立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答)

1 F G G AB CD E C AB D EF D E B1 A1 C1 C A B F M 高中立体几何证明平行的专题高中立体几何证明平行的专题 基本方法基本方法 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行 而证明线线平行一般有以下的一些方法 1 通过 平移 2 利用三角形中位线的性质 3 利用平行四边形的性质 4 利用对应线段成比例 5 利用面面平行 等等 1 通过通过 平移平移 再利用平行四边形的性质再利用平行四边形的性质 1 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形 点 E F 分 别为棱 AB PD 的中 点 求证 AF 平面 PCE 分析 取 PC 的中点 G 连 EG FG 则易证 AEGF 是平行四 边形 2 如图 已知直角梯形 ABCD 中 AB CD AB BC AB 1 BC 2 CD 1 3 过 A 作 AE CD 垂足为 E G F 分别为 AD CE 的中点 现将 ADE 沿 AE 折叠 使得 DE EC 求证 BC 面 CDE 求证 FG 面 BCD 分析 取 DB 的中点 H 连 GH HC 则易证 FGHC 是平行四边形 3 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中 D E F 分别为 AA1 CC1 AB 的中点 M 为 BE 的中点 AC BE 求证 C1D BC C1D 平面 B1FM 分析 连 EA 易证 C1EAD 是平行四边形 于是 MF EA E F B A C D P 第 1 题图 2 4 如图所示 四棱锥 PABCD 底面是直角梯形 CD 2AB E 为 PC 的中点 ADCDADBA 证明 EBPAD平面 分析 取 PD 的中点 F 连 EF AF 则易证 ABEF 是平行四边形 2 利用三角形中位线的性质利用三角形中位线的性质 5 如图 已知 分别是四面体的棱 的中点 求EFGMADCDBDBC 证 平面 AMEFG 分析 连 MD 交 GF 于 H 易证 EH 是 AMD 的中位线 6 如图 ABCD 是正方形 O 是正方形的中心 E 是 PC 的中点 求证 PA 平面 BDE 7 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 D 为 AC 的中点 求证 AB1 面 BDC1 分析 连 B1C 交 BC1于点 E 易证 ED 是 B1AC 的中位线 8 如图 平面平面 四边形与都是直角梯形 ABEF ABCDABEFABCD 分别为的中点 0 90 BADFABBC 1 2 ADBE 1 2 AF G H FA FD 证明 四边形是平行四边形 BCHG 四点是否共面 为什么 C D F E A A B B C C D D E E F F G G M 3 P E D C B A 3 利用平行四边形的性质利用平行四边形的性质 9 正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 为正方形 ABCD 的中心 M 为 BB1的中点 求证 D1O 平面 A1BC1 分析 连 D1B1交 A1C1于 O1点 易证四边形 OBB1O1 是平行四边形 10 在四棱锥 P ABCD 中 AB CD AB DC 2 1 中点为PDE 求证 AE 平面 PBC 分析 取 PC 的中点 F 连 EF 则易证 ABFE 是平行四边形 11 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 为平行四边形 ACB 90 平面 EF 若 是线段 的中点 求证 平面 若 求二面角 的大 小 I 证法一 因为 EF AB FG BC EG AC 90ACB 所以 90 EGFABC EFG 由于 AB 2EF 因此 BC 2FC 连接 AF 由于 FG BC BCFG 2 1 4 在 ABCDA 中 M 是线段 AD 的中点 则 AM BC 且BCAM 2 1 因此 FG AM 且 FG AM 所以四边形 AFGM 为平行四边形 因此 GM FA 又FA 平面 ABFE GM 平面 ABFE 所以 GM 平面 AB 4 利用对应线段成比例利用对应线段成比例 12 如图 S 是平行四边形 ABCD 平面外一点 M N 分 别是 SA BD 上的点 且 SM AM ND BN 求证 MN 平面 SDC 分析 过 M 作 ME AD 过 N 作 NF AD 利用相似比易证 MNFE 是平行四边形 13 如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB M N 分别为 AC 和 BF 上的点且 AM FN 求 证 MN 平面 BEC 分析 过 M 作 MG AB 过 N 作 NH AB 利用相似比易证 MNHG 是平行四边形 5 利用面面平行利用面面平行 14 如图 三棱锥ABCP 中 PB 底面ABC 90BCA PB BC CA E为 PC的中点 M为AB的中点 点F在PA上 且2AFFP 1 求证 BE 平面PAC 2 求证 CM平面BEF 分析 取 AF 的中点 N 连 CN MN 易证平面 CMN EFB AF A E A B A C A D A M A N A 5 直线 平面平行的判定及其性质直线 平面平行的判定及其性质 经典题 附详细解答 经典题 附详细解答 一一 选选择择题题 1 下列条件中 能判断两个平面平行的是 A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2 E F G分别是四面体ABCD的棱BC CD DA的中点 则此四面体中与过E F G的 截面平行的棱的条数是 A 0 B 1 C 2 D 3 3 直线及平面 使成立的条件是 ab c ab A B C D ab ab ac bc ab 4 若直线 m 不平行于平面 且 m 则下列结论成立的是 A 内的所有直线与 m 异面 B 内不存在与 m 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 m 平行 D 内的直线与 m 都相交 5 下列命题中 假命题的个数是 一条直线平行于一个平面 这条直线就和这个平面内的任何直线不相交 过 平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行 过直线外一点有且只有一个平面和这 条直线平行 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行 a 和 b 异面 则经过 b 存在唯一一个平面与平行 A 4 B 3 C 2D 1 6 已知空间四边形中 分别是的中点 则下列判断正确的是 ABCD M N AB CD A B 1 2 MNACBC 1 2 MNACBC C D 1 2 MNACBC 1 2 MNACBC 二二 填填空空题题 7 在四面体 ABCD 中 M N 分别是面 ACD BCD 的重心 则 四面体的四个面中与 MN 平行的是 8 如下图所示 四个正方体中 A B为正方体的两个顶点 M N P分别为其所在棱的中点 能得到 AB 面 MNP 的图形的序号的 是 6 D C A B B1 A1 C1 9 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为 DD 中点 则 BD1和平面 ACE 位置关系是 1 三三 解解答答题题 10 如图 正三棱柱的底面边长是 2 侧棱长是 D 是 AC 的中点 求证 111 CBAABC 3 平面 1C BBDA1 11 如图 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 E M N G 分别是 AA1 CD CB CC1 的中点 求证 1 MN B1D1 2 AC1 平面 EB1D1 3 平面 EB1D1 平面 BDG 参考答案参考答案 一 选择题 1 D 提示 当时 内有无数多条直线与交线 平行 同时这些直线也与平面l l 平行 故 A B C 均是错误的 2 C 提示 棱 AC BD 与平面 EFG 平行 共 2 条 3 C 提示 则或异面 所以 A 错误 则或异 ab ab a b ab ab a b 面或相交 所以 B 错误 则或异面 所以 D 错误 a b ab ab a b 则 这是公理 4 所以 C 正确 ac bc ab 7 4 B 提示 若直线 m 不平行于平面 且 m 则直线 m 于平面相交 内不存在 与 m 平行的直线 5 B 提示 错误 过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行 有无数多条直 线与它平行 过直线外一点有无数个平面和这条直线平行 平行于同一条直线的两条直 线和同一平面平行或其中一条在平面上 6 D 提示 本题可利用空间中的平行关系 构造三角形的两边之和大于第三边 二 填空题 7 平面 ABC 平面 ABD 提示 连接 AM 并延长 交 CD 于 E 连结 BN 并延长交 CD 于 F 由重心性质可知 E F 重合为一点 且该点为 CD 的中点 E 由 得 MN AB 因此 MN 平面 MA EM NB EN 2 1 ABC 且 MN 平面 ABD 8 提示 对于 面 MNP 面 AB 故 AB 面 MNP 对于 MP AB 故 AB 面 MNP 对于 过 AB 找一个平面与平面 MNP 相交 AB 与交线显然不平行 故 不能推证 AB 面 MNP 9 平行 提示 连接 BD 交 AC 于 O 连 OE OE B D OEC 平面 ACE B D 平面 11 ACE 三 解答题 10 证明证明 设与相交于点 P 连接 PD 则 P 为中点 1 AB BA1 1 AB D 为 AC 中点 PD CB1 又PD平面D 平面D BA1 CB1BA1 11 证明证明 1 M N 分别是 CD CB 的中点 MN BD 又BB1DD1 四边形 BB1D1D 是平行四边形 所以 BD B1D1 又 MN BD 从而 MN B1D1 2 法 1 连 A1C1 A1C1交 B1D1与 O 点 四边形 A1B1C1D1为平行四边形 则 O 点是 A1C1的中点 E 是 AA1的中点 EO 是AA1C1的中位线 EO AC1 AC1面 EB1D1 EO面 EB1D1 所以 AC1 面 EB1D1 法 2 作 BB1中点为 H 点 连接 AH C1H E H 点为 AA1 BB1中点 8 所以 EHC1D1 则四边形 EHC1D1是平行四边形 所以 ED1 HC1 又因为 EA