3.1.1空间向量及其加减运算

3 1 1 空间向量及其加减运算空间向量及其加减运算 学习目标 1 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程 2 掌握空间向量的加法 减法 数乘运算 课前导学 阅读教材 P84 86 完成新知学习 1 空间向量的概念 名 称定 义 空间向量在空间 具有 和 的量叫做空间向量 其大小叫做向量的 或 单位向量长度或模为 的向量 零向量长度或模为 的向量 相等向量方向 且模 的向量 相反向量方向 且模 的向量 2 空间向量的加法 减法 类似平面向量 定义空间向量的加 减法运算 如图 OCOA BAOA 3 空间向量加法的运算律 1 交换律 2 结合律 ab abc 预习自测 1 下列各量中可以是向量的是 质量 密度 距离 位移 浮力 电流强度 风速 功 湿度 A B C D 2 下列说法不正确的是 A 零向量是没有方向的向量 B 零向量与任一向量共线 C 零向量只能与零向量相等 D 零向量的方向是任意的 3 化简所得的结果是 PMPNMN A B C D PM NP 0 MN 典型例题 例 1 给出下列命题 两个空间向量相等 则它们的起点相同 终点也相同 若空间向量 则 ab ab 在正方体中 必有 若空间向量 满足 1111 ABCDA B C D 11 ACA C m n p 则 空间中任意两个单位向量必相等 mn np mp 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 例 2 1 化简 a b O A B C ABCD ACBD 1223n 1n A AA AAA 2 在正方体中 下列各式中运算的结果为向量的是 1111 ABCDA B C D 1 BD 111 A DA A AB 111 BCBB D C 1 ADAB 2DD 1111 B DA A DD 例 3 在棱长为 1 的正方体中 设 AB aAD b 1 AA c 1 试用 表示下列向量 a b c 1 AC 1 AD 2 abc 能力提升 如图 在空间四边形 ABCD 中 M N 分别是 BC AD 的中点 证明 1 MN BACD 2 巩固练习 1 下列命题 两个有共同起点且相等的向量 其终点可能不同 若非零向量与 是共线向量 则 A B C D 四点共线 AB CD 若非零向量与共线 则 a b a b 若 则 a b a b 向量与平行 则与的方向相同或相反 其中真命题的个数为 a b a b A 0 B 1 C 2 D 3 2 如图 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 化简下列各式 1 11 ABBC 2 11 ABADAAC A 3 111 ABBDBB A B C D A1 B1 C1 D1 M N D A B C A B C D A1 B1 C1 D1 3 若 则与方向相同的单位向量是 0a a 3 1 2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算 学习目标 1 理解空间向量的加法 减法 数乘及数量积运算的坐标表示 2 掌握空间向量的平行于垂直关系的坐标表示及两向量的夹角公式 距离公式 3 会运用空间向量的坐标表示解决立体几何的简单问题 课前导学 阅读教材 P86 88 找出疑惑之处 完成新知学习 1 实数与空间向量的乘积记作 它是一个 它的方向是 当 0 a 时 与的方向 当 0 时 与的方向 当 0 时 a a a a 它就是 它的模长为 a 2 空间向量的数乘运算满足 1 分配律 2 结合律 ab a 3 如果表示空间向量的有向线段 则这些向量叫做共线向量或 平行向量 叫做共面向量 直线 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线 对空间任意一点 O 点 P 在la 直线 上的充要条件是 使 其中向量叫做直线 的lOP a l 4 对空间任意两个向量 的充要条件是 a b 0b a b 如果两个向量 不共线 那么向量与向量 共面的充要条件是a b p a b 预习自测 1 若 则 A B P 三点 当且OP OA ABt OP OA OBxy 则 A B P 三点共线 2 当 A B C 三点不共线 存在唯一实数对 使 则xyAP AB ACxy A B C P 四点 反之亦成立 3 若且 则 P A B C 四点共面 OP OA OBOCxyz 4 下列命题正确的是 A 若与共线 与共线 则与共线 a b b c a c B 向量 共面 则它们所在的直线共面 a b c C 若 则存在实数使 a b ba D 已知 A B C 三点不共线 对平面外的任一点 O 若 111 OM OA OBOC 333 则点 M 在平面 ABC 内 典型例题 例 1 如图 3 1 2 1 平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 AC 与 BD 的交点为点 M 设 则下列向量中与相等的向量是 11 A Ba 11 A Db 1 A Ac 1 B M C1 图 3 1 2 1 A B C D A1 B1 D1 A B 11 22 abc 11 22 abc C D 11 22 abc 11 22 abc 例 2 如图 3 1 2 3 已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 点 M 是棱 AA1的中点 点 G 在 对角线 A1C 上 且 CG GA1 2 1 设 试用向量 CDa CBb 1 CCc a 表示向量 b c CA 1 CA CM CG 例 3 在下列条件中 使 M 与 A B C 一定共面的是 A B OM 2OAOBOC 111 OM OAOBOC 532 C D MA MB MC 0 OM OA OB OC 0 能力提升 已知点 G 是 ABC 的重心 O 是空间任一点 若 求实数的OA OBOCOG 值 巩固练习 1 设 是平面上不共线的向量 已知 1 e 2 e 12 AB2eke 12 CB3ee 若 A B D 三点共线 求的值 12 CD2ee k 2 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 是底面 A1B1C1D1的中心 1 1 AA 2 a G M C1 图 3 1 2 3 A B C D A1 B1 D1 则 1 AB 2 b 1AD 3 c AExaybzc A B 2x 1y 3 2 z 1x 1 2 y 1 2 z C D 1 2 x 1 2 y 1z 1 2 x 1 2 y 2 3 z 3 1 3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 学习目标 1 理解空间两个向量的夹角 2 掌握空间向量数量积的运算 课前导学 阅读教材 P90 92 找出疑惑之处 完成新知学习 1 已知两个非零向量 在空间任取一点 O 作 则 叫做 a bOA aOB b 向量 的夹角 记作 规定两向量的夹角的范围是 a b 2 如果 那么向量 互相 记作 a b 2 a b 3 已知两个非零向量 则 叫做 的数量积 记作 a b a b 即 特别地 Aa b Aa a 4 零向量与任意向量的数量积为 0 Aa 5 空间向量的数量积满足如下运算律 1 数乘运算的结合律 2 交换律 Aa b Aa b 3 分配律 Aa bc 预习自测 1 下列命题正确的个数是 a b ca b c A AA A k a bka b A 或a ba cbc AA00a ba A0b 0 a b 2 已知 则 2a 3b 60a b 23ab 典型例题 例 1 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线 垂直 例 2 是平面内的两条相交直线 如果 求证 mn lm ln l 例 3 如图所示 在空间四边形中 OABC8OA 6AB 4AC 5BC 求与所成角的余弦值 60OAB 60OAC OABC 巩固练习 1 设是任意的非零向量 且互不共线 则下列四个命题 a b c 不与垂直 0a b cca b A AAAabab b c ac a b A AA Ac 其中是真命题的有 22 323294ababab A 2 若均为非零向量 则是与共线的 条件 a b a ba b Aa b 3 已知平面 则等于PA ABC120ABC 6PAABBC PC 4 已知向量满足条件 且与互相垂直 则与的夹角为 a b 2 2ab a 2ba a b 5 点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点 满足 则点 OOA OBOB OCOC OA AAA 是三角形 ABC 的 O B AC A 三个内角的角平分线交点 B 三条边的垂直平分线的交点 C 三条中线的交点 D 三条高的交点 6 已知在平行六面体中 ABCDA B C D 4 3 5 90ABADAABAD 60BAADAA 1 求的长 AC 2 求与的夹角的余弦值 AC AC 3 1 4 空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示 学习目标 1 理解空间向量坐标的概念 会确定一些简单几何体的顶点坐标 2 掌握空间向量的坐标运算规律 会判断两个向量的共线或垂直 3 理解空间向量基本定理 能运用空间向量基本定理解题 课前导学 阅读教材 P92 94 找出疑惑之处 完成新知学习 1 平面向量基本定理 若非零向量 不共线 则对于平面内任一向量 存在唯一 1 e 2 e a 有序实数对 使 xy a 2 空间向量基本定理 若三个向量 不共面 那么对于空间任一向量 存在有 a b c p 序实数组 使得 其中 叫做空xyz p 间的一个基底 都叫做基向量 3 空间任何三个 的向量都可构成空间的一个基底 特别地 将三个有公共起点 O 的 的单位向量 称为单位正交基底 1 e 2 e 3 e 4 空间向量的坐标表示 以 的公共起点 O 为原点 分别以 的方 1 e 2 e 3 e 1 e 2 e 3 e 向为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系 O 那么对于空间任一向量 xyzxyz p 一定可以把它 使它的 与原点 O 重合 得到向量 由空间向量OP p 基本定理可知 存在有序实数组 使得 把xyz p 称作向量在单位正交基底 下的坐标 记作 p 1 e 2 e 3 e AB CD A B C D p 预习自测 1 下列说法正确的是 A 零向量可以作为空间的一个基底中的基向量 B 空间任意三个向量均可作为空间的一个基底 C 空间只有一对不共面的向量可作为空间向量的基底 D 空间有无数多组不共面的三个向量可作为空间向量的基底 2 设命题 p 是三个非零向量 命题 q 是空间的一个基底 则命 a b c a b c 题 p 是命题 q 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已知 是空间的一个基底 从 中选哪一个向量 一定可以与 a b c a b c 构成空间的另一个基底 pab qab 典型例题 例 1 如图 3 1 4 1 M N 分别是四面体 OABC 的边 OA BC 的中点 P Q 是 MN 的三 等分点 用向量 表示和 OA OB OC OP OQ 例 2 如图 3 1 4 2 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别在 BB1 和 DD1 上 且 BE BB1 DF DD1 1 3 2 3 1 证明 A E C1 F 四点共面 2 若 求 1 EFABADAA xyz xyz 能力提升 已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 AB 4 AD 3 AA1 5 90 BAD 60 求的长度 11 BAADAA 1 AC Q 图 3 1 4 1 A B C O N P M F 图 3 1 4 2 E A B C D A1 B1 C1D1 A B C D A1 B1 C1D1 巩固练习 1 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 M 为 AC 与 BD 的交点 若 11 A B a 则下列向量中与相等的向量是 11 A D b 1 A Ac 1 B M A B C D 11 22 abc 11 22 abc 11 22 abc 11 22 abc 2 已知空间四边形 OABC 中 点 M 在 OA 上 且OA aOB bOC c OM 2MA N 为 BC 中点 则用 表示为 a b cMN 3 1 5 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 学习目标 1 理解空间向量的加法 减法 数乘及数量积运算的坐标表示 2 掌握空间向量的平行与垂直关系的坐标表示及两向量的夹角公式 距离公式 3 会运用空间向量的坐标表示解决立体几何的简单问题 课前导学 阅读教材 P95 97 找出疑惑之处 完成新知学习 1 若空间向量用单位正交基底 表示为 p 1 e 2 e 3 e 123 pxeyeze 则的坐标为 p 2 类似平面向量的坐标运算 我们可以得出空间向量的坐标运算 设 a 1 a 2 a 3 a b 1 b 2 b 3 b 1 2 ab ab 3 4 aR a b 5 6 a bR ab 3 几个重要公式 a 1 a 2 a 3 a b 1 b 2 b 3 b 1 模长公式 a 2 夹角公式 cos a b 3 若 A B 则 1 x 1 y 1 z 2 x 2 y 2 z A B 两点间的距离为 AB AB dAB 预习自测 1 写出下列各向量的坐标 为单位正交基底 1 e 2 e 3 e 1 2 123 23 aeee 12 52 cee 2 已知 3 2 5 1 5 1 求 a b 1 2 3 3 a