解三角形题中的边与的转化策略

解三角形题中的边与角的转化策略 舒云水 解答一些解三角形的题目 常常需要运用正弦定理 余弦定理 及三角形内角和定理等知识 将已知条件中的边的关系转化为角的 三角函数关系式或将角的三角函数关系式转化为边的关系式 下面 谈谈解三角形题中的边与角转化的常见策略 一 将角的正 余 弦关系式转化为边的关系式 例 1 在 中 角 所对的边分别为 已ABCABCabc 知 求的值 5 sinsinsin 4 ACB 1 b 1 4 ac a c 分析 运用正弦定理将三个角的正弦关系 转化为三条边的关系 联立 5 sinsinsin 4 ACB bca 4 5 与 解方程组即可求出 4 5 ca 1 4 ac ac 解 由题设并利用正弦定理 得 解得 或 4 1 4 5 ac ca 4 1 1 c a 1 4 1 c a 点拨 运用正弦定理将角关系 转化为边 5 sinsinsin 4 ACB 关系 是解本题的关键 bca 4 5 例 2 在 ABC 中 分别为内角 的对边 且abcABC 求 A 的大小 2 sin 2 sin 2 sinaAbcBcbC 分析 本题已知条件 是一个2 sin 2 sin 2 sinaAbcBcbC 边角混合等式 对于这种等式 一般有两种转化思路可考虑 一是 将边转化为角 二是将角转化为边 本题若将边转化为角 即将已 知等式转化为 再化CBCBCBAsin sinsin2 sin sinsin2 sin2 2 简求 A 比较困难 而将角化成边 化简得 cbcbcba 2 2 2 2 再利用余弦定理很容易求出 A 22 ba bcc 2 解 由已知 根据正弦定理得 即 cbcbcba 2 2 2 2 bccba 222 由余弦定理得 Abccbacos2 222 故 1 cos120 2 AA 点拨 运用正弦定理 将已知的边角混合关系式转化为只含边 的关系式是解决本题的切入点 突破口 二 将边的关系式转化为角的三角函数关系式 解答有关解三角形的问题 有时需要运用正 余 弦定理 将 已知条件中边的关系转化为角的三角函数关系式 例 3 设的内角 所对的边长分别为 ABC ABCabc 且 求的值 3 coscos 5 aBbAc tan tan A B 分析 根据本题要求的结论 本题应将已知条件的边角混 tan tan A B 合关系式 中的边 转化为 3 coscos 5 aBbAc abcAsin Bsin 再根据 进一步化简即可求出 Csin sin sinBAC tan tan A B 解 根据以及正弦定理 可得 3 coscos 5 aBbAc 33 sincossincossinsin 55 ABBAcAB 333 sincossincossinsincoscossin 555 ABBAcABAB 因此 有 BABAsincos 5 8 cossin 5 2 tan 4 tan A B 点拨 运用正弦定理将已知的边角混合关系式转化为只含角的 关系式是解决本题的关键 例 4 设的内角 所对的边长分别为 且ABC ABCabc 求边长 cos3aB sin4bA a 分析 本题是一道求边长的题目 先将两个已知等式 和 整合 即将两个等式左 右两边分别相sin4bA cos3aB 除 再用正弦定理将转化为 化简求出 再进一步求出 a b A B sin sin Btan Bcosa 解 将 两式相除 有cos3aB sin4bA 4sinsinsin tan 3cossincos bABA B aBAB 又通过知 cos3aB cos0B 则 3 cos 5 B 5a 点拨 解本题有两个关键点 1 将两个已知条件等式整合 相除 2 运用正弦定理将转化 a b A B sin sin 前面分别谈了将角转化为边与将边转化为角两种思路 事实上 一些题目用两种转化方法都可以求解 有时还要综合运用上面两种 转化方法 下面举一例说明 例 5 在中 内角 的对边分别为 已知ABC ABCabc 求的值 cos2cos2 cos ACca Bb sin sin C A 思路 1 将边转化为角 运用正弦定理将转化为 2ca b B AC sin sinsin2 解法 1 在 由及正弦定理可得ABC cos2cos2 cos ACca Bb cos2cos cos AC B B AC sin sinsin2 即 BABCBCBAcossincossin2sincos2sincos 则 BCBCBABAsincos2cossin2cossinsincos 而 sin 2 sin BCBA CBA 则 即 ACsin2sin 2 sin sin A C 思路 2 将角转化为边 直接运用余弦定理将 AcosBcos 转化为边 得到边的关系式 再运用正弦定理将边的关系Ccosac2 转化为角的关系 即可求出的值 sin sin C A 解法 2 在 由可得ABC cos2cos2 cos ACca Bb BaBcCbAbcoscos2cos2cos 由余弦定理可得 c bca a bca a cba c acb 22 222222222222 整理可得 由正弦定理可得 ac2 2 sin sin a c A C 三 三角形三个内角之间的转化 根据三角形内角和定理及已知条件 用已知角来表示待求角 也是解三角形问题中常用的转化策略 例 6 在中 的对边分别是 已知ABC ABCabc CbBcAacoscoscos3 1 求的值 Acos 2 若 求的值 3 32 coscos CBCsin 分析 题目所给已知条件关系式是边 角混合式 1 小题若运 用余弦定理化角为边 求解较难 适宜运用正弦定理化边为角 得 到关系式 再根据三角 sin cossincossincossin3CBCBBCAA 形内角和定理将转化为 便可容易求出 1 小 sin CB AsinAcos 题已求出 为已知角 为待求角 关键是要运用三角形内AcosAC 角和定理将转化为 化简得B CA 3 32 cos cos CCA 再根据平方关系 便可求CCsin2cos 31cossin 22 CC 出 Csin 解 1 由 及正弦定理得CbBcAacoscoscos3 sin cossincossincossin3CBCBBCAA AAAsincossin3 所以 3 1 cos A 2 3 22 cos1sin 2 AA 由得 3 32 coscos CB 展开易得 3 32 cos cos CCA CCsin2cos 3 又 1cossin 22 CC 所以 1sin sin23 22 CC 化简整理得 0 2sin3 2 C 02sin3 C 3 6 sin C 点拨 注意角之间的转化 将转化为 转化为 sin CB AsinBcos 是成功解答本题的关键 cos CA 练习 1 中 角 所