板上有固定的两点 F1 F2 M 三个点 现在我们保持 MF1 MF2 不变 同学们观察 M 点会画出怎样的一条轨迹 留意这几个数字的变化 根据这一变化 我们给椭圆下个定义 平面内到两个定点的 F1 F2 的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 问 为什么这个常数要大于 F1F2 如果没有这个限制会出现什么样的情况呢 生 学生讨论 师 好我们现在同样通过几何画板来看看 我们可以看到当等于 F1F2 是轨迹是线段 F1F2 当小于 F1F2 时 这样的 M 点不存在 师 给 F1 F2 这两个点一个新名词 叫做椭圆的焦点 而这两点的距离叫做是椭圆 的焦距 为了书写方便我们规定 F1F2 2c MF1 MF2 2a 再重述遍椭圆的定义 师 椭圆的定义已经给出 椭圆也是一条曲线 他有没有方程呢 再回忆一下求曲线方 程的一般步骤 生 回答求曲线方程的步骤 师 现在我们要求椭圆的方程 第一步就是要建系 我们应该怎样来建立坐标系呢 生 同学们各抒己见 最后得出 以 F1 F2所在直线为 x 轴 线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 最后选定方案 如图 2 27 推导出方程 以 F1 F2所在直线为 y 轴 线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 如图 2 26 师 我们选择方案一来推导椭圆的方程 解解 1 建系 以 F1 F2所在直线为 x 轴 线段 F1F2的中点为原点建立直角 坐标系 并设椭圆上任意一点的坐标为 M x y 设两定点坐标为 F1 c 0 F2 c 0 2 则 M 满足 MF1 MF2 2a 4 化简 师 我们要化简方程就是要化去方程中的根式 你学过什么办法 生 化去方程中的根式应该用移项平方 再移项再平方的办法 师 好 下面我们就一起来完成这部分计算 师生共同完成 a4 2a2cx c2x2 a2x2 2a2cx a2c2 a2y2 整理得 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 师 到此我们已经推导出了椭圆的方程 但此形式还不够简洁 且 x y 的 系数形式不一致 为了使方程形式和谐且便于记忆和使用 我们应该如何将方 程进行变形呢 学生此时可能还不理解 教师可启发学生观察图形如图 2 28 看看 a 与 c 的关系如何 师 请结合图形找出方程中 a c 的关系 生 根据椭圆定义知道 a2 c2 且如图所示 a 与 c 可以看成 Rt MOF2的 斜边和直角边 师 很好 那我们不妨令 b2 a2 c2 则方程就变形为 b2x2 a2y2 a2b2 如果再 化简 你会得到什么形式的方程呢 师 其中 a 与 b 的关系如何 为什么 生 a b 0 因为 a 与 b 分别是 Rt MOF2的斜边 直角边 教师指出 式就是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程 最后说明 1 方程中条件 a b 0 不可缺少 结合图形 当 a b 0 时 就化成圆心在 原点的圆的方程 2 b 的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐 但也有实际的几何意义 即 b2 a2 c2 3 请学生猜想 若用方案二 即焦点在 y 轴上 得到的方程形式又如何呢 如果此处学生不能给出 教师将自行给出 师 请同学们课后进行推导验证 师 此时方程中 a 与 b 的关系又如何 结合图形请学生将条件 a b 0 补 上 师 像这种焦点在坐标轴上建立起来的椭圆的方程 我们称之为椭圆的标准方程 师 下面我们来对比一下 椭圆两个标准方程的异同 定定 义义 MF1 MF2 2a 2a