导函数介值性定理的推广及其应用(李霞04级)

楚雄师范学院本科论文 设计 1 导函数介值性定理的推广及其应用导函数介值性定理的推广及其应用 李李 霞霞 楚雄师范学院数学系 楚雄师范学院数学系 20042004 级级 2 2 班 班 指导老师指导老师 郎开禄郎开禄 摘要 摘要 本文给出了导函数介值性定理的几种推广形式 并讨论了导函数介值性定理的应用 关键词 关键词 导函数 介值定理 推广 应用 Generalizations and applications of the derived function intermediate value theorem Abstract In this paper several generalization forms and applications of the derived function intermediate value theorem are discussed Key words the derived function intermediate value theorem generalization application 导师评语 导师评语 在在 6 6 6 6 介值定理的推广及其应用介值定理的推广及其应用 J J 陕西工学院学报陕西工学院学报 2000 4 70 76 2000 4 70 76 从不同方面推广了连从不同方面推广了连 续函数介值定理续函数介值定理 并深入讨论了其应用并深入讨论了其应用 李霞同学的毕业论文李霞同学的毕业论文 深入的从不同方面推广了导函数介值定深入的从不同方面推广了导函数介值定 理理 获得了广义的导函数介值定理获得了广义的导函数介值定理 文中的定理文中的定理 1010 及其推论及其推论 定理定理 1414 定理 定理 1818 定理 定理 2222 定理 定理 2626 及定及定 理理 27 27 并深入讨论了其应用并深入讨论了其应用 李霞同学的毕业论文李霞同学的毕业论文 选题具有理论与实际意义选题具有理论与实际意义 通过深入研究通过深入研究 进行利了大量的仔细的推理论证进行利了大量的仔细的推理论证 获得了广义的导函数介值定理获得了广义的导函数介值定理 并深入讨论了其应用并深入讨论了其应用 该论文完成有相该论文完成有相 当的难度和技巧性当的难度和技巧性 其结果在理论与实际上都有重要意义其结果在理论与实际上都有重要意义 论文语言流畅论文语言流畅 打印行文规范打印行文规范 是一篇创新型是一篇创新型 的毕业论文的毕业论文 该同学在作论文过程中该同学在作论文过程中 悟性好悟性好 钻研性强钻研性强 能吃苦能吃苦 其应用部分独立完成其应用部分独立完成 楚雄师范学院本科论文 设计 2 导函数介值性定理的推广及其应用导函数介值性定理的推广及其应用 前前 言言 导函数介值性定理在研究函数性质方面起着重要的作用 受文 2 3 4 6 的启发 本文讨论 了导函数介值性定理的推广 得到了导函数介值性定理的几种推广形式 并讨论了导函数介值性定理 的应用 1 1 导函数介值性定理导函数介值性定理 定理定理 导函数介值性定理或达布定理 若函数在上为可导函数 且 1 1 xf ba 为介于与之间的任一实数 则至少存在一点 使得 bfaf k af bf ba kf 证明证明 令 则在上可导 因介于与之间 不妨设kxxfxF xF bak af bf 则 bfkaf 0 0 kbfbFkafaF 即 0 lim 0 lim bx bFxF ax aFxF bxax 故存在 使时 时 即0 aax0 ax aFxF bbx 0 bx bFxF 1 aaxaFxF bbxbFxF 因为在上连续 故在上存在最小值 即存在一点 使在点取 xF ba xF ba ba xF 得最小值 由 1 可知 这就说明是的极小值点 由费马定理知 即ba xF0 F kf ba 2 2 导函数介值性定理的推广导函数介值性定理的推广 2 12 1 导函数介值性定理的几个推论导函数介值性定理的几个推论 定理定理 2 若在上连续 且 则至少存在一点 使得 xf ba0 bfaf ba 0 f 证明证明 由连续函数的零点存在定理直接而得 推论推论 若在上连续 且 则至少存在一点 使得 xf ba0 bfaf ba 楚雄师范学院本科论文 设计 3 0 f 证明证明 1 若 或 则取或有 0 af0 bf a b 0 f 2 若 且 则 于是由定理 2 知至少存在一点0 af0 bf0 bfaf 使得 ba 0 f 故综上所述 至少存在一点 使得 ba 0 f 定理定理 3 3 若函数在上可导 且 则至少存在一点 使 xf ba0 bfaf ba 得 0 f 证明证明 因 故不妨设 且 则 于是0 bfaf0 af0 bf 0 bfaf 由导函数介值性定理 至少存在一点 使得 ba 0 f 推论推论 若函数在上可导 且 则至少存在一点 使得 xf ba0 bfaf ba 0 f 证明证明 1 若 或 则取或有 0 af0 bf a b 0 f 2 若 且 则 于是由定理 3 知至少存在一点0 af0 bf0 bfaf 使得 ba 0 f 故综上所述 至少存在一点 使得 ba 0 f 2 22 2 导函数介值性定理的推广导函数介值性定理的推广 2 2 12 2 1 导函数介值性定理的推广一导函数介值性定理的推广一 定理定理 4 若函数在上存在阶导数 且 为介于与 xf ban bfaf nn k af n 之间的任意一个实数 则至少存在一点 使得 bf n ba kf n 证明证明 将直接用导函数介值性定理 则至少存在一点 使得 xf n ba kf n 定理定理 若 均在上可导 并且在上 为介于与 2 5 xf xg ba ba0 xgk ag af 之间任何值 则至少存在一点 使得 bg bf ba k g f 楚雄师范学院本科论文 设计 4 证明证明 设 再令 bg bf k ag af agxg afxf ag af xF ax bax bgxg bfxf bg bf xG bx bax 则在上连续 因 则无论 三者位 xGxF ba bg bf k ag af ag af bg bf agbg afbf 置关系如何 或在与之间 或在与之间 k ag af agbg afbf agbg afbf bg bf 1 若在与之间 则在和之间 而在上连续且k ag af agbg afbf k aF bF xF ba 由连续函数介值性定理 存在 使得 即 bFaF 0 bax kxF 0 k agxg afxf 0 0 而函数和在上都连续 在上都可导 和不同时为零 xf xg 0 xa 0 xa xf xg 根据微分中值定理知 存在一点 使得 0 xgag Cauchy 0 baxa k agxg afxf g f 0 0 2 同理若在与之间 则在和之间 而k bgag bfaf agbg afbf bg bf k aG bG 在上连续且 由连续函数介值性定理 存在 使得 即 xG ba bGaG 0 bax kxG 0 k bgxg bfxf 0 0 而函数和在上都连续 在上都可导 和不同时为零 xf xg 0 bx 0 bx xf xg 根据微分中值定理知 存在一点 使得 0 xgbg Cauchy 0 babx k bgxg bfxf g f 0 0 楚雄师范学院本科论文 设计 5 故综上所述 至少存在一点 使得 ba k g f 2 2 22 2 2 导函数介值性定理的推广二导函数介值性定理的推广二 定理定理6 设函数在内可导 存在 且 xf ba lim xf ax lim xf bx lim lim xfkxf bxax 则至少存在一点 使得 为常数 ba kf k 证明证明 因为 故存在 有kxf ax lim 0 1 1 axax kxf 又因为 故存在 有kxf bx lim 0 2 bxbx 2 kxf 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一 2211 bbxaax 2 1 xfkxf 点 使得 21 baxx kf 推论推论 设函数在内可导 存在 且 xf ba lim xf ax lim xf bx 0 lim lim xfxf bxax 则至少存在一点 使得 ba 0 f 证明证明 因 不妨设 0 lim lim xfxf bxax 0 lim Axf ax 0 lim Bxf bx 则 由定理 6 至少存在一点 使得 BA 0 ba 0 f 定理定理7 设函数在内可导 存在 且 xf a lim xf ax lim xf x lim lim xfkxf xax 则至少存在一点 使得 为常数 a kf k 证明证明 因 且 故存在 使得kxf ax lim kxf x lim 0 G0 aaxkxf Gxkxf 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一点 21 Gxaax 2 1 xfkxf 楚雄师范学院本科论文 设计 6 使得 21 axx kf 推论推论 设函数在内可导 存在 且 xf a lim xf ax lim xf x 0 lim lim xfxf xax 则至少存在一点 使得 a 0 f 证明证明 因 不妨设 则0 lim lim xfxf xax 0 lim Axf ax 0 lim Bxf x BA 0 由定理 7 至少存在一点 使得 a 0 f 定理定理8 设函数在内可导 存在 且 xf b lim xf x lim xf bx lim lim xfkxf bxx 则至少存在一点 使得 为常数 b kf k 证明证明 因 且 故存在 使得kxf x lim kxf bx lim 0 G0 Gxkxf bbxkxf 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一 21 bbxGx 2 1 xfkxf 点 使得 21 bxx kf 推论推论 设函数在内可导 存在 且 xf b lim xf x lim xf bx 0 lim lim xfxf bx x 则至少存在一点 使得 b 0 f 证明证明 因 不妨设0 lim lim xfxf bxx 0 lim Axf x 0 lim Bxf bx 则 由定理 8 至少存在一点 使得 BA 0 b 0 f 定理定理9 设函数在内可导 存在 且 xf lim xf x lim xf x lim lim xfkxf xx 则至少存在一点 使得 为常数 kf k 楚雄师范学院本科论文 设计 7 证明证明 因 故存在 使得对 有 kxf x lim 0 1 G 1 Gxx kxf 又因为 故存在 使得对 有 kxf x lim 0 2 G 2 Gxx kxf 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一 11 Gx 22 Gx 2 1 xfkxf 点 使得 21 xx kf 推论推论 设函数在内可导 存在 且 xf lim xf x lim xf x 0 lim lim xfxf xx 则至少存在一点 使得 0 f 证明证明 因 不妨设0 lim lim xfxf xx 0 lim Axf x 0 lim Bxf x 则 由定理 9 至少存在一点 使得 BA 0 0 f 定理 6 定理 7 定理 8 定理 9 及推论可统一为 定理定理10 设函数在内可导 存在 且 xf ba lim xf ax lim xf bx lim lim xfkxf bxax 则至少存在一点 使得 为常数 其中 ba kf k a b lim lim xfxf xx lim lim xfxf xx 推论推论 若函数在内可导 存在 且 xf ba lim xf ax lim xf bx 0 lim lim xfxf bxax 则至少存在一点 使得 其中 ba 0 f a b lim lim xfxf xx lim lim xfxf xx 2 2 32 2 3 导函数介值性定理的推广三导函数介值性定理的推广三 定理定理11 设函数在内可导 则至少存 xf ba lim xf ax 0 lim kBxf bx 在一点 使得 为常数 ba kf k 证明证明 因为 故对任意的 存在 对 有 lim xf ax 0 K0 1 1 axax 楚雄师范学院本科论文 设计 8 kKxf 0 又因为 故存在 对 有0 lim kBxf bx 0 2 bxbx 2 kxf 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一 2211 bbxaax 2 1 xfkxf 点 使得 21 baxx kf 定理定理12 设函数在内可导 则至少存 xf ba0 lim kAxf ax lim xf bx 在一点 使得 为常数 ba kf k 证明证明 因为 故存在 对 有0 lim kAxf ax 0 1 1 axax kxf 又因为 则对任意的 存在 对 有 lim xf bx 0 K0 2 bxbx 2 kKxf 0 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一 2211 bbxaax 2 1 xfkxf 点 使得 21 baxx kf 定理定理13 设函数在内可导 且 xf ba lim xf ax lim xf bx lim lim xfkxf bxax 则至少存在一点 使得 为常数 ba kf k 证明证明 因为 故 有 lim xf ax 111 0 0 axaxK 0 1 Kxf 又因为 故 有 lim xf bx bxbxK 222 0 0 0 2 Kxf 取 则 又由已知知介于 2211 bbxaax 0 2 211 xfKKxf k 1 xf 与之间 于是由导函数介值性定理 至少存在一点 使得 2 xf 21 baxx kf 楚雄师范学院本科论文 设计 9 定理 11 定理 12 定理 13 可统一为 定理定理 14 设函数在内可导 xf ba 0 lim Axf ax 0 lim Bxf bx 且 则至少存在一点 使得 为常数 BkA ba kf k 定理定理 15 设函数在内可导 则至少 xf a lim xf ax 0 lim kBxf x 存在一点 使得 为常数 a kf k 证明证明 因为 故对任意的 存在 对 有 lim xf ax 0 K0 axax kKxf 0 又因为 故存在 对 有0 lim kBxf x 0 GGxx kxf 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一点 1 aax 2 Gx 2 1 xfkxf 使得 21 axx kf 定理定理 16 设函数在内可导 则至少 xf a0 lim kAxf ax lim xf x 存在一点 使得 为常数 a kf k 证明证明 因为 故存在 对 有0 lim kAxf ax 0 axax kxf 又因为 故对任意的 存在 对 有 lim xf x 0 K0 GGxx kKxf 0 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一点 21 Gxaax 2 1 xfkxf 使得 21 axx kf 定理定理 17 设函数在内可导 为介于 xf a lim xf ax lim xf x k 到之间的任一实数 则至少存在一点 使得 a kf 证明证明 因为 故对任意的 存在 对 有 lim xf ax 0 1 K0 axax 0 1 Kxf 楚雄师范学院本科论文 设计 10 又因为 故对任意的 存在 对 有 lim xf x 0 2 K0 GGxx 0 2 Kxf 取 则 又由已知知介于与 21 Gxaax 0 2 211 xfKKxf k 1 xf 之间 于是由导函数介值性定理 至少存在一点 使得 2 xf 21 axx kf 定理 15 定理 16 定理 17 可统一为 定理定理 18 设函数在内可导 且 xf a 0 lim Axf ax 0 lim Bxf x BkA 则至少存在一点 使得 为常数 a kf k 定理定理19 设函数在内可导 则至少 xf b lim xf x 0 lim kBxf bx 存在一点 使得 为常数 b kf k 证明证明 因为 故对任意的 存在 对 有 lim xf x 0 K0 GGxx kKxf 0 又因为 故存在 对 有0 lim kBxf bx 0 bxbx kxf 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一点 21 bbxGx 2 1 xfkxf 使得 21 bxx kf 定理定理20 设函数在内可导 则至少 xf b 0 lim kAxf x lim xf bx 存在一点 使得 为常数 b kf k 证明证明 因为 故存在 对 有0 lim kAxf x 0 GGxx kxf 又因为 故对任意 存在 对 有 lim xf bx 0 K0 bxbx kKxf 0 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一点 21 bbxGx 2 1 xfkxf 使得 21 bxx kf 楚雄师范学院本科论文 设计 11 定理定理21 设函数在内可导 为介于 xf b lim xf x lim xf bx k 到之间的任一实数 则至少存在一点 使得 b kf 证明证明 因为 故对任意 存在 对 有 lim xf x 0 1 K0 GGxx 0 1 Kxf 又因为 故对任意 存在 对 有 lim xf bx 0 2 K0 bxbx 0 2 Kxf 取 则 又由已知知介于与 21 bbxGx 0 2 211 xfKKxf k 1 xf 之间 于是由导函数介值性定理 至少存在一点 使得 2 xf 21 bxx kf 定理 19 定理 20 定理 21 可统一为 定理定理22 设函数在内可导 且 xf b 0 lim Axf x 0 lim Bxf bx BkA 则至少存在一点 使得 为常数 b kf k 定理定理23 设函数在内可导 则至 xf lim xf x 0 lim kBxf x 少存在一点 使得 为常数 kf k 证明证明 因为 故对任意 存在 对 有 lim xf x 0 K0 1 G 1 Gxx kKxf 0 又因为 故存在 对 有0 lim kBxf x 0 2 G 2 Gxx kxf 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一 2211 GxGx 2 1 xfkxf 点 使得 21 xx kf 定理定理24 设函数在内可导 则至 xf 0 lim kAxf x lim xf x 少存在一点 使得 为常数 kf k 证明证明 因为 故存在 对 有0 lim kAxf x 0 1 G 1 Gxx kxf 楚雄师范学院本科论文 设计 12 又因为 故对任意 存在 对 有 lim xf x 0 K0 2 G 2 Gxx kKxf 0 取 则 于是由导函数介值性定理 至少存在一点 2211 GxGx 2 1 xfkxf 使得 21 xx kf 定理定理25 设函数在内可导 为介于 xf lim xf x lim xf x k 到之间的任一实数 则至少存在一点 使得 kf 证明证明 因为 故对任意 存在 对 有 lim xf x 0 1 K0 1 G 1 Gxx 0 1 Kxf 又因为 故对任意 存在 对 有 lim xf x 0 2 K0 2 G 2 Gxx 0 2 Kxf 取 则 又由已知知介于与 2211 GxGx 0 2 211 xfKKxf k 1 xf 之间 于是由导函数介值性定理 至少存在一点 使得 2 xf 21 xx kf 定理 23 定理 24 定理 25 可统一为 定理定理26 设函数在内可导 xf 0 lim Axf x 0 lim Bxf x 且 则至少存在一点 使得 为常数 BkA kf k 定理 14 定理 18 定理 22 定理 26 可统一为 定理定理27 设函数在内可导 且 xf ba 0 lim Axf ax 0 lim Bxf bx 则至少存在一点 使得 为常数 其中BkA ba kf k a b lim lim xfxf xx lim lim xfxf xx 3 3 导函数介值性定理的应用导函数介值性定理的应用 一般地 研究函数或导函数的整体性质的常用工具是中值定理和泰勒公式 而很少见到利用导函 数的介值性定理 下面通过举例说明导函数的介值性定理结合中值公式和泰勒公式也可以解决某些 分析问题 3 13 1 结合中值定理研究导函数的性质结合中值定理研究导函数的性质 例例 1 设为上的阶可导函数 且 存在 使f ban0 2 2 bfaf nn bac 楚雄师范学院本科论文 设计 13 得 证明 至少存在两点使得 0 2 cf n 2 1 iba i 0 i n f 证明证明 由于 故在及上应用0 2 2 bfaf nn 0 2 cf n ca bcLagrange 中值定理 存在 使得 1 ca 2 bc 0 0 2 2 2 1 2 2 1 1 cb cfbf f ac afcf f nn n nn n 又在上应用导函数的介值性定理 存在使得 再对分 21 213 0 3 1 n f 1 xf n 别在和上再用中值定理 存在 使得 31 23 Lagrange 311 232 0 0 32 3 1 2 1 2 13 1 1 3 1 1 nn n nn n ff f ff f 例例 2 设函数在区间上连续 在内阶可导 在上的最小值 xf ba ban 2 xf n ba 在内某点处取得 证明 存在使得 bac 2 1 iba i 0 i n f 证明证明 由于是上的最小值 因此 对 2 cf n ba 2 xf n 2 2 baxcfxf nn 在和上应用中值定理 存在 使得 2 xf n ca bcLagrange 1 ca 0 2 2 1 1 ac afcf f nn n 存在 使得 2 bc 0 2 2 2 1 cb cfbf f nn n 因此 0 2 1 1 1 nn ff 对在上应用导函数的介值性定理 存在使得 对 1 xf n 21 213 0 3 1 n f 在和上再应用中值定理 存在 使得 1 xf n 31 23 Lagrange 311 0 13 1 1 3 1 1 nn n ff f 存在 使得 232 楚雄师范学院本科论文 设计 14 0 32 3 1 2 1 2 nn n ff f 即存在 使得 2 1 iba i 0 i n f 3 23 2 结合泰勒公式研究导函数的性质结合泰勒公式研究导函数的性质 例例 3 设函数在区间上次可导 为奇数 证明 存在 使得 xf bann bac 2 2 52 2 32 2 1 5 4 5 2 3 cf n abba f abba f ab ab ba fafbf n n n 证明证明 将 分别在点做泰勒展开 得 af bf 2 ba 3 2 2 2 3 1 2 2 2 1 2 2 2 baba f baba f baba f ba faf 1 nn ba f n baba f baba f 2 1 2 2 5 1 2 2 4 1 5 5 4 4 3 2 2 2 3 1 2 2 2 1 2 2 2 abba f abba f abba f ba fbf 2 ab f n abba f abba f nn 2 1 2 2 5 1 2 2 4 1 5 5 4 4 2 式减 1 式 5 5 3 2 2 5 2 2 2 3 2 2 abba f abba fab ba fafbf 2 1 nnn ff ab n 即 2 52 2 32 2 5 4 5 2 3 ba f abba f ab ab ba fafbf 2 nn n n ff n ab 当时 即时 取或者 nn ff c 当时 即时 由导函数的介值性定理 在与之间必存在一点 使得 nn ff c 2 1 nnn ffcf 所以 2 2 52 2 32 2 1 5 4 5 2 3 cf n abba f abba f ab ab ba fafbf n n n 例例 4 设函数在区间上次可导 为奇数 且 xf bann 楚雄师范学院本科论文 设计 15 bfaf 2 2 ba f ba f 0 2 2 2 5 ba f ba f n 证明 在内有解 0 xf n ba 证明证明 将 分别在点做泰勒展开 得 af bf 2 ba 3 2 2 2 3 1 2 2 2 1 2 2 2 baba f baba f baba f ba faf 1 nn ba f n baba f baba f 2 1 2 2 5 1 2 2 4 1 5 5 4 4 3 2 2 2 3 1 2 2 2 1 2 2 2 abba f abba f abba f ba fbf 2 nn ab f n abba f abba f 2 1 2 2 5 1 2 2 4 1 5 5 4 4 又由于 bfaf 0 2 2 2 2 2 5 ba f ba f ba f ba f n 则 1 式减 2 式 0 2 1 2 1 nnnn ab f n ba f n 即 从而 故由导函数的介值性定理 必存在一点0 nn ff0 nn ff 使得 c0 cf n 例例 5 设在区间上连续 在内有阶连续导数 为偶数 试证 至少存在一 xf ba bann 点 使得 bac 0 2 2 42 2 22 2 2 1 4 3 4 2 cf n baba f baba f baba fbfaf n n n 证明证明 将 分别在点做泰勒展开 得 af bf 2 ba 3 2 2 2 3 1 2 2 2 1 2 2 2 baba f baba f baba f ba faf 1 nn ba f n baba f baba f 2 1 2 2 5 1 2 2 4 1 5 5 4 4 3 2 2 2 3 1 2 2 2 1 2 2 2 abba f abba f abba f ba fbf 2 nn ab f n abba f abba f 2 1 2 2 5 1 2 2 4 1 5 5 4 4 1 式加 2 式 442 2 2 4 2 2 2 2 2 baba f baba f ba fafbf 楚雄师范学院本科论文 设计 16 2 1 nnn ff ba n 当时 即时 取或者 nn ff c 当时 即时 由导函数的介值性定理 在与之间必存在一点 使得 nn ff c 2 1 nnn ffcf 即 0 2 2 42 2 22 2 2 1 4 3 4 2 cf n baba f baba f baba fbfaf n n n 例例 6 设在区间上次可微且有界 为偶数 试证 存在一点 使 xf nn c 得 0 cf n 证明证明 用反证法 假若不变号 不妨设 则严格单调递增 取 xf n 0 xf n 1 xf n 使 0 x0 0 1 xf n 1 若 则当 并令时有0 0 1 xf n 0 xx 0 xx x 1 0 1 2 00 00 0 1 1 2 1 nn xxf n xxxfxxxfxfxf 1 1 2 1 1 00 1 2 00 00 0 nn xxxf n xxxfxxxfxf 2 若 则当 并令时有0 0 1 xf n 0 xx 0 xx x 1 0 1 2 00 00 0 1 1 2 1 nn xxf n xxxfxxxfxfxf xxxf n xxxfxxxfxf nn 1 00 1 2 00 00 0 1 1 2 1 这与有界矛盾 故变号 由导函数的介值性定理 存在一点 使 xf xf n c0 cf n 3 33 3 求导函数和函数的零点求导函数和函数的零点 对一般函数的零点存在性问题常用的方法是连续函数的介值性定理或微分中值定理 但由于可 导函数的导函数不一定连续 故此时若已知导函数的取值情况 不是函数的取值情况 时 上面方法 不适用 而应用导函数的介值性定理来研究 例例 设函数和在内可微 且存在两点 使得 3 7 xP xQ ba 21 baxx 楚雄师范学院本科论文 设计 17 0 2 22 1 11 xQxPxPxQxPxP 证明 函数在内至少有一个零点 xQxPxP ba 证明证明 令 则 Q x e xPxF Q x Q x Q x e e e xQxPxPxQxPxPxF 由已知条件得 据导函数的介值性定理 存在 使得 从而0 2 1 xFxF ba 0 F 0 QPP 即函数在内至少有一个零点 xQxPxP ba 例例 8 设函数和在内可微 且存在两点 使得 xf xg ba 21 baxx 0 2 22 21 11 1 xfxgxgxfxfxgxgxf 证明 函数在内至少有一个零点 xfxgxgxf ba 证明证明 令 则 xfxgxgxfxF xfxgxgxfxfxgxfxgxgxfxgxfxF 由已知条件得 据导函数的介值性定理 存在 使得 从而0 2 1 xFxF ba 0 F 0 fggf 证明 函数在内至少有一个零点 xfxgxgxf ba 例例 9 设函数在内可微 且存在 使得 xf ba 21 baxx 0 2 22 1 21 11 1 1 xfxxfnxxfxxfnx nnnn 则函数在内至少有一个零点 1 xfxxfnx nn ba 证明证明 令 则 由已知条件得 xfxxF n 1 xfxxfnxxF nn 据导函数的介值性定理 存在一点 使得 从而0 2 1 xFxF ba 0 F 即函数在内至少有一个零点 0 1 ffn nn 1 xfxxfnx nn ba 例例