第十二讲函数列与函数项级数

第十二讲函数列与函数项级数第十二讲函数列与函数项级数 12 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 一 函数列一 函数列 一 函数列的收敛与一致收敛 一 函数列的收敛与一致收敛 1 逐点收敛 逐点收敛 函数列 若对 数列都收敛 则称函数列在区间 I 上逐点收 Ixxfn Ix xfn 敛 记 称 xf为的极限函数 简记为 Ixxfxf n n lim xfn Ixnxfxfn 2 逐点收敛的 逐点收敛的定义定义N 对 及 当 时 恒有Ix 0 0 xNNNn xfxfn 3 一致收敛 一致收敛 若函数列与函数都定义在区间 I 上 对 当 时 xfn xf0 0 N Nn 对一切恒有 则称函数列在区间 I 上一致收敛Ix xfxfn xfn 于 记为 xf Ixnxfxfn 4 非一致收敛 非一致收敛 对 及 使得 0 0 NnN 0 0Ix 0 0000 xfxfn 例例 12 1 证明在逐点收敛 但不一致收敛 n n xxf 1 0 证明 当时 当 时 即极限函数 1 0 x 0limlim n x n n xxf1 x 11lim n n f 为 但 非一致收敛 事实上 取0 3 1 0 对0 N 取 1 1 1 0 0 x x xf xfn 取 此时 NNn 1 0 1 0 2 1 0 1 0 n x 0000 2 1 0 0 n xxfxf n 即 1 0 xnxfxfn 5 一致收敛的柯西准则 一致收敛的柯西准则 函数列在 I 上一致收敛对 当 n m N 时 对一切Ix xfn 0 0 N 恒有 x mn fxf 6 非一致收敛的柯西准则 非一致收敛的柯西准则 函数列在 I 上非一致收敛 对 及 xfn0 0 NnmN 00 0Ix 0 使得 00000 xfxf mn 例例 12 2 用柯西准则证明 在上一致收敛 2 在 1 2 1sin n n x xfn ll 上非一致收敛 证明 1 对 取 当 时 对一切 有0 0 2 l NNnm llx m l mn x m x n x m x n x211 sinsin 即在上一致收敛 n x xfnsin llx 2 取 对 取 取0 4 1 0 0 N 000 2 1nmNNn 则有 2 0 0 n x 0 0 0 0 0 0000 4 1 2 1 1 4 sin 2 sin sinsin m x n x xfxf mn 即在上非一致收敛 n x xfnsin x 7 充要条件 充要条件 函数列在 I 上一致收敛于 xfn 0suplim xfxfxf n Ix n 注 这是一个非常重要的定理 判断函数列一致收敛性 用它方一便快捷 例例 12 3 讨论函数列的一致收敛性 1 1 1 0 1 1 0 11 x n n xxn xfn 解 求极限函数 当时 当时 即极限函数为 1 0 x 0lim xfxf n n 0 x 10lim0 n n ff 1 0 0 0 1 x x xf 即 n n f n fxfxf nn x 0 2 1 2 1 1 12 1 12 1 sup 1 0 nxfxfn 二 极限函数的性质 二 极限函数的性质 1 连续性 连续性 若满足 1 对每一个 n 在区间 I 上都连续 xfn 2 Ixnxfxfn 则 在 I 上连续 即 xf 0 000 limlimlimlimlimxfxfxfxf n xxn n nxxxx 注 其逆否命题 若都连续 但极限函数 f 不连续 则必不一致收敛 可用此命题再对 n f 例 12 1 及例 12 3 进行判断 2 可积性 可积性 若满足 1 对每一个 n 在区间上都连续 xfn ba 2 baxnxfxfn 则在上可积 且 xf ba b a b a b a n n n n dxxfdxxfdxxflimlim 3 可微性 可微性 若满足 1 对每一个 n 在区间上都连续 xfn ba 2 使 bax 0 nxfxfn 3 baxnxgxfn 则在上可导 且 即 xf ba xgxf xfxf dx d xfn n n n limlim 注 以上三个定理的条件仅为充分条件 4 狄尼定理 狄尼定理 若函数列对每一个 n 都在上连续 对每一点 xfn xfn bax bax 为单调的 且 则在连续的充要条件是 xfn baxxfxfn n lim xf ba baxnxfxfn 证明 充分性显然 下证必要性 反证法 假设 由定义 对 baxnxfxfn 0 0 0 N 及 使得 特别地 当取kNn 0 bax 0 000 0 xfxfn 2 1kN 时 分别存在 及使得knk baxk 0 kknk xfxf 并且不妨设 由已知 对固定的 x 是单调的 不妨设为单调 21 k nnn xfn 递增 且 即 于是式 baxxfxfn n lim xfxfxfxf n 21 可写为 0 knk xfxf k 由于为有界数列 必有收敛子列 不妨仍设为 k x 即 baxk baxxk n lim 因 对上述的 当 时 恒有 limxfxfn n 0 0 0 N Nn 特别地 有 0 xfxf n 0 1 xfxf N 当时 由单调性及式 有 NNnk 1 01 knkkNk xfxfxfxf k 注意到 及的连续性 令取极限得 此与 xf xfN 1 k 0 1 xfxf N 式矛盾 即必一致收敛于 f n f 二 函数项级数二 函数项级数 一 函数项级数的逐点收敛与一致收敛 一 函数项级数的逐点收敛与一致收敛 1 逐点收敛 逐点收敛 为定义在区间 I 上的函数列 称为函数项级数 若对 级 xun 1 n n IxxuIx 数都收敛 则称函数项级数在区间 I 上逐点收敛 称 1n n xu 1n n xu 为和函数 称 为部分和函数 Ixxuxf n n k kn xuxS 1 为第 n 项余项函数 1n kn xuxR 逐点收敛于 1n n xu IxxfxSxf n n lim 2 一致收敛 一致收敛 若 则称函数项级数在区间 I 上一致收敛于和函 IxnxfxSn 1n n xu 数 xf 一致收敛于 1n n xu IxnxRxf n 0 3 一致收敛柯西准则 一致收敛柯西准则 函数项级数在区间 I 上一致收敛 对 当时 对任意的 1n n xu0 0 N Nn 自然数 p 及对一切 恒有 Ix xuxuxu pnnn 21 注 由此可得到函数项级数在区间 I 上一致收敛的必要条件 一般项一 1n n xu xun 致收敛于零 逆否命题 若一般项不致收敛于零 则函数项级数在区间 I 上必不一函 xun 1n n xu 数项级数收敛 4 非一致收敛柯西准则 非一致收敛柯西准则 函数项级数在区间 I 上非一致收敛对及 和 1n n xu 0 0 NnN 0 0 0 p 使得Ix 0 0000020010 xuxuxu pnnn 例例 12 4 讨论函数项级数在下列区间上的一致收敛性 0n n x 101 0 a 1 0 解法 l 用定义 显然当10 x时 则 x x xS n n 1 1 x xSxf n n 1 1 lim n a a x x xfxS nn ax n ax 0 11 supsup 0 0 n n n n n n n n x x xfxS n n n ax n ax 1 0 01 1 1 1 1 supsup 所以 函数项级数在 一致收敛 在 上非一致收敛 0n n x 1 0 解法 2 用柯西准则 因为 对 当0lim 10 n n aa0 0 N 时 于是对任意的自然数 p 有 Nn aa n 1 a a a a a aaaxxx np n pnnnpnnn 11 1 1 1 2121 由柯西准则 在 上一致收敛 0n n x a 0 因 所以 当时 en n n 2 1 1 1 取 en n n n 1 1 lim 1 0 NNn 对 取 取 则0 2 1 0 e 0 K KNn max 0 1 1 0 1 0 0 0 0 p n n x 0 1 0 0 1 0 2 1 1 0 0 n n n n x 由柯西准则知 在上非一致收敛 0n n x 10 二 函数项级数一致收敛判别法 二 函数项级数一致收敛判别法 1 M 判别法判别法 若 而收敛 则在区间 I 上一致收敛 Ix 2 1nMxu nn n M xun 且绝对收敛 2 阿贝尔判别法 阿贝尔判别法 若满足 l 在区间 I 上一致收敛 2 对固定的单调 且 xun xv Ix n 一致有界 即存在常数 M 使 则在 2 1nIxMxvn xvxu nn I 一上一致收敛 3 狄利克雷判别法 狄利克雷判别法 若满足 1 2 单调且在 I 上一致收敛于 2 1n IxMxu n 1k k xvn 零 则在 I 上一致收敛 xvxu nn 例例 12 5 讨论下列函数项级数在所给区间上的一致收敛性 1 2 1 sin xp x nx p 1 0 1 1 x n nx n nn 解 1 因 而收敛 由 M 判别法 1sin x nx nx pp 1 1 p n p 一致收敛 1 sin xp n nx p 2 记 则收敛 从而关于 1 0 1 1 x n x xv n xu n n n n n n 1 一致收敛 对固定单调递增且有界 对 bax xvbax n exvn 1 由阿贝尔判别法知 一致收敛 1 0 2 1 xn 1 0 1 1 x n nx n nn 三 和函数的性质 三 和函数的性质 1 连续性 连续性 若满足 1 对每一个在区间 I 上连续 2 函数 Ixxuxf n xun n 项级数卜致收敛的 则和函数在 I 上连续 即 xf 00 0 limxfxuxf n xx 注 逆否命题 若 xun都连续 而和函数 f 不连续 则必不一致收敛 2 可积性 可积性 条件同上 则在上可积 且 baxxuxf n xf ba b a b a n dxxudxxf 3 可微性 可微性 满足 l 对每一个在区间 I 上连续 2 Ixxuxf n xuxun n 存在 使收