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圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 一 知识回顾 参数方程的概念 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 并且对于t的每一个允许值 由方程组所确定的点M x y 都在这条曲线上 二 圆的参数方程 1 圆心为原点半径为r的圆的参数方程 其中参数 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时 OM0转过的角度 一般地 同一条曲线 可以选取不同的变数为参数 另外 要注明参数及参数的取值范围 例1如图 圆O的半径为2 P是圆上的动点 Q 6 0 是x轴上的定点 M是PQ的中点 当点P绕O作匀速圆周运动时 求点M的轨迹的参数方程 解 设点M的坐标是 x y 则点P的坐标是 2cos 2sin 由中点坐标公式可得 因此 点M的轨迹的参数方程是 设P x y 则 最大值和最小值分别为 60和20 取得最大 最小值时P的坐标分别为 三 参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 为了研究方便 经常要将两种形式进行互化 1 将参数方程化为普通方程 一般地通过消参可以将参数方程化为普通方程 注意 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 否则 互化就是不等价的 例3 把下列参数方程化为普通方程 并说明它们各表示什么曲线 解 1 由 得 代入 得到 这是以 1 1 为端点的一条射线 所以 把 得到 1 2 1 x 2 2 y2 9 2 y 1 2x2 1 x 1 3 x2 y 2 x 2或x 2 练习 将下列参数方程化为普通方程 步骤 1 消参 2 求定义域 B 例4参数方程 表示 A 双曲线的一支 这支过点 1 1 2 B 抛物线的一部分 这部分过 1 1 2 C 双曲线的一支 这支过点 1 1 2 D 抛物线的一部分 这部分过 1 1 2 2 普通方程化为参数方程 普通方程化为参数方程需要引入参数 如 直线l的普通方程是2x y 2 0 可以化为参数方程 一般地 如果知道变量x y中的一个与参数t的关系 例如x f t 把它代入普通方程 求出另一个变量与参数t的关系y g t 那么 就是曲线的参数方程 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程 在y x2中 x R y 0 因而与y x2不等价 练习 曲线y x2的一种参数方程是 在A B C中 x y的范围都发生了变化 而在D中 x y范围与y x2中x y的范围相同 代入y x2后满足该方程 从而D是曲线y x2的一种参数方程 在参数方程与普通方程的互化中 必须使
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