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苏教版八年级上册期末总复习典型题 第一章 全等三角形 第三章 勾股定理 CONTENT 目录 第一章全等三角形 知识结构图 三角形全等判定方法1 用符号语言表达为 在 ABC与 DEF中 ABC DEF SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 可以简写成 边角边 或 SAS F E D C B A 在 ABC和 DEF中 ABC DEF ASA 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等 可以简写成 角边角 或 ASA 用符号语言表达为 F E D C B A 三角形全等判定方法2 三边对应相等的两个三角形全等 可以简写为 边边边 或 SSS 在 ABC和 DEF中 ABC DEF SSS 用符号语言表达为 三角形全等判定方法3 思考 在 ABC和 DFE中 当 A D B E和AC DF时 能否得到 ABC DFE 三角形全等判定方法4 有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 可以简写成 角角边 或 AAS A B D A B C SSA不能判定全等 A B C 直角三角形全等判定 HL 用符号语言表达为 在Rt ABC和Rt A B C 中 C C 90 AB A B AC A C ABC A B C HL 二 几种常见全等三角形基本图形 找找复杂图形中的基本图形 设计意图 知道了这几种基本图形 那么在解决全等三角形问题时 就容易从复杂的图形中分解出基本图形 解题就会变得简便 典型题型 1 证明两个三角形全等2 证明两个角相等3 证明两条线段相等 一 全等三角形性质应用 1 如图 AOB COD AB 7 C 60 则CD A 7 60 一 全等三角形性质应用 2 已知 ABC DEF A 60 C 50 则 E 70 解析 全等三角形对应角相等 一 全等三角形性质应用 3 如图 ABC DEF DE 4 AE 1 则BE的长是 A 5B 4C 3D 2 C 解析 全等三角形对应边相等 既AB ED BE AB AE 1 证明两个三角形全等 例1 如图 点B在AE上 CAB DAB 要使 ABC ABD 可补充的一个条件是 分析 现在我们已知A CAB DAB 用SAS 需要补充条件AD AC 用ASA 需要补充条件 CBA DBA 用AAS 需要补充条件 C D 此外 补充条件 CBE DBE也可以 SAS ASA AAS S AB AB 公共边 AD AC CBA DBA C D CBE DBE 2 已知 如图 AB AC 1 3 请你再添一个条件 使得 E D 为什么 1 已知 如图 AB AC AD AE 请你再添一个条件 使得 E D 为什么 2 证明两个角相等 变式题 BE EB 公共边 又 AC DB 已知 DBE CEB 两直线平行 内错角相等 例3 如图 AC DB AC 2DB E是AC的中点 求证 BC DE 证明 AC 2DB AE EC 已知 DB EC DB EC BE EB DBE CEB SAS BC DE 全等三角形的对应边相等 3 证明两条线段相等 例4如图 A E B D在同一直线上 AB DE AC DF AC DF 在 ABC和 DEF 1 求证 ABC DEF 2 你还可以得到的结论是 写出一个 不再添加其他线段 不再表注或使用其他字母 1 证明 AC DF 已知 A D 两直线平行 内错角相等 ABC DEF SAS 在 ABC和 DEF中 综合题 2 解 根据 全等三角形的对应边 角 相等 可知 C F ABC DEF EF BC AE DB等 BC EF 综合题 如图 A是CD上的一点 ABC ADE都是正三角形 求证CE BD B 分析 证 ABD ACE 变式1 在原题条件不变的前提下 可以探求以下结论 1 求证 AG AF 2 求证 ABF ACG 3 连结GF 求证 AGF是正三角形 4 求证GF CD变式2 在原题条件下 再增加一个条件 在CE BD上分别取中点M N 求证 AMN是正三角形 如图 A是CD上的一点 ABC ADE都是正三角形 求证CE BD B 变式3 如图 点C为线段AB延长线上一点 AMC BNC为正三角形 且在线段AB同侧 求证AN MB A B C N M 分析 此中考题与原题相比较 只是两个三角形的位置不同 此图的两个三角形重叠在一起 增加了难度 其证明方法与前题基本相同 只须证明 ABN BCM 变式4 如图 ABD ACE都是正三角形 求证CD BE A B C D E 分析 此题实质上是把题目中的条件B A C三点改为不共线 证明方法与前题基本相同 变式6 如图 分别以 ABC的边AB AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG 连结CE BG 求证BG CE A B C F G E D 分析 此题是把两个三角形改成两个正方形而以 证法类同 1 证明两个三角形全等 要结合题目的条件和结论 选择恰当的判定方法2 全等三角形 是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一 证明时 要观察待证的线段或角 在哪两个可能全等的三角形中 分析要证两个三角形全等 已有什么条件 还缺什么条件 有公共边的 公共边一定是对应边 有公共角的 公共角一定是对应角 有对顶角 对顶角也是对应角 小结 3 注意正确地书写证明格式 顺序和对应关系 例题一 已知 如图 B DEF BC EF 补充条件求证 ABC DEF 1 若要以 SAS 为依据 还缺条件 AB DE 2 若要以 ASA 为依据 还缺条件 ACB DFE 3 若要以 AAS 为依据 还缺条件 A D 4 若要以 SSS 为依据 还缺条件 AB DEAC DF 5 若 B DEF 90 要以 HL 为依据 还缺条件 AC DF 例2 如图 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 那么最省事的办法是拿 去配 证明题的分析思路 要证什么 已有什么 还缺什么 创造条件 注意1 证明两个三角形全等 要结合题目的条件和结论 选择恰当的判定方法2 全等三角形 是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一 证明时 要观察待证的线段或角 在哪两个可能全等的三角形中 有公共边的 公共边一定是对应边 有公共角的 公共角一定是对应角 有对顶角 对顶角也是对应角总之 证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路 例3已知 如图 P是BD上的任意一点AB CB AD CD 求证 PA PC 要证明PA PC可将其放在 APB和 CPB或 APD和 CPD考虑 已有两条边对应相等 其中一条是公共边 还缺一组夹角对应相等 若能使 ABP CBP或 ADP CDP即可 创造条件 分析 例3已知 P是BD上的任意一点AB CB AD CD 求证PA PC 证明 在 ABD和 CBD中AB CBAD CDBD BD ABD CBD SSS ABD CBD在 ABP和 CBP中AB BC ABP CBPBP BP ABP CBP SAS PA PC 例4 已知 如图AB AE B E BC EDAF CD求证 点F是CD的中点 分析 要证CF DF可以考虑CF DF所在的两个三角形全等 为此可添加辅助线构建三角形全等 如何添加辅助线呢 已有AB AE B E BC ED怎样构建三角形能得到两个三角形全等呢 连结AC AD 添加辅助线是几何证明中很重要的一种思路 证明 连结 和 在 和 中 B E 全等三角形的对应边相等 AFC AFD 90 在 t AFC和 t AFD中 已证 公共边 t AFC t AFD 全等三角形的对应边相等 点F是CD的中点 如果把例4来个变身 聪明的同学们来再试身手吧 已知 如图AB AE B E BC ED 点F是CD的中点 1 求证 AF CD 2 连接BE后 还能得出什么结论 写出两个 小结 1 全等三角形的定义 性质 判定方法 2 证明题的方法 要证什么 已有什么 还缺什么 创造条件3 添加辅助线 第二章轴对称图形 一 知识概况 本章着重研究轴对称的概念 性质 轴对称的作图 应用 以及轴对称图形和几个常见的轴对称图形的性质和判定 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后 能够与另一个图形重合 那么这两个图形关于这条直线成轴对称 这条直线叫做对称轴 两个图形中的对应点叫做对称点 如果把一个图形沿着一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 一 轴对称和轴对称图形 1 概念 2 轴对称的性质 成轴对称的两个图形全等 如果两个图形成轴对称 那么对称轴是对称点连线的垂直平分线 二 几个轴对称图形的性质 1 线段 射线 直线 线段是轴对称图形 它有两条对称轴 它的对称轴是它所在的直线 和线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上 2 角 角是轴对称图形 它的对称轴是它的角平分线所在的直线 角平分线上的点到角的两边的距离相等 到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 3 等腰三角形 等边三角形 二 重 难点剖析 1 轴对称和轴对称图形的区别和联系 区别 轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合 而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合 对称轴只有一条 轴对称是反映两个图形的特殊位置 大小关系 轴对称图形是反映一个图形的特性 对称轴可能会有多条 联系 两部分都完全重合 都有对称轴 都有对称点 如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体 这个整体就是一个轴对称图形 如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形 这两个部分图形就成轴对称 2 轴对称的性质和几个简单的轴对称图形的性质 是这部分的重点知识 应引起足够的重视 3 轴对称的实际应用应提高到足够的地位 4 用对称的眼光看问题 解决问题 指导辅助线的添加 例1 如图 如果 ACD的周长为17cm ABC的周长为25cm 根据这些条件 你可以求出哪条线段的长 思路点拨 1 ACD的周长 AD CD AC 17 2 ABC的周长 AB AC BC 25 3 由DE是BC的垂直平分线得 BD CD 所以AD CD AD BD AB 4 由 2 1 得BC 8cm 小结点评 2 当条件中有线段的垂直平分线时 要主动去寻找相等线段 1 分析题意时 要将复杂条件简单化 具体化 例2 如图 AD是 ABC的中线 ADC 60 把 ADC沿直线AD折过来 C落在C 的位置 1 在图中找出点C 连结BC 2 如果BC 4 求BC 的长 思路点拨 由于翻折后的图形与翻折前的图形关于折痕对称 所以C C 关于直线AD对称 AD垂直平分CC C 又处于对称位置的元素 线段 角 对应相等 这为问题解决提供了条件 C 解 1 画CO垂直AB 并延长到C 使得OC OC 点C 即为所求 O 2 连结C D 由对称性得CD CD CDA CDA 60 所以 BDC 60 所以 C BD是等边三角形 所以 BC BD 2 C 小结点评 1 翻折变换后得到的图形与原图形关于折痕对称 对应点的连线段被折痕垂直平分 2 解决翻折问题 要注意隐含在图形中的相等线段 相等角 全等三角形 因为一切处于对称位置的线段相等 角相等 三角形全等 3 从对称角度完善图形 让隐含条件显现出来 这是这部分题目添加辅助线的一个重要规律 练习2 如图 在一个规格为4 8的球台上 有两个小球P和Q 若击打小球P经过球台的边AB反弹后 恰好击中小球Q 则小球P击出时 应瞄准AB边上的 A O1点B O2点C O3点D O4点 B 第三章勾股定理 1 如图 已知在 ABC中 B 90 一直角边为a 斜边为b 则另一直角边c满足c2 思考 为什么不是 答案 因为 B所对的边是斜边 答案 一 知两边或一边一角型 题型一 勾股定理的直接应用 考题分类 2 在Rt ABC中 C 90 1 如果a 3 b 4 则c 2 如果a 6 c 10 则b 3 如果c 13 b 12 则a 4 已知b 3 A 30 求a c 5 8 5 一 知两边或一边一角型 答案 4 a c 1 如图 已知在 ABC中 B 90 若BC 4 AB x AC 8 x 则AB AC 2 在Rt ABC中 B 90 b 34 a c 8 15 则a c 3 选做题 在Rt ABC中 C 90 若a 12 c b 8 求b c 答案 3 b 5 c 13 3 5 16 30 二 知一边及另两边关系型 1 对三角形边的分类 已知一个直角三角形的两条边长是3cm和4cm 求第三条边的长 注意 这里并没有指明已知的两条边就是直角边 所以4cm可以是直角边 也可以是斜边 即应分情况讨论 答案 5cm或cm 三 分类讨论的题型 已知 在 ABC中 AB 15cm AC 13cm 高AD 12cm 求S ABC 答案 第1种情况 如图1 在Rt ADB和Rt ADC中 分别由勾股定理 得BD 9 CD 5 所以BC BD CD 9 5 14 故S ABC 84 cm2 第2种情况 如图2 可得 S ABC 24 cm2 2 对三角形高的分类 图1 图2 三 分类讨论的题型 思考 本组题 利用勾股定理解决了哪些类型题目 注意事项是什么 利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度 注意没有图形的题目 先画图 再考虑是否需分类讨论 1 在一块平地上 张大爷家屋前9米远处有一棵大树 在一次强风中 这棵大树从离地面6米处折断倒下 量得倒下部分的长是10米 出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到 大树倒下时能砸到张大爷的房子吗 A 一定不会B 可能会C 一定会D 以上答案都不对 A 题型二 用勾股定理解决简单的实际问题 2 如图 滑杆在机械槽内运动 ACB为直角 已知滑杆AB长2 5米 顶端A在AC上运动 量得滑杆下端B距C点的距离为1 5米 当端点B向右移动0 5米时 求滑杆顶端A下滑多少米 答案 解 设AE的长为x米 依题意得CE AC x AB DE 2 5 BC 1 5 C 90 AC 2 BD 0 5 AC 2 在Rt ECD中 CE 1 5 2 x 1 5 x 0 5 即AE 0 5 答 梯子下滑0 5米 思考 利用勾股定理解题决实际问题时 基本步骤是什么 Zx xk答案 1 把实际问题转化成数学问题 找出相应的直角三角形 2 在直角三角形中找出直角边 斜边 3 根据已知和所求 利用勾股定理解决问题 1 证明线段相等 已知 如图 AD是 ABC的高 AB 10 AD 8 BC 12 求证 ABC是等腰三角形 答案 证明 AD是 ABC的高 ADB ADC 90 在Rt ADB中 AB 10 AD 8 BD 6 BC 12 DC 6 在Rt ADC中 AD 8 AC 10 AB AC 即 ABC是等腰三角形 分析 利用勾股定理求出线段BD的长 也能求出线段AC的长 最后得出AB AC 即可 题型三 会用勾股定理解决较综合的问题 思考1 由AB 8 BC 10 你可以知道哪些线段长 请在图中标出来 答案 AD 10 DC 8 2 解决折叠的问题 已知如图 将长方形的一边BC沿CE折叠 使得点B落在AD边的点F处 已知AB 8 BC 10 求BE的长 2 解决折叠的问题 已知如图 将长方形的一边BC沿CE折叠 使得点B落在AD边的点F处 已知AB 8 BC 10 求BE的长 思考2 在Rt DFC中 你可以求出DF的长吗 请在图中标出来 答案 DF 6 2 解决折叠的问题 已知如图 将长方形的一边BC沿CE折叠 使得点B落在AD边的点F处 已知AB 8 BC 10 求BE的长 答案 AF 4 思考3 由DF的长 你还可以求出哪条线段长 请在图中标出来 2 解决折叠的问题 已知如图 将长方形的一边BC沿CE折叠 使得点B落在AD边的点F处 已知AB 8 BC 10 求BE的长 思考4 设BE x 你可以用含有x的式子表示出哪些线段长 请在图中标出来 答案 EF x AE 8 x CF 10 2 解决折叠的问题 已知如图 将长方形的一边BC沿CE折叠 使得点B落在AD边的点F处 已知AB 8 BC 10 求BE的长 Z xxk 思考5 你在哪个直角三角形中 应用勾股定理建立方程 你建立的方程是 答案 直角三角形 AEF A 90 AE 8 x 2 解决折叠的问题 已知如图 将长方形的一边BC沿CE折叠 使得点B落在AD边的点F处 已知AB 8 BC 10 求BE的长 思考6 图中共有几个直角三角形 每一个直角三角形的作用是什么 折叠的作用是什么 答案 四个 两个用来折叠 将线段和角等量转化 一个用来知二求一 最后一个建立方程 2 解决折叠的问题 已知如图 将长方形的一边BC沿CE折叠 使得点B落在AD边的点F处 已知AB 8 BC 10 求BE的长 思考7 请把你的解答过程写下来 答案 设BE x 折叠 BCE FCE BC FC 10 令BE FE x 长方形ABCD AB DC 8 AD BC 10 D 90 DF 6 AF 4 A 90 AE 8 x 解得x 5 BE的长为5 3 做高线 构造直角三角形 已知 如图 在 ABC中 B 45 C 60 AB 2 求 1 BC的长 2 S ABC 分析 由于本题中的 ABC不是直角三角形 所以添加BC边上的高这条辅助线 就可以求得BC及S ABC 答案 过点A作AD BC于D ADB ADC 90 在 ABD中 ADB 90 B 45 AB 2 AD BD 在 ABD中 ADC 90 C 60 AD CD BC S ABC 1 3 做高线 构造直角三角形 已知 如图 在 ABC中 B 45 C 60 AB 2 求 1 BC的长 2 S ABC 思考 在不是直角三角形中如何求线段长和面积 解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形 利用勾股定理解决问题 思考 利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么 画图与标图 根据题目要求添加辅助线 构造直角三角形 将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中 利用勾股定理列出方程 解方程 求线段长 最后完成解题 1 下列线段不能组成直角三角形的是 A a 8 b 15 c 17B a 9 b 12 c 15C a b c D a b c 2 3 42 如图 在由单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF GH四条线段 其中能构成一个直角三角形三边的是 CD EF GH AB EF GH AB CD GH AB CD EF D B 题型四 勾股定理的逆定理的应用 已知 如图 四边形ABCD AB 1 BC 2 CD 2 AD 3 且AB BC 求四边形ABCD的面积 分析 本题解题的关键是恰当的添加辅助线 利用勾股定理的逆定理判定 ADC的形状为直角三角形 再利用勾股定理解题 答案 连接AC AB BC ABC 90 在 ABC中 ABC 90 AB 1 BC 2 AC CD 2 AD 3 ACD是直角三角形 四边形的面积为1 由形到数 实际问题 直角三角形边长计算 勾股定理 勾股定理的逆定理 实际问题 判定直角三角形 由数到形 互逆定理 复习归纳 1 有四个三角形 分别满足下列条件 一个内角等于另两个内角之和 三个角之比为3 4 5 三边之比分别为7 24 25 三边之比分别为5 12 13 其中直角三角形有 A 1个B 2个C 3个D 4个 C 课后演练 2 观察下列图形 正方形1的边长为7 则正方形2 3 4 5的面积之和为 49 3 折叠矩形ABCD的一边AD 折痕为AE 且使D落在BC边上的点F处 已知AB 8cm BC 10cm 则点F的坐标是 点E的坐标是 6 0 0 3 4 第四章实数 1 平方根的定义 如果有一个数r 使得r2 a 那么我们把r叫作a的一个平方根 也叫作二次方根 符号表示为 若r2 a r 2 平方根的性质 1 一个正数有2个平方根 它们互为相反数 2 0的平方根与算术平方根都是0 3 负数没有平方根 3 算术平方根的定义 如果有一个数r r 0 使得r2 a 那么我们把r叫作a的算术平方根 4 算术平方根的性质 一个非负数的算术平方根是非负数 一个数的算术平方根的平方等于这个数本身 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 a的算术平方根 a的负平方根 a的平方根 5 平方根的表示方法 设a 0 求一个非负数的平方根的运算 叫作开平方 6 开平方 开平方 平方 7 平方根与算术平方根之间的区别与联系 如果那么叫做的平方根 如果那么叫做的算术平方根 1 2 0 0 1 二者有着包含关系 平方根中包含算术平方根 算术平方根是平方根中的非负的那一个 存在条件相同 非负数才有平方根和算术平方根 0的平方根和0的算术平方根都是0 即一个非负数的算术平方根是非负数 即一个数的绝对值是非负数 即一个数的平方是非负数 8 非负性 如果几个非负数相加和为0 则这几个非负数都等于0 课堂练习 一 求下列各式的平方根与算术平方根 一般地 求一个数的平方根的方法有两种 1 根据乘方意义求平方根 2 用计算器求平方根 二 用计算器求下列各式的值 三 用计算器求下列各式的近似值 精确到0 001 解 解 1 4的平方根是 算术平方根是 2 2 四 填空 2 若x2 3 则x 若 3 则x 3 3 若 x 1 2 4 则x 3或 1 4 若一个数的一个平方根为 7 则另一个平方根为 这个数是 7 49 5 若一个正数的两个平方根为2a 6 3a 1 则a 这个正数为 1 16 256 0 5 互为相反数 11 一个自然数的算术平方根是a 则下一个自然数的算术平方根是 10 的算术平方根的相反数是 16 12 一个自然数的平方b 那么比这个自然数大1的数是 1 的平方根是 4 2 一定是正数 3 a2的算术平方根是a 4 若 则a 5 5 6 6是 6 2的平方根 7 若x2 36 则x 8 如果两个数的平方相等 那么这两个数也相等 五 判断 9 平方根是本身的数有0 1 1 下列各数中 不一定有平方根的是 A x2 1 B x 2 C D a 1 D 2 已知有意义 则x一定是 A 正数 B 负数 C 非负数 D 非正数 D 六 选择 如果一个数b 使得b3 a 那么我们把b叫作a的一个立方根 也叫作三次方根 a的立方根记作 读作 立方根号a 或 三次根号a 用符号表示为 若b3 a 则b 9 立方根的定义 立方根的符号与被开方数的符号相同 1 一个正数有一个立方根 是正数 2 0的立方根是0 3 一个负数有一个立方根 是负数 10 立方根的性质 唯一性 一个数的立方根的立方等于这个数本身 一个数的立方的立方根等于这个数本身 若两个数互为相反数 那么这两个数的立方根也互为相反数 12 立方根的表示方法 求一个数的立方根的运算 叫作开立方 11 开立方 开立方 立方 联系 1 0的平方根 立方根都是0 2 平方根 立方根都是开方的结果 如果b3 a 那么b叫作a的一个立方根 如果r2 a 那么r叫作a的一个平方根 非负数 任何实数 2个平方根 1个平方根 无 1个立方根 1个立方根 1个立方根 区别 13 平方根与立方根的区别与联系 一 求下列各式的立方根 课堂练习 一般地 求一个数的立方根的方法有两种 1 根据乘方意义求立方根 2 用计算器求立方根 二 用计算器求下列各数的立方根 解 三 用计算器求下列各数的近似值 精确到0 001 解 1000 216 3 375 1 平方根是它本身的数是 2 算术平方根是其本身的数是 3 立方根是其本身的数是 4 的立方根为 5 的平方根为 6 的立方根的相反数为 0 0 1 1 0 1 2 2 2 四 求下列各式的立方根 7 若x 16 则12 x的立方根是 8 若4a 1的平方根是 5 求2a 8的立方根 9 已知 b 2 c 5 0 求c a b的立方根 10 已知y 3 求xy的立方根 五 判断正误 9 0的平方根与立方根都是0 5 负数没有立方根 6 4的平方根是2 8 负数有一个平方根 按定义分 按正负分 13 实数的分类 实数 有理数 整数 正整数 自然数 零 负整数 分数 正分数 负分数 无理数 正无理数 负无理数 负无理数 负分数 负整数 负有理数 负实数 零 正无理数 正分数 正整数 正有理数 正实数 实数 自然数 按定义分 按正负分 圆周率 及一些化简之后含有 的数 开不尽方的数及化简之后含根号的数 有一定的规律 但不循环的无限小数 注意 带根号的数不一定是无理数 如 例如 2 3 5 例如 0 1010010001 2 7878878887 无限不循环小数叫做无理数 强调 无限 不循环 无理数常见的3种典型 一 判断 1 任何一个无理数的绝对值都是正数 2 带根号的数都是无理数 3 实数可以分为正实数和负实数两类 4 有理数与数轴上的点一一对应 5 实数不是有理数就是无理数 6 无理数都是无限小数 7 有理数与无理数之和一定是无理数 8 有理数与无理数之差一定是无理数 9 有理数与无理数之积一定是无理数 10 有理数与无理数之商一定是无理数 11 无有理数与无理数之和一定是无理数 12 无理数与无理数之差一定是无理数 13 无理数与无理数之积一定是无理数 14 无理数与无理数之商一定是无理数 2 把下列各数填入相应的集合内 有理数集合 无理数集合 整数集合 分数集合 实数集合 1 的相反数是 倒数是 2 绝对值小于的整数是 3 一个数的绝对值是 则这个数是 三 填空 4 a b互为相反数 c与d互为倒数 则a 1 b cd 2 5 倒数是它本身的数是 1或 1 7 若3 5为三角形三边 化简 2m 10 无理数都是无限小数 无理数都是开方开不尽的数 带根号的都是无理数 无限小数都是无理数 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 1 下列说法中 错误的个数是 C 四 判断 2 已知a与互为倒数 则满足条件的实数a的个数是 A 0个B 1个C 2个D 3个 C 3 若 a 3 3 a 则a的取值范围是 A a 3B a3 C 第五章平面直角坐标系 知识梳理 垂直 有公共原点 确定平面内点的位置 建立平面直角坐标系 点坐标 有序数对 P x y 画两条数轴 本章学习了哪些知识 它们之间的联系是什么 1 2 3 1 2 3 y x 1 2 3 1 2 3 4 O 在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴 构成了平面直角坐标系 A点的坐标 记作A 2 1 一 由点找坐标 规定 横坐标在前 纵坐标在后 二 由坐标找点 B 3 2 由坐标找点的方法 先找到表示横坐标与纵坐标的点 然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线 垂线的交点就是该坐标对应的点 B 第四象限 若点P x y 在第一象限 则x 0 y 0 若点P x y 在第二象限 则x 0 y 0 若点P x y 在第三象限 则x 0 y 0 若点P x y 在第四象限 则x 0 y 0 三 各象限点坐标的符号 第一象限 第三象限 第二象限 1 点 的坐标是 则点 在第象限 四 一或三 3 若点 x y 的坐标满足xy 且在x轴上方 则点 在第象限 二 练一练 注 判断点的位置关键抓住象限内点的坐标的符号特征 4 若点A的坐标为 a2 1 2 b2 则点A在第 象限 四 第四象限 第一象限 第三象限 第二象限 A 3 0 在第几象限 注 坐标轴上的点不属于任何象限 四 坐标轴上点的坐标符号 练一练 1 点P m 2 m 1 在x轴上 则点P的坐标是 3 0 2 点P m 2 m 1 在y轴上 则点P的坐标是 0 3 3 点P x y 满足xy 0 则点P在 x轴上或y轴上 4 若 则点p x y 位于 y轴 除 0 0 上 注意 1 x轴上的点的纵坐标为0 表示为 x 0 2 y轴上的点的横坐标为0 表示为 0 y 原点 0 0 既在x轴上 又在y轴上 2 若AB y轴 则A m y1 B m y2 1 若AB x轴 则A x1 n B x2 n 五 与坐标轴平行的两点连线 1 已知点A m 2 点B 3 m 1 且直线AB x轴 则m的值为 2 已知点A m 2 点B 3 m 1 且直线AB y轴 则m的值为 3 已知点A 10 5 B 50 5 则直线AB的位置特点是 A 与x轴平行B 与y轴平行C 与x轴相交 但不垂直D 与y轴相交 但不垂直 A 1 若点P在第一 三象限角的平分线上 则P m m 2 若点P在第二 四象限角的平分线上则P m m 六 象限角平分线上的点 3 已知点M a 1 3a 5 在两坐标轴夹角的平分线上 试求M的坐标 2 已知点A 2a 1 2 a 在第二象限的平分线上 试求A的坐标 1 已知点A 2 y 点B x 5 点A B在一 三象限的角平分线上 则x y 5 2 1 1 变式 到两坐标轴的距离相等 4 4 或 2 2 4 4 或 2 2 1 点 a b 关于X轴的对称点是 a b a b a b 2 点 a b 关于Y轴的对称点是 3 点 a b 关于原点的对称点是 七 关于坐标轴 原点的对称点 1 已知A B关于x轴对称 A点的坐标为 3 2 则B的坐标为 3 2 2 若点A m 2 B 1 n 关于y轴对称 m n 3 已知点A 3a 1 1 a 在第一象限的平分线上 试求A关于原点的对称点的坐标 关于谁谁不变另一个互为相反数 关于原点横纵坐标都互为相反数 1 点 x y 到x轴的距离是 2 点 x y 到y轴的距离是 八 点到坐标轴的距离 1 若点 的坐标是 3 5 则它到x轴的距离是 到y轴的距离是 2 若点 在x轴上方 y轴右侧 并且到x轴 y轴距离分别是 个单位长度 则点 的坐标是 4 2 3 点 到x轴 y轴的距离分别是 则点 的坐标可能为 1 2 1 2 1 2 1 2 到x轴的距离是纵坐标的绝对值 到y轴的距离是横坐标的绝对值 平面直角坐标系的应用 确定点的位置 求平面图形的面积 用坐标表示平移 例1下图是某地区的简图 图中小正方形的边长代表100m长 请建立适当的平面直角坐标系 并写出各地点的坐标 y x 解 以火车站为原点 东西向为横轴 建立如图所示的坐标系 体育馆 400 400 文化宫 300 200 宾馆 300 300 商场 600 400 医院 200 200 小卖部 300 300 学校 100 400 1 建立坐标系 选择一个适当的参照点为原点 确定横轴 纵轴的正方向 2 根据具体问题确定单位长度 3 在坐标系内写出各地点的坐标 归纳 例3三角形ABC三个顶点的坐标分别为A 2 1 B 1 3 C 4 3 5 把三角形A1B1C1向右平移4个单位 再向下平移3个单位 恰好得到三角形ABC 试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标 解 设点A1的坐标为 x y 将点A1两次平移后得到的点的坐标是 x 4 y 3 根据题意得x 4 2 y 3 1 由此可求出点A1的坐标为 2 2 同理可求B1 3 0 C1 0 0 5 1 下列说法不正确的是 A 若x y 0 则点P x y 一定在第二 四象限角平分线上B 在x轴上的点纵坐标为0 C 点P 1 3 到y轴的距离是1 D 点A a2 1 b 一定在第二象限 3 已知点A 1 2 AC X轴 AC 5 则点C的坐标是 D 4 2 或 6 2 2 已知点P在第四象限 点P到x轴的距离为2 到y轴的距离是3 则点P的坐标是 3 2 练一练 4 点P 3 0 在 5 点P x y 满足xy 0 则点P在 6 点A 1 3 关于x轴对称点的坐标是 关于原点对称的点坐标是 7 若点A m 2 B 1 n 关于原点对称 则m n X轴的正半轴上 坐标轴上 1 3 1 3 2 1 8 在平面直角坐标系中 有一点P 4 2 若将P 1 向左平移2个单位长度 所得点的坐标为 2 向右平移3个单位长度 所得点的坐标为 3 向下平移4个单位长度 所得点的坐标为 4 先向右平移5个单位长度 再向上平移3个单位长度 所得坐标为 6 2 1 2 4 2 1 5 9 点P x y 在第四象限 且 x 3 y 2 则P点的坐标是 10 点 到x轴的距离为 点 到y轴的距离为 点C到x轴的距离为1 到y轴的距离为3 且在第三象限 则C点坐标是 3 2 3个单位 4个单位 3 1 0 5 或 0 5 12 三角形ABC中BC边上的中点为M 在把三角形ABC向左平移2个单位 再向上平移3个单位后 得到三角形A1B1C1的B1C1边上中点M1此时的坐标为 1 0 则M点坐标为 13 已知点A m 2 点B 3 m 1 且直线AB x轴 则m的值为 1 1 3 123456 6 7 6 5 4 2 3 1 1 2 3 4 5 6 7 5 4 3 2 1 y x 0 14 求出三角形A1B1C1的面积 D E 分析 可把它补成一个梯形减去两个三角形 第六章一次函数 一 知识结构 1 叫变量 叫常量 2 函数定义 数值发生变化的量 数值始终不变的量 在一个变化过程中 如果有两个变量x与y 并且对于x的每一个确定的值 y都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说x是自变量 y是x的函数 所用方法 描点法 3 函数的图象 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标 那么坐标平面内由这些点组成的图形 就是这个函数的图象 列表法 解析式法 图象法 5 函数的三种表示方法 4 描点法画图象的步骤 列表 描点 连线 6 自变量的取值范围 1 分母不为0 2 开偶次方的被开方数大于等于0 3 使实际问题有意义 7 两直线的位置关系 若直线l1和l2的解析式为y k1X b1和y k2X b2它们的位置关系可由其系数确定 y k1X b1y k2X b2 交点坐标即为方程组的解 方程组无解 y k1X b1y k2X b2 y k1X b1y k2X b2 方程组有无数组解 l1和l2有无数个交点 1 骆驼被称为 沙漠之舟 它的体温随时间的变化而变化 在这一问题中 自变量是 A 沙漠B 体温C 时间D 骆驼2 如果点A 2 a 在函数y x 3的图象上 那么a的值等于 A 7B 3C 1D 1 C D 3 下面两个变量是成正比例变化的是 A 正方形的面积和它的边长B 变量x增加 变量y也随之增加C 矩形的一组对边的边长固定 它的周长和另一组对边的边长D 圆的周长与它的半径 D 4 求下列函数中自变量x的取值范围 1 y x x 3 2 y 3 y 4 y 5 y 自变量的取值范围 分式分母不为零 偶次根下负不行 零次幂底数不为零 整式 奇次根全能行 函数巧记妙语 D B 二 一次函数的概念 1 一次函数的概念 函数y k b为常数 k 叫做一次函数 当b 时 函数y k 叫做正比例函数 kx b kx 注意点 解析式中自变量x的次数是 次 比例系数 1 K 0 2 正比例函数y kx k 0 的图象是过点 的3 一次函数y kx b k 0 的图象是过点 0 0 的 0 0 1 k 一条直线 b 一条直线 7 下列函数关系式中 那些是一次函数 哪些是正比例函数 1 y x 4 2 y x2 3 y 2 x 5 y 6 y 7 y 5x 3 8 y 6x2 2x 1 3 画函数图象的步骤 1 列表2 描点3 连线 例 画出Y 3x 3的图象 x0 1y30 描点 连线如图 解 列表得 3 1 所有的一次函数的图象都是一条直线 4 一次函数的性质 y kx k 0 y kx b k 0 全体实数 全体实数 当k 0时 y随x的增大而增大 当k 0时 y随x的增大而减少 一次函数y kx b的图象是一条直线 其中k决定直线增减性 b决定直线与y轴的交点位置 k和b决定了直线所在的象限 正比例函数是特殊的一次函数 函数巧记妙语 一次函数图像与性质口诀 一次函数是直线 图像经过仨象限 正比例函数更简单 经过原点一直线 两个系数k与b 作用之大莫小看 k决定增减 b与Y轴来相见 k为正来右上斜 x增减y增减 k为负来左下展 变化规律正相反 若函数y k 1 x k2 1是正比例函数 则k的值为 A 0B 1C 1或 1D 1思路分析 要使函数y k 1 x k2 1是正比例函数 k需满足条件k 1 0且k2 1 0 即k 1 答案 B C 一次函数y b 3x y随x的增大而 一次函数y 2x b图象过 1 2 则b 一次函数y x 4的图象经过象限 直线y kx b经过一 二 三象限 那么y bx k经过象限 函数y m 2 x中 已知x1 x2时 y1 y2 则m的范围是 直线y 3x b与y轴的交点的纵坐标为 2 则这条直线一定不过象限 减小 一 二 四 0 一 三 四 m 2 二 填空题 1 有下列函数 其中过原点的直线是 函数y随x的增大而增大的是 函数y随x的增大而减小的是 图象在第一 二 三象限的是 2 如果一次函数y kx 3k 6的图象经过原点 那么k的值为 3 已知y 1与x成正比例 且x 2时 y 4 那么y与x之间的函数关系式为 k 2 函数巧记妙语 自变量的取值范围 分式分母不为零 偶次根下负不行 零次幂底数不为零 整式 奇次根全能行 函数图像的移动规律 若把一次函数解析式写成y k x 0 b 则用下面的口诀 左右平移在括号 上下平移在末稍 左正右负须牢记 上正下负错不了 一次函数图像与性质口诀 一次函数是直线 图像经过仨象限 正比例函数更简单 经过原点一直线 两个系数k与b 作用之大莫小看 k是斜率定夹角 b与Y轴来相见 k为正来右上斜 x增减y增减 k为负来左下展 变化规律正相反 k的绝对值越大 线离横轴就越远 函数学习口决 正比例函数是直线 图象一定过圆点 k的正负是关键 决定直线的象限 负k经过二四限 x增大y在减 上下平移k不变 由此得到一次线 向上加b向下减 图象经过三个象限 两点决定一条线 选定系数是关键 二