北京市西城区2016年中考复习《相似》《解直角三角形》建议讲义及练习

第 1 页 共 12 页 北京市西城区重点示范中学 2016 年 3 月九年级数学中考复习 相似 、 解直角三角形 复习建议 及练习 一、 2016 年北京考试说明 （一）图形的性质 1. 相似三角形： A. 了解相似三角形的性质定理与判定定理； B. 能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题。 2. 锐角三角函数及解直角三角形 A. 理解锐角三角函数 (概念；知道 30、 45、 60角的三角函数值，理解（ 2015 年是“了解”）解直角三角形的概念； B. 能利用锐角三角函数的有关知识解直角三角形 ，能利用锐角三角函数的有关知识解决一些（ 2015 年是“某些”）简单的实际问题； C运用直角三角形的有关内容解决有关问题。 （二）图形的变化 3. 图形的相似： A. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解黄金分割；认识图形的相似；了解相似多边形和相似比；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小； B. 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（ 2015 年新增）；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 （三）图形与坐标 4. 坐标与图形 运动： A. 在平面直角坐标系中，知道已知顶点坐标的多边形经过位似（位似中心为原点）后的对应顶点坐标之间的关系；了解将多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似； B. 在平面直角坐标系中，能写出已知顶点的多边形经过位似（位似中心为原点）后的图形的顶点坐标； C. 运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题。 二、复习建议 1 按照 考试说明的要求进行 全面 复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的 漏过、 不随意拔高难 度； 2 B 级的知识要落实到位； C 级知识要达到灵活运用； 3注重 方程思想在 相似、解直角三角形 中的使用 ； 4教会学生观察复杂的几何图形，善于分解出基本图形，熟练的应用几何中定义、定理、公式来解题； 第 2 页 共 12 页 5. 逆向思维是寻求几何证明 思路的有效途径 之一 ； 6. 去模式化，重知识，重思想； 7. 重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导。 8. 课时安排 ： 相似 约 2 课时 解直角三角形 约 2 课时 三 、具体内容 相似三角形的性质与判定 落实 一 ： 能利 用相似三角形的性 质定理与判定定理解决有关简单 问题 落实 二 ： 掌握基本事实 ： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 落实 三 ： 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题 落实 四 ： 能利用位似变换将一个图形放大或缩小，并能写出以位似中心为原点的位似变化前后点的坐标变化 例 1. 如图，在平行四边形 ，点 E 在 ，连接 延长与 延长线交于点 F ，若 2D ，则 例 2. 如图，在正方形 ，点 E 是 一点（ E）， 连接 过点 E 作 垂线交 点 F,若 , 求 . 例 3. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 测量操场旗杆 高度，他们通过调整测量位置，使斜边 地面保持平行，并使边 在同一直线上，已知 ， 测点 D 到地面的距离 ，到旗 杆 的水平距离 0 米， 则 旗杆的高度 为 米 C A B D E F 第 3 页 共 12 页 例 4. 如图，点 A 的坐标为（ 3， 2），点 B 的坐标为（ 3， 0）作如下操作： 以点 A 为旋转中心，将 时针方向旋转 90，得到 以点 O 为位似中心，将 大 ，得到 相似比为 1 2，且点 第三象限 （ 1）在图中画出 （ 2）请直接写出点 坐标： _ 例 5. （ 4） 已知：如图，在正方形 ， 2,点 E 是边 的动点（点 E 不与端点 C、 D 重合）， 垂直平分线 别交 点 F、 H、 G，交 . （ 1） 设 DE=m(0 m 12)，试用含 m 的代数式表示的值； （ 2） 在（ 1）的条件下，当21 长 . 例 6. 含 30角的直角三角板 ， A=30 绕 直角顶点 C 顺 时针旋转 角（ 0o 90o）， 得到 B 所在直线交于点 D，过点 D 作 于点 E，连 接 求证： 0. 练习： 1. 如图，在 平行四边形 ， E 为 一点，连接 D，且 于点 F， SS： 25，则 C= 2. 如图，点 A， B， C， D 为 O 上的四个点， 分 点 E， ， ，则 长为 3. 某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自 然得体 如图， 若舞台 长为 20m， C 为 一个黄金分割点（ C）， 则 长为 _.（结果精确到 第 4 页 共 12 页 如图，在平面直角坐标系中，四边形 边长为 2 的正方形，顶点 A、 C 分别在 x， y 轴的正半轴上点 Q 在对角线，且 C，连接 延长 边 点 P则点 P 的坐标为 5. （ 2） 已知：如图，四边形 四边形 是平行四边形，点 R 为 中点， C， 点 P， Q. （ 1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 的除外）； （ 2）求 Q:值 . 6.（ 3） 已知：如图，等腰梯形 ， C=7 B=60 ,P 为下底 一点（不与 B、 C 重合） . 连接 P 点作 E，使得 B (1) 你认为图中哪两个三角形相似，为什么？ (2) 当点 P 在底边 自点 B 向 C 移动过程中，是否存在一点 P，使得 C=5:3，如果存在，求 长；如果不存在，请说明理由 . 7. 在矩形 ， ， 别交 点 E、 F，连接 （ 1）求证： （ 2）当 F 为 中点时，求 值及 长度 8. 如图，在 ， C=90，翻折 C，使点 C 落在斜边 某一点 D 处，折痕为 E、 F 分别在边 ） （ 1）若 似 当 C=2 时， 长为 ； 当 ， 时， 长为 ； （ 2）当点 D 是 中点时， 似吗？ 请说明理由 第 5 页 共 12 页 9. 如图，在平面直角坐标系 ， 个顶点坐标分别为 A（ 2， 4） ， B（ 2， 1），C（ 5， 2） （ 1）请画出 于 x 轴对称的 （ 2）将 三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以 2，得到对应的点 画出 （ 3）求 面积比，即 ：= （不写解答过程，直接写出结果） 相似 的综合应用 1. 在平面直角坐标系 ， 反 比例函数图 像 过 点 6,1A （ 1） 求反比例函数的 表达 式； （ 2） 的直线与 反 比例函数 像 的另一个交点为 B ，与 x 轴交于点 P ，若 ，求点 P 的坐标 2. 在 矩形 ， 边 ，将矩形 叠，使得点 B 落在 上的点 P 处 （如图 1） 图 1 图 2 （ 1） 如图 2，设 折痕与边 于点 O，连接 ,已知 面积比为 1： 4，求边 长 ； （ 2）动点 M 在线段 （不与点 P、 A 重合），动点 N 在线段 延长线上，且 M，连接 交于点 F， 过点 M 作 点 E C 第 6 页 共 12 页 在图 1 中画出图形； 在 面积比为 1： 4 不变的情 况下， 试问 动点 M、 N 在 移动 的 过程中，线段长度是否发生变化？ 请你说明理由 3. 如图 1，点 O 在线段 ， ， ， 射线，且 0，动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从点 O 出发，沿射线 匀速运动，设运动时间为 t 秒 . （ 1）当 t=21秒时，则 ， S ； （ 2）当 直角三角形时，求 t 的值； （ 3）如图 2，当 B 时，过点 A 作 使得 B，求证： P=Q，小华同学尝试过 O 点作 点 E。 试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明 P=3 4. 已知：如图， O 的直径， G 为 一点，过 G 作弦 ，在 上取一点 D ，分别作直线 ，交直线 点 ，分别连结 (1)若 G 为 中点 . ， ； F D O M D M C O 求 证 ： . (2)如图，若 G 为半径 任意一点 (不与点 O、 B 重 合 )，过 G 作弦 ，点 D 在 上，仍作直线 ，分别交直线 点 ， 分别连结 依题意补全图形； 此时仍有 M 立 D M 思路 .（ 不写出证明过程 ） 图 1 备用图 图 2 第 7 页 共 12 页 5 已知： 是等边三角形， M 是 F 的中点，连接 （ 1）如图 1，当 同一条直线上时，直接写出 数量关系和位置关系； （ 2） 定不动，将图 1 中的 点 M 顺时针旋转 （ 角，如图2 所示，判断（ 1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由； 解直角三角形 落实一： 锐角三角函数的定义 例 1： （ 1） . 在 ， 90Co ， 2C ， 那么 值为 _. （ 2） 在 ， C=90， ，那么 长为 _. （ 3） 在 ， C=90， 715，求 值 . （ 4） 如图， O 的直径， C、 D 是圆上的两点 C=8， 2， 则 长为 ( ). 图 2 备用图 图 1 第 8 页 共 12 页 8 133B 163C 24 55D 12 （ 5） 已知：如图，在 边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A、 B、C、 D、 E 都在小正方形的顶点上，求 值 . （ 6） （ 74 例 (5)） 如图，在直角坐标系中， P 是第一象限内的点， 其坐标是（ 3， m），且 x 轴正半轴的夹角 的正切值是 ， 则 值为 _. 落实二：特殊角的三角函数值 例 2： （ 1） . 如果 A 是锐角，且 1，那么 = A _ （ 2） 计算： 1. 10 )81(45( o2. 2 + 3. 24 c o s 4 5 t a n 6 0 8 ( 1 ) 4. 1 01 2 s i n 6 0 3 2 0 1 52 5. 60t a a 落实三：解直角三角形 ， 能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形 例 3： 如图，在 ， A=30， B=45， 32 ， 求 长 . 例 4： 如 图，在四边形 ， C=120， B=75， ， 232 ， 3. 求 长 . 第 9 页 共 12 页 例 5：如图，在四边形 ，对角线 D， 交于点 E ， 9 0 4 5 3 0 2B A C C E D D C E D E ， ， ， ，22求 长和四边形 面积 例 6： （ 5） 在 ， A=30， ， 33 ，求 度数和 长。 练习 ： 1. 如图，已知 O 的半径为 1，锐角 接于 O， 点 D， 点 M，则 值等于（ ） A 长 B 2长 C 长 D 2长 2. 如图，已知 相邻两条平行直线间的距离相等， 若等腰直角 三个项点分别在这三条平行直线上， 则 值是（ ） A B C D3. 把两块含有 300 的相同的直角尺按如图所示摆放，使点 C、 B、E 在同一条直线上，连结 面积是 _ 。 4 如图， 在菱形 ， 点 E， ， ，则 值是 5 如图，矩形 边 有一点 P，且 ， ，以点 P 为直角顶点的直角三角 形两条直角边分别交线段 段点 E， F，连接 A C B D E 第 10 页 共 12 页 ， C=90，点 D 在 上若 ， 12 3，求 长和 值 7.（ 3） 如图，在 ， C=90， A=30，E 为 一点，且 :1， 点 F，连接 值 . 8.（ 4） （ 1） 如图，在 ， 05， A=30， ， 求 长？ （ 2） 在 ， 35， A=30， ， 求 长？ （ 3） 在 ， 7， 6，锐角 A 满足 312，求 长及 面积？若， 其他条件不变呢？ 解直角三角形的实际应用 落实一： 能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 落实二： 会解由两个特殊直角三角形构成的 组合图形的问题 落实三： 能综合运用直角三角形的性质解决有关的问题 例 1： 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆 高度 他们采取的方法是：先在地面上的点 A 处测得杆顶端点 P 的仰角是 45，再向前走到 B 点，测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60和 30， 这时只需要测出 长度就能通过计算求出电线杆 高度 同意，画出计算时的图形，简要写出计算的 思路 ，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案 ，并简要写出计算思路 . A 第 11 页 共 12 页 例 2： 如图，某小区在规划改造期间，欲拆 除 小 区广场边的一根电线杆 知距电线杆 平距离 14 米处是观景台，即 14 米，该观景台的坡面 坡角 正切值为 2，观景台的高 米，在坡顶 C 处测得 电线杆 顶 端 A 的仰角为 30，D、 E 之间是宽 2 米的人行道， 如果 以点 B 为圆心，以为半径的圆形区域为危险 区域 请你通过计算说明在拆除电线杆 ，人行道 是否在危险区域内 ？( ) 例 3：在 一次数学 实践 活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得 C 在A 北偏西 31 的方向上，沿河岸向北前行 40 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45 的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度（参考数值：3 ） 例 4：如图，在电线杆上的 C 处引拉线 定电线杆，拉线 地面成 60角，在离电线杆 6 米的 B 处安置测角仪，在 A 处测得电线杆上 C 处的仰角为 30，已知测角仪高 ，求拉线 长（结果保留根号） 练习 ： 1、 两个城镇 A、 B 与两条公路 置如图所示，其中 东西方向的公路现电信部门需在 C 处修建 一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇 A、 B 的距离必须相等，到两条公路距离也必须相等，且在 内部 （ 1）那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点 C（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） （ 2）设 垂直平分线交 点 N，且 （ +1） M 处测得点 C 位于点 M 的北偏东 60方向，在 N 处测得点 的北偏西 45方向，求点 C 到公路 距离 第 12 页 共 12 页 2、 如图：我渔政 310 船在南海海面上沿正东方向匀速 航行