韦达定理教案

中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 用心教好每一个学生1 教师一对一个性化教案教师一对一个性化教案 学生姓名学生姓名年级年级科目科目授课教师授课教师 日期日期 时间段时间段课时课时授课类型授课类型 新课新课 复习课复习课 作业讲解课作业讲解课 教学内容 教学目标教学目标 个性化学习问 题解决 教学重点 教学重点 难点及考难点及考 点分析点分析 教学过程教学过程 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 内容分析内容分析 韦达定理 对于一元二次方程 如果方程有两个实数根 那么 2 0 0 axbxca 12 x x 1212 bc xxx x aa 说明 1 定理成立的条件0 2 注意公式重的负号与 b 的符号的区别 12 b xx a 根系关系的三大用处根系关系的三大用处 1 1 计算对称式的值 计算对称式的值 例例 若是方程的两个根 试求下列各式的值 12 x x 2 220070 xx 1 2 3 4 22 12 xx 12 11 xx 12 5 5 xx 12 xx 解 解 由题意 根据根与系数的关系得 1212 2 2007xxx x 1 2222 121212 2 2 2 2007 4018xxxxx x 2 12 1212 1122 20072007 xx xxx x 3 121212 5 5 5 2520075 2 251972xxx xxx 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 用心教好每一个学生2 教学过程教学过程 4 222 12121212 4 2 4 2007 2 2008xxxxxxx x 说明 说明 利用根与系数的关系求值 要熟练掌握以下等式变形 222 121212 2xxxxx x 12 1212 11xx xxx x 22 121212 4xxxxx x 2 121212 4xxxxx x 22 12121212 x xx xx xxx 等等 韦达定理体现了整体思想 333 12121212 3 xxxxx xxx 课堂练习课堂练习 1 设 x1 x2是方程 2x2 6x 3 0 的两根 则 x12 x22的值为 2 已知 x1 x2是方程 2x2 7x 4 0 的两根 则 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 3 已知方程 2x2 3x k 0 的两根之差为 2 则 k 1 2 4 若方程 x2 a2 2 x 3 0 的两根是 1 和 3 则 a 5 若关于 x 的方程 x2 2 m 1 x 4m2 0 有两个实数根 且这两个根互为倒数 那么 m 的值为 6 设 x1 x2是方程 2x2 6x 3 0 的两个根 求下列各式的值 1 x12x2 x1x22 2 1 x1 1 x2 7 已知x1和x2是方程2x2 3x 1 0的两个根 利用根与系数的关系 求下列各式的值 2 2 2 1 x 1 x 1 2 2 构造新方程 构造新方程 理论 以两个数为根的一元二次方程是 例例 解方程组 x y 5 xy 6 解 显然 x y 是方程 z2 5z 6 0 的两根 由方程 解得 z1 2 z2 3 原方程组的解为 x1 2 y1 3 x2 3 y2 2 显然 此法比代入法要简单得多 3 3 定性判断字母系数的取值范围 定性判断字母系数的取值范围 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 用心教好每一个学生3 例例 一个三角形的两边长是方程的两根 第三边长为 2 求 k 的取值范围 解 设此三角形的三边长分别为 a b c 且 a b 为的两根 则 c 2 由题意知 k2 4 2 2 0 k 4 或 k 4 为所求 典型例题典型例题 例例 1 已知关于的方程 根据下列条件 分别求出的值 x 22 1 1 10 4 xkxk k 1 方程两实根的积为 5 2 方程的两实根满足 12 x x 12 xx 分析 分析 1 由韦达定理即可求之 2 有两种可能 一是 二是 所以要分 12 0 xx 12 xx 类讨论 解 解 1 方程两实根的积为 5 22 2 12 1 1 4 1 0 3 4 4 12 15 4 kk kk x xk 所以 当时 方程两实根的积为 5 4k 2 由得知 12 xx 当时 所以方程有两相等实数根 故 1 0 x 12 xx 3 0 2 k 当时 由于 1 0 x 1212 0101xxxxkk 故不合题意 舍去 3 0 2 k 1k 综上可得 时 方程的两实根满足 3 2 k 12 x x 12 xx 说明 说明 根据一元二次方程两实根满足的条件 求待定字母的值 务必要注意方程有两实根的条件 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 用心教好每一个学生4 即所求的字母应满足 0 例例 2 已知是一元二次方程的两个实数根 12 x x 2 4410kxkxk 1 是否存在实数 使成立 若存在 求出的值 若不存在 k 1212 3 2 2 2 xxxx k 请您说明理由 2 求使的值为整数的实数的整数值 12 21 2 xx xx k 解 解 1 假设存在实数 使成立 k 1212 3 2 2 2 xxxx 一元二次方程的两个实数根 2 4410kxkxk 2 40 0 4 4 4 1 160 k k kk kk 又是一元二次方程的两个实数根 12 x x 2 4410kxkxk 12 12 1 1 4 xx k x x k 222 121212121212 2 2 2 52 9xxxxxxx xxxx x 但 939 425 k k k 0k 不存在实数 使成立 k 1212 3 2 2 2 xxxx 2 222 121212 211212 44 2244 11 xxxxxxk xxx xx xkk 要使其值是整数 只需能被 4 整除 故 注意到 1k 11 2 4k 0k 要使的值为整数的实数的整数值为 12 21 2 xx xx k2 3 5 说明 说明 1 存在性问题的题型 通常是先假设存在 然后推导其值 若能求出 则说明存在 否 则即不存在 2 本题综合性较强 要学会对为整数的分析方法 4 1k 一元二次方程根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系练习题 A 组组 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 用心教好每一个学生5 1 一元二次方程有两个不相等的实数根 则的取值范围是 2 1 210k xx k A B C D 2k 2 1kk 且2k 2 1kk 且 2 若是方程的两个根 则的值为 12 x x 2 2630 xx 12 11 xx A B C D 22 1 2 9 2 3 已知菱形 ABCD 的边长为 5 两条对角线交于 O 点 且 OA OB 的长分别是关于的方程x 的根 则等于 22 21 30 xmxm m A B C D 3 553 且53 且 4 若 是一元二次方程的根 则判别式和完全平方式t 2 0 0 axbxca 2 4bac 的关系是 2 2 Matb A B C D 大小关系不能确定M M M 5 若实数 且满足 则代数式的值为 ab a b 22 850 850aabb 11 11 ba ab A B C D 20 2220 且220且 6 如果方程的两根相等 则之间的关系是 2 0bc xca xab a b c 7 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根 则这个直角三角形的 2 2870 xx 斜边长是 8 若方程的两根之差为 1 则的值是 2 2 1 30 xkxk k 9 设是方程的两实根 是关于的方程的两实根 12 x x 2 0 xpxq 12 1 1xx x 2 0 xqxp 则 pq 10 已知实数满足 则 a b c 2 6 9ab cab abc 11 对于二次三项式 小明得出如下结论 无论取什么实数 其值都不可能等于 2 1036xx x 10 您是否同意他的看法 请您说明理由 12 若 关于的方程有两个相等的的正实数根 求的值 0n x 2 1 2 0 4 xmn xmn m n 13 已知关于的一元二次方程 x 2 41 210 xmxm 1 求证 不论为任何实数 方程总有两个不相等的实数根 2 若方程的两根为 且满足 求的值 12 x x 12 111 2xx m 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 用心教好每一个学生6 14 已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长 x 22 1 1 10 4 xkxk 1 取何值时 方程存在两个正实数根 k 2 当矩形的对角线长是时 求的值 5k B 组组 1 已知关于的方程有两个不相等的实数根 x 2 1 23 10kxkxk 12 x x 1 求的取值范围 k 2 是否存在实数 使方程的两实根互为相反数 如果存在 求出的值 如果不存在 请您kk 说明理由 2 已知关于的方程的两个实数根的平方和等于 11 求证 关于的方程x 2 30 xxm x 有实数根 22 3 640kxkmxmm 3 若是关于的方程的两个实数根 且都大于 1 12 x xx 22 21 10 xkxk 12 x x 1 求实数的取值范围 k 2 若 求的值 1 2 1 2 x x k 答案答案 A 组组 1 B2 A3 A4 A5 A 6 2 acbbc 且 7 38 9 或9 3 1 3pq 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 用心教好每一个学生7 10 1