2.1.1简单随机抽样

1 简单随机抽样 1 定义 从个体数为 N 的总体中逐个不放回地取出 n 个个体作为样本 n N 如果每个个体 都有相同的机会被取到 那么这样的抽样方法称为简单随机抽样 2 最常用的简单随机抽样的方法 抽签法和随机数表法 2 系统抽样 1 定义 将总体平均分成几个部分 然后按照一定的规则 从每个部分中抽取一个个体作 为样本 这样的抽样方法称为系统抽样 2 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本 系统抽样的步骤为 采用随机的方法将总体中的 N 个个体编号 将编号按间隔 k 分段 当 是整数时 取 k 当 不是整数时 从总体中剔除一些个体 N n N n N n 使剩下的总体中个体的个数 N 能被 n 整除 这时取 k 并将剩下的总体重新编号 N n 3 在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号 l 4 按照一定的规则抽取样本 通常将编号为 l l k l 2k l n 1 k 的个体抽出 3 分层抽样 1 定义 一般地 当总体由差异明显的几个部分组成时 为了使样本更客观地反映总体情 况 我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分 然后按各个部分 在总体中所占的比实施抽样 这种抽样方法叫分层抽样 所分成的各个部分称为 层 2 分层抽样的步骤是 将总体按一定标准分层 计算各层的个体数与总体的个体数的比 按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量 在每一层进行抽样 可用简单随机抽样或系统抽样 3 分层抽样的应用范围 当总体由差异明显的几个部分组成时 往往选用分层抽样 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 简单随机抽样是一种不放回抽样 2 简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样 与先后有关 3 系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样 4 要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本 需要剔除 2 个学生 这样对被剔除者不公平 5 分层抽样中 每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关 1 教材改编 某公司有员工 500 人 其中不到 35 岁的有 125 人 35 49 岁的有 280 人 50 岁以上的有 95 人 为了调查员工的身体健康状况 从中抽取 100 名员工 则应在这三个年 龄段分别抽取人数为 答案 25 56 19 解析 因为 125 280 95 25 56 19 所以抽取人数分别为 25 人 56 人 19 人 2 2015 四川改编 某学校为了了解三年级 六年级 九年级这三个年级之间的学生视力是 否存在显著差异 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查 则最合理的抽样方 法是 答案 分层抽样 解析 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法 3 将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000 001 002 999 从中抽取一个容量为 50 的样本 按系统抽样的方法分为 50 组 如果第一组编号为 000 001 002 019 且第 一组随机抽取的编号为 015 则抽取的第 35 个编号为 答案 695 解析 由题意可知 第一组随机抽取的编号 l 15 分段间隔数 k 20 则抽取的第 35 个编号为 a35 15 35 1 20 695 N n 1 000 50 4 教材改编 某公司共有 1 000 名员工 下设若干部门 现采用分层抽样方法 从全体员工 中抽取一个样本容量为 80 的样本 已告知广告部门被抽取了 4 个员工 则广告部门的员工 人数为 答案 50 解析 x 50 1 000 80 x 4 5 2014 天津 某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向 拟采用分层抽 样的方法 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查 已知该校一年 级 二年级 三年级 四年级的本科生人数之比为 4 5 5 6 则应从一年级本科生中抽 取 名学生 答案 60 解析 根据题意 应从一年级本科生中抽取的人数为 300 60 4 4 5 5 6 题型一题型一 简单随机抽样简单随机抽样 例 1 1 总体由编号为 01 02 19 20 的 20 个个体组成 利用下面的随机数表选取 5 个 个体 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字 则选出来的第 5 个个体的编号为 78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481 2 下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有 从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本 盒子里共有 80 个零件 从中选出 5 个零件进行质量检验 在抽样操作时 从中任意拿出 一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里 从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验 某班有 56 名同学 指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛 答案 1 01 2 解析 1 由题意知前 5 个个体的编号为 08 02 14 07 01 2 不是简单随机抽样 不是简单随机抽样 由于它是放回抽样 不是简单随机抽样 因为这是 一次性 抽取 而不是 逐个 抽取 不是简单随机抽样 因为指定个子最高的 5 名同学是 56 名中特指的 不存在随机性 不是 等可能抽样 思维升华 应用简单随机抽样应注意的问题 1 一个抽样试验能否用抽签法 关键看两点 一是抽签是否方便 二是号签是否易搅匀 一般 地 当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法 2 在使用随机数表法时 如遇到三位数或四位数 可从选择的随机数表中的某行某列的数字 计起 每三个或四个作为一个单位 自左向右选取 有超过总体号码或出现重复号码的数字舍 去 下列抽样试验中 适合用抽签法的有 从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 从某厂生产的两箱 每箱 18 件 产品中抽取 6 件进行质量检验 从甲 乙两厂生产的两箱 每箱 18 件 产品中抽取 6 件进行质量检验 从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 答案 解析 中的总体中个体数较多 不适宜抽签法 中甲 乙两厂的产品质量有区别 也 不适宜抽签法 题型二 系统抽样 例 2 1 2015 湖南 在一次马拉松比赛中 35 名运动员的成绩 单位 分钟 的茎叶图如图所 示 若将运动员按成绩由好到差编为 1 35 号 再用系统抽样方法从中抽取 7 人 则其中成绩在 区间 139 151 上的运动员人数是 2 某单位有 840 名职工 现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查 将 840 人按 1 2 840 随机编号 则抽取的 42 人中 编号落入区间 481 720 的人数为 答案 1 4 2 12 解析 1 由题意知 将 1 35 号分成 7 组 每组 5 名运动员 成绩落在区间 139 151 的运动 员共有 4 组 故由系统抽样法知 共抽取 4 名 2 由 20 即每 20 人抽取 1 人 所以抽取编号落入区间 481 720 的人数为 840 42 12 720 480 20 240 20 引申探究 1 本例 2 中条件不变 若第三组抽得的号码为 44 则在第八组中抽得的号码是 答案 144 解析 在第八组中抽得的号码为 8 3 20 44 144 2 本例 2 中条件不变 若在编号为 481 720 中抽取 8 人 则样本容量为 答案 28 解析 因为在编号 481 720 中共有 720 480 240 人 又在 481 720 中抽取 8 人 所以抽样比应为 240 8 30 1 又因为单位职工共有 840 人 所以应抽取的样本容量为 28 840 30 思维升华 1 系统抽样适用的条件是总体容量较大 样本容量也较大 2 使用系统抽样时 若总体容量不能被样本容量整除 可以先从总体中随机地剔除几个个体 从而确定分段间隔 3 起始编号的确定应用简单随机抽样的方法 一旦起始编号确定 其他编号便随之确定 将参加夏令营的 600 名学生编号为 001 002 600 采用系统抽样方法抽取一 个容量为 50 的样本 且随机抽得的号码为 003 这 600 名学生分住在三个营区 从 001 到 300 在第 营区 从 301 到 495 在第 营区 从 496 到 600 在第 营区 三个营区被抽中的 人数依次为 答案 25 17 8 解析 由题意及系统抽样的定义可知 将这 600 名学生按编号依次分成 50 组 每一组各有 12 名学生 第 k k N 组抽中的号码是 3 12 k 1 令 3 12 k 1 300 得 k 因此第 营区被抽中的人数是 25 103 4 令 300 3 12 k 1 495 得 k 42 因此第 营区被抽中的人数是 42 25 17 故抽取三 103 4 个营的人数分别为 25 17 8 题型三题型三 分层抽样分层抽样 命题点 1 求总体或样本容量 例 3 某工厂甲 乙 丙三个车间生产了同一种产品 数量分别为 120 件 80 件 60 件 为了解它们的产品质量是否存在显著差异 用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本 进行调查 其中从丙车间的产品中抽取了 3 件 则 n 答案 13 解析 n 13 3 60 n 120 80 60 命题点 2 求某层入样的个体数 例 4 2015 福建 某校高一年级有 900 名学生 其中女生 400 名 按男女比例用分层抽样的 方法 从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本 则应抽取的男生人数为 答案 25 解析 由题意知 男生共有 500 名 根据分层抽样的特点 在容量为 45 的样本中男生应抽取 人数 45 25 500 900 思维升华 分层抽样问题类型及解题思路 1 求某层应抽个体数量 按该层所占总体的比例计算 2 已知某层个体数量 求总体容量或反之 根据分层抽样就是按比例抽样 列比例式进行计 算 3 确定是否应用分层抽样 分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况 1 2014 广东改编 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 和图 所 示 为了解该地区中小学生的近视形成原因 用分层抽样的方法抽取 2 的学生进行调查 则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 2 2014 湖北 甲 乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件 采用分层抽样的方法从中抽取 一个容量为 80 的样本进行质量检测 若样本中有 50 件产品由甲设备生产 则乙设备生产的 产品总数为 件 答案 1 200 20 2 1 800 解析 1 该地区中小学生总人数为 3 500 2 000 4 500 10 000 则样本容量为 10 000 2 200 其中抽取的高中生近视人数为 2 000 2 50 20 2 设乙设备生产的产品总数为 x 件 则甲设备生产的产品总数为 4 800 x 件 由分层抽样 特点 结合题意可得 解得 x 1 800 50 80 4 800 x 4 800 五审图表找规律 典例 14 分 某单位有 2 000 名职工 老年 中年 青年分布在管理 技术开发 营销 生 产各部门中 如下表所示 人数管理技术开发营销生产共计 老年40404080200 中年80120160240600 青年401602807201 200 共计1603204801 0402 000 1 若要抽取 40 人调查身体状况 则应怎样抽样 2 若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会 则应怎样抽选出席人 3 若要抽 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解 则应怎样抽样 抽取 40 人调查身体状况 观察图表中的人数分类统计情况 样本人群应受年龄影响 表中老 中 青分类清楚 人数确定 要以老 中 青分层 用分层抽样 要开一个 25 人的座谈会 讨论单位发展与薪金调整 样本人群应受管理 技术开发 营销 生产方面的影响 表中管理 技术开发 营销 生产分类清楚 人数确定 要以管理 技术开发 营销 生产人员分层 用分层抽样 要抽 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解 可认为亚运会是大众体育盛会 一个单位人员对情 况了解相当 将单位人员看作一个整体 从表中数据看总人数为 2 000 人 人员较多 可采用系统抽样 规范解答 解 1 按老年 中年 青年分层 用分层抽样法抽取 抽取比例为 1 分 40 2 000 1 50 200 4 人 600 12 人 1 50 1 50 1 200 24 人 1 50 故老年人 中年人 青年人各抽取 4 人 12 人 24 人 5 分 2 按管理 技术开发 营销 生产分层 用分层抽样法抽取 抽取比例为 6 分 25 2 000 1 80 160 2 人 320 4 人 1 80 1 80 480 6 人 1 040 13 人 9 分 1 80 1 80 故管理 技术开发 营销 生产各部门抽取 2 人 4 人 6 人 13 人 10 分 3 用系统抽样 对全部 2 000 人随机编号 号码从 0001 2000 每 100 号分为一组 从第一组中用简单随机抽 样抽取一个号码 然后将这个号码分别加 100 200 1 900 共 20 人组成一个样本 14 分 温馨提醒 1 本题审题的关键有两点 一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚 二是对样本的功能要审视准确 2 本题易错点是 对于第 2 问 由于对样本功能审视不准确 按老 中 青三层分层抽 样 方法与技巧 1 简单随机抽样的特点 总体中的个体性质相似 无明显层次 总体容量较小 尤其是样本容 量较小 用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性 个体间无固定间距 2 系统抽样的特点 适用于元素个数很多且均衡的总体 各个个体被抽到的机会均等 总体分 组后 在起始部分抽样时 采用简单随机抽样 3 分层抽样的特点 适用于总体由差异明显的几部分组成的情况 分层后 在每一层抽样时可 采用简单随机抽样或系统抽样 失误与防范 进行分层抽样时应注意以下几点 1 分层抽样中分多少层 如何分层要视具体情况而定 总的原则是层内样本的差异要小 两 层之间的样本差异要大 且互不重叠 2 为了保证每个个体等可能入样 所有层中每个个体被抽到的可能性相同 A 组组 专项基础训练专项基础训练 时间 30 分钟 1 为了了解某地区的中小学生视力情况 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查 事先已了解到该地区小学 初中 高中三个学段学生的视力情况有较大差异 而男女生视力 情况差异不大 在下面的抽样方法中 最合理的抽样方法是 简单随机抽样 按性别分层抽样 按学段分层抽样 系统抽样 答案 解析 不同的学段在视力状况上有所差异 所以应该按照学段分层抽样 2 某校选修乒乓球课程的学生中 高一年级有 30 名 高二年级有 40 名 现用分层抽样的 方法在这 70 名学生中抽取一个样本 已知在高一年级的学生中抽取了 6 名 则在高二年级 的学生中应抽取的人数为 答案 8 解析 设样本容量为 N 则 N 6 N 14 30 70 高二年级所抽学生人数为 14 8 40 70 3 某初级中学有学生 270 人 其中一年级 108 人 二 三年级各 81 人 现要利用抽样方法 抽取 10 人参加某项调查 考虑选用简单随机抽样 分层抽样和系统抽样三种方案 使用简 单随机抽样和分层抽样时 将学生按一 二 三年级依次统一编号为 1 2 270 使用系 统抽样时 将学生统一随机编号为 1 2 270 并将整个编号依次分为 10 段 如果抽得 号码有下列四种情况 7 34 61 88 115 142 169 196 223 250 5 9 100 107 111 121 180 195 200 265 11 38 65 92 119 146 173 200 227 254 30 57 84 111 138 165 192 219 246 270 关于上述样本的下列结论中 正确的是 填字母 a 都不能为系统抽样 b 都不能为分层抽样 c 都可能为系统抽样 d 都可能为分层抽样 答案 d 解析 因为 为系统抽样 所以 a 不对 因为 为分层抽样 所以 b 不对 因为 不为系统抽 样 所以 c 不对 4 从编号为 1 50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验 若 采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法 则所选取 5 枚导弹的编号可能是 5 10 15 20 25 3 13 23 33 43 1 2 3 4 5 2 4 6 16 32 答案 解析 间隔距离为 10 故可能的编号是 3 13 23 33 43 5 2015 北京改编 某校老年 中年和青年教师的人数见下表 采用分层抽样的方法调查教 师的身体状况 在抽取的样本中 青年教师有 320 人 则该样本中的老年教师人数为 类别人数 老年教师900 中年教师1 800 青年教师1 600 合计4 300 答案 180 解析 由题意得 抽样比为 该样本的老年教师人数为 900 180 人 320 1 600 1 5 1 5 6 某学校高一 高二 高三年级的学生人数之比为 3 3 4 现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本 则应从高二年级抽取 名学生 答案 15 解析 抽取比例与学生比例一致 设应从高二年级抽取 x 名学生 则 x 50 3 10 解得 x 15 7 某校共有学生 2 000 名 各年级男 女学生人数如下表 已知在全校学生中随机抽取 1 名 抽到二年级女生的概率是 0 19 现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生 则应在三年 级抽取的学生人数为 一年级二年级三年级 女生373xy 男生377370z 答案 16 解析 依题意可知二年级的女生有 380 人 那么三年级的学生人数应该是 2 000 373 377 380 370 500 即总体中各个年级的人数比为 3 3 2 故在分层抽样中 应在三年级抽取的学生人数为 64 16 2 8 8 用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本 将 160 名学生从 1 160 编号 按 编号顺序平均分成 20 组 1 8 号 9 16 号 153 160 号 若第 16 组抽出的号码为 123 则第 2 组中应抽出个体的号码是 答案 11 解析 由题意可知 系统抽样的组数为 20 间隔为 8 设第 1 组抽出的号码为 x 则由系统抽 样的法则可知 第 n 组抽出个体的号码应该为 x n 1 8 所以第 16 组应抽出的号码为 x 16 1 8 123 解得 x 3 所以第 2 组中应抽出个体的号码为 3 2 1 8 11 9 将某班的 60 名学生编号为 01 02 60 采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本 且随机抽得的一个号码为 04 则剩下的四个号码依次是 答案 16 28 40 52 解析 编号组数为 5 间隔为 12 60 5 因为在第一组抽得 04 号 4 12 16 16 12 28 28 12 40 40 12 52 所以其余 4 个号码为 16 28 40 52 10 某政府机关有在编人员 100 人 其中副处级以上干部 10 人 一般干部 70 人 工人 20 人 上级机关为了了解政府机构改革意见 要从中抽取一个容量为 20 的样本 试确定用何 种方法抽取 请具体实施抽取 解 用分层抽样方法抽取 具体实施抽取如下 1 20 100 1 5 2 14 4 10 5 70 5 20 5 从副处级以上干部中抽取 2 人 从一般干部中抽取 14 人 从工人中抽取 4 人 2 副处级以上干部与工人的人数较少 他们分别按 1 10 编号与 1 20 编号 然后采用抽签 法分别抽取 2 人和 4 人 对一般干部 70 人采用 00 01 02 69 编号 然后用随机数表法抽 取 14 人 3 将 2 人 4 人 14 人的编号汇合在一起就取得了容量为 20 的样本 B 组组 专项能力提升专项能力提升 时间 20 分钟 11 2014 湖南改编 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本 当选取简单随机抽样 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时 总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1 p2 p3 则 p1 p2 p3 p2 p3 p1 p1 p3 p2 p1 p2 p3 答案 解析 由于三种抽样过程中 每个个体被抽到的概率都是相等的 因此 p1 p2 p3 12 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查 为此将他们随机编号为 1 2 960 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 抽到的 32 人中 编号落入区间 1 450 的人做问卷 A 编号落入区间 451 750 的人做问卷 B 其余的人做问卷 C 则抽到的人中 做问卷 B 的人数为 答案 10 解析 由系统抽样的特点知 抽取号码的间隔为 30 抽取的号码依次为 9 39 69 939 960 32 落入区间 451 750 的有 459 489 729 这些数构成首项为